Klassieke Mechanica/Kinematica-2: verschil tussen versies

Om deze stelling te bewijzen moet men een vast referentiesysteem XYZ invoeren en een bewegend systeem X'Y'Z'. De positie van het punt P in het vaste systeem, de absolute positie, wordt dan gegeven door '''r_a''', en in het bewegend systeem, de relatieve positie, door '''r_r'''. Er geldt volgend verband:

Voor het eerst komt hier het verschil tussen een '''translatie''' en een '''rotatie''' ter sprake. Een [[w:translatie| translatie]] is een beweging waarbij alle punten van een voorwerp vectorieel dezelfde verplaatsing ondergaan. Het gevolg hiervan is dat ook de afgeleiden van deze verplaatsingsvector, de snelheid en de versnelling, voor alle punten van het voorwerp vectorieel dezelfde zijn. Het is zeer belangrijk dat men beseft dat een translerend voorwerp of assenkruis niet noodzakelijk volgens een rechte lijn moet bewegen. De definitie vergelijkt 2 posities, maar zegt niets over de weg die gevolgd werd om van de ene positie naar de andere te gaan. Transleren betekent ook dat richting behouden blijft: wat verticaal is blijft verticaal, wat horizontaal is blijft horizontaal. De kabientjescabientjes van een reuzeradreuzenrad beschrijven een translatie alhoewel ze volgens een cirkel bewegen. De vloer blijft immers altijd horizontaal, de wanden verticaal. Elk punt beschrijft een zelfde cirkel, maar de cirkelbaan van een bepaald punt is verschoven t.o.v. de cirkelbanen van elk ander punt.

Zo bekomt men de snelheden driehoeksnelhedendriehoek, waarin alleen de grootte van v_a en v_r onbekend zijn. Het probleem is dus oplosbaar.

Hierna twee voorbeelden waarbij men zowel een translerend als een roterend assenkruis kan gebruiken. Bij een translerend assenkruis blijft de richting van de assen behouden. Daarom wordt het hier vertikaalverticaal-horzontaalhorizontaal getekend. De oorsprong beweegt op een cirkel. Bij gebruik van een roterend assenkruis wordt het verbonden met de roterende staaf. Men probeert de oorsprong in een stilstaand punt te kiezen zodat de sleepsnelheid maar 1één component heeft, nl.namelijk de rotatiecomponent. Om die uit te rekenen moet de relatieve positievector gekend zijn.

'''Tot slot''': bij de voorbeelden hierboven gaat het telkens over drie elementen: een bewegend punt, een bewegend systeem en een vast systeem. Meer kan men in één toepassing van de stelling van de drie snelheden niet gebruiken. De werkelijkheid is echter dikwijls complexer. Men kan een bewegend systeem hebben dat zelf beweegt t.o.v. een ander bewegend systeem. Men kan een punt hebben met twee verbindingen naar bewegende systemen i.p.v. naar een bewegend en naar een vast syteemsysteem. In al die gevallen zal men '''meerdere keren drie elementen moeten kiezen''', een bewegend punt, een bewegend systeem en een "vast"systeem", zodat men de stelling van de drie snelheden kan formuleren. Men zal de theorie meerdere malen moeten toepassen.

Naast de relatieve versnelling is er dan nog de term <math>2(\vec\omega \times \vec v_r)</math>. Deze term verscheen reeds bij de studie van de versnelling in [[Klassieke_Mechanica/Kinematica#Poolco.C3.B6rdinaten|poolcoördinaten]] in het eerste deel van Kinematica en werd er verklaard in de paragraaf "De term 2.v_r.&omega;"<!-- waarom wil de browser niet van buiten de pagina naar het juiste anker springen? --> . Zoals daar kan men ook hier vaststellen dat de term eenmaal afkomstig is van de sleepverandering van v_r (d.i. een richtingsverandering) en eenmaal van de verandering van de grootte van r_r. Alleen wanneer v_r evenwijdig is aan &omega; bestaat deze term niet. Spijtig genoeg is er geen volledige unanimiteit over de benaming van de term. Deze term geeft de versnelling zoals gezien in het vaste assenkruis. Voor sommigen is dit de '''Coriolis versnellingcoriolisversnelling''', maar anderen reserveren die term voor de versnelling die men ziet in het bewegend assenkruis en die heeft de tegengestelde zin (zie volgende punt). Deze laatste groep noemt dit dan de '''complementaire versnelling'''. Het blijkt in elke geval nog eens dat de versnelling componenten bevat waaraan intuïtief niet gedacht wordt, alhoewel men ze nadien wel kan verklaren.

Binnen onvervormbare of starre voorwerpen stelt zich regelmatig het probleem om de versnelling van een punt te berekenen uitgaande van de bekende versnelling van een ander punt. Voor deze toepassing kan bovenstaande formule sterk vereenvoudigd worden. Zij punt A het referentiepunt met een bekende versnelling en punt B het punt waarvan men de versnelling wil berekenen. Men kan dan een translerend assenkruis verbinden met A en vandaar kijken naar B. Daar het een translerend assenkruis is, valt alvast de Coriolisversnellingcoriolisversnelling weg. De versnelling van B is dus alleen de som van de versnelling van A met een relatieve versnelling van B t.o.v. A. Als het over een onvervormbaar voorwerp gaat, dan kan die relatieve beweging alleen een rotatie zijn met een hoeksnelheid &omega; en/of een hoekversnelling &alpha;. Als er een hoeksnelheid is, dan is er ook een normale versnelling van B naar A met grootte AB.&omega;². Als er een hoekversnelling is, dan is er een tangentiële versnelling loodrecht op de rechte AB, met een zin volgens de zin van &alpha; en met grootte AB.&alpha; . Samengevat:

Normaal wordt de aarde als een vast systeem beschouwd, maar dat is ze in feite niet. Dat heeft gevolgen voor vele bewegingen op aarde. Hier moet even vooruit gelopen worden op het volgend hoofdstuk, waarin de wet van Newton behandeld wordt. Deze wet stelt dat de som van alle krachten op een massa steeds gelijk zal zijn aan het product van die massa maal de versnelling van die massa. Als er geen krachten op een massa uitgeoefend worden, dan is er geen versnelling, d.i. de massa blijft in rust of blijft met constante lineaire snelheid bewegen. Deze wet mag enkel toegepast worden in een systeem dat in rust is of dat met constante snelheid beweegt. In een roterend systeem schijnt de wet niet te kloppen. De versnelling die een waarnemer ziet, berekend op basis van de baan in het bewegend systeem, is de relatieve versnelling. Als alle uitwendige krachten = 0 zijn dan blijkt er in een roterend assenkruis toch nog een relatieve versnelling op te treden. Wiskundig betekent het dat er in de relatieve versnelling, de versnelling gezien door de waarnemer in het bewegend systeem, termen moeten komen die juist het tegengestelde zijn van de sleepversnelling en de complementaire versnelling zodat de totale som 0 is. De man in het bewegend systeem kent dus aan het punt een versnelling -2*v_r*&omega; toe. Het is deze versnelling, zoals waargenomen door de waarnemer in het bewegend systeem, die meestal de '''Coriolisversnellingcoriolisversnelling''' genoemd wordt.

[[afbeelding:Bal-corioliseffect.svg|right|afbuiging door Corioliseffectcorioliseffect]]

Het invoeren van een middelpuntvliedende kracht en een Corioliskrachtcorioliskracht komt er wiskundig op neer dat men de termen m('''a'''_s + '''a'''_comp), die de dimensie hebben van een kracht, naar het linkerlid overbrengt en die dan als een echte kracht gaat interpreteren. Deze interpretatie komt meer overeen met onze ervaring. Wanneer een auto met een hoge snelheid een bocht neemt, dan voelen we ons naar buiten gedrukt. Ook behoren krachten meer tot ieders begrippenkader dan versnelling. Een uitleg in termen van pseudokrachten is daardoor begrijpelijker dan een beschrijving vanuit een inertiaalstelsel.

De Coriolisversnellingcoriolisversnelling levert de verklaring voor de draaiende luchtmassa's rond hoge- of lagedrukgebieden. Vanuit een hogedrukgebied stromen de winden naar buiten. Zodra ze echter in beweging komen begint de Coriolisversnellingcoriolisversnelling te spelen. Die blijft spelen zolang er een v_r is. Volgens de conventie van de rechtsdraaiende schroef ziet men dat die versnelling volgens de blauwe pijlen gericht is. De winden worden dus gedwongen te cirkelen in wijzerzin. Volgens de vroegere Vlaamse weerman Armand Pien, kan men de draaizin hiervan gemakkelijk onthouden door te formuleren dat, in ons noordelijk halfrond, de winden rond een '''H'''oge drukgebied draaien in de zin van een '''H'''orloge. Bij een lagedrukgebied stromen de winden naar binnen. Daardoor ontstaat een werveling in tegenwijzerzin.

Voor bewegingen op het aardoppervlak betekent dit dat de Coriolisversnellingcoriolisversnelling voor een beweging volgens de evenaar, loodrecht staat op het aardoppervlak. Bij een beweging naar het oosten zal een voorwerp iets opgelicht worden, bij een beweging naar het westen iets neergedrukt worden. Dit staat bekend als het [[w:en:Eötvös_effect|Eötvös effect]]. Bij een Noord-Zuid verplaatsing is a_cor =0 omdat v_r dan evenwijdig is met &omega;.

Bij bewegingen rond de polen ligt de Coriolisversnellingcoriolisversnelling ongeveer evenwijdig met het aardoppervlak. Bij de polen is het effect dus het sterkst.

Als men te maken heeft met een verplaatsing in een horizontaal vlak en men is alleen geïnteresseerd in de de component van de Coriolisversnellingcoriolisversnelling in dat vlak, dan kan men die bekomen door te rekenen met de component van &omega; loodrecht op dat vlak. (Het is een eigenschap van het vectorieel product dat het resultaat in een bepaald richting alleen bepaald wordt door de orthogonale projecties van de argumenten op een vlak loodrecht op die richting.) Dit levert qua grootte:

Ook bij een schot over een grote afstand moet men rekening houden met deze Coriolisversnellingcoriolisversnelling. Dat het water bij het uitlopen van het bad ook door deze Coriolisversnellingcoriolisversnelling begint te draaien kan, maar er zijn veel andere invloeden die sterker kunnen zijn, zoals bv. verontreinigingen op de bodem van de badkuip of op het roostertje.