Lineaire algebra/Kwadratische vorm: verschil tussen versies

Bij een symmetrische bilineare vorm ''<math>B''</math> op de vectorruimte ''<math>V''</math> kan een afbeelding <math>Q:V\to \R</math> gedefinieerd worden door:

:<math> Q:V\to \R : (v\mapsto)= B(v,v) </math>

gedefinieerd worden. Daarvoor geldt dan:

Dit lijkt veekveel op de uitwerking van een kwadraat, en ''<math>Q''</math> heet dan ook een kwadratische vorm.

Zij <math>V</math> een lineaire ruimte over een lichaam <math>K</math>. Een '''kwadratische vorm''' op ''<math>V''</math> is een afbeelding <math>Q:V\to K</math> van <math>V</math> naar <math>K</math> waarvoor een symmetrische bilineaire vorm <math>B</math> op <math>V</math> bestaat, zodanig dat:

:<math>Q(v)=B(v,v).</math>

Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm ''<math>B''</math> die bij ''<math>Q''</math> bestaat:

:<math>Q(v+v')=2B(v,v') + Q(v) + Q(v').</math>

Als de karakteristiek van <math>K</math> verschilt van 2 dan, is deze bilineaire vorm uniek.

Zij <math>V</math> een lineaire ruimte over een lichaam <math>K</math> waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en ''<math>Q''</math> een kwadratische vorm op ''<math>V''</math>. De bilineaire vorm

heet de met ''<math>Q''</math> '''geassocieerde''' bilineaire vorm.

Zij <math>V</math> een lineaire ruimte over een lichaam <math>K</math> waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en ''<math>Q''</math> een kwadratische vorm op ''<math>V''</math>. De met ''<math>Q''</math> geassocieerde bilineaire vorm ''<math>B''</math> is eenduidig bepaald.

:<math>Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v).</math>

Omdat ''<math>B''</math> symmetrisch is, is ook de matrix <math>\beta</math> symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.

Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met ''<math>Q''</math> geassocieerde bilineaire vorm ''<math>B''</math> diagonaal is, kan ''<math>Q''</math> als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden. Voor de vector ''<math>v''</math> met coordinaten <math>\xi</math> t.o.v. deze basis geldt;:

:<math>Q(v)=a_1\xi_1^2+\ldots+a_r\xi_n^2</math>.

Stel dat het lichaam van scalairen <math>\CComplex</math> is, dan kunnen we van alle <math>a_i</math> de wortel nemen en kunnen we schrijven:

met <math>\xi'_i=\sqrt{a_i}\,\xi_i</math>.

:<math>\left\{

\xi'_i=\sqrt{-a_i}\,\xi_i \text{ als }a_i<0

Aangezien we maar <math>\textstyle r</math> termen opnemen en niet alle <math>\textstyle n</math> termen kunnen we veronderstellen dat <math>a_i\textstyleneq a_i\neq00</math> is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste <math>\textstyle p</math> coëfficiënten positief zijn en de laatste <math>\textstyle r-p</math> negatief:

:<math>a_i>0</math> \left\{\begin{matrix} \forallvoor <math>i\leq p:a_i</math>0\\

\forall i>p:<math>a_i<0</math> \end{matrix}\right.voor <math>i > p</math>

Dan bestaat er een basis zodat <math>\textstyle q(v)=x_1'^{'2}+\ldots+x_p'^{'2}-x_{p+1}'^{'2}-\ldots-x_r'^{'2}</math> met

:<math> \left\{ \begin{matrix} x_i'=\sqrt{a_i} \text{ als }i\leq p\\</math>

:<math>x_i'=\sqrt{-a_i} \text{ als }i>p \end{matrix} \right. </math>

{{Wis stelling| Het aantal termen <math>\textstyle r</math> en de signatuur <math>\textstyle p-(r-p)</math> van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis. }}

{{Wis bewijs| We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.

Stel dat <math>\textstyle q(v)=x_1^{'2}+\ldots+x_p^{'2}-x_{p+1}^{'2}-\ldots-x_r^{'2}</math> en ook <math>\textstyle q(v)=y_1^{'2}+\ldots+y_q^{'2}-y_{q+1}^{'2}-\ldots-y_r^{'2}</math> met <math>\textstyle p\neq q</math>. We kunnen veronderstellen dat <math>\textstyle p<q</math>. Neem nu

:<math> V_1=\{v\in V|x_1=x_2=\ldots=x_p=0=y_{q+1}=y_{q+2}=\ldots=y_n\} </math>

In die verzameling hebben we <math>\textstyle p+(n-q)=n+(p-q)<n</math> voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu <math>\textstyle v\neq0\in V</math>, dan is <math>\textstyle q(v)\leq 0</math> (t.o.v. de eerste basis) en <math>\textstyle q(v)\geq0</math> (t.o.v. de tweede basis). Dus is <math>\textstyle q(v)=0</math> en is <math>\textstyle y_1=y_2=\ldots=y_q=0</math> dus is <math>\textstyle v=0</math> wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat <math>\textstyle p=q</math>. }}

Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als <math>\textstyle p=r</math> of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan <math>\textstyle r</math> en het is definiet als daarenboven <math>\textstyle r=n</math>. Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.