Wiskunde/Oppervlakte:eenvoudige meetkundige vormen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Wijzigingen door 31.21.76.176 hersteld tot de versie na de laatste wijziging door Hansmuller Label: Terugdraaiing |
→Wat is de formule?: met ingeknipte driehoeken |
||
Regel 139:
'''Oppervlakte cirkel = π r²'''
====1. Afleiding uit ingeschreven driehoeken (veelhoek)====
Als we een cirkel opknippen vanuit het centrum, en langs de straal vele knipjes geven bijna tot de rand van de cirkel, kunnen we de cirkel uitrollen.
We krijgen dan een rij nog net verbonden driehoeken met een nog iets gekromde basis (onderkant). Hoe meer driehoeken we zo maken, hoe rechter de onderkanten van de driehoeken worden en hoe beter de onderstaande benadering wordt. Het oppervlak van al die driehoeken samen is nog steeds gelijk aan het oppervlak van de cirkel. Het oppervlak van een driehoek is
:'''oppervlakte driehoek = (basis x hoogte) : 2'''
zagen we boven. Nu hebben we een rij van driehoeken, die samen een totale basis ter lengte van de omtrek van de cirkel
:'''2 pi x straal'''
hebben, terwijl hun hoogte steeds de straal is.
De oppervlakte van alle driehoeken samen en dus van de hele cirkel is
:'''oppervlakte driehoeken = (basis samen x hoogte) : 2''' =<br>
:'''2 pi x straal x straal : 2 ='''<br>
:'''pi x straal x straal = pi x straal<sup>2</sup> = πr<sup>2</sup>'''
====2. Afleiding met omgeschreven regelmatig veelhoek====
====3. Afleiding uit regelmatige veelhoek====
De oppervlakte van een cirkel kan worden afgeleid van de oppervlakte van een regelmatige n-hoek. Gaat het aantal hoeken naar oneindig, dan verdwijnt immers de ruimte tussen de n-hoek en de omgeschreven cirkel (de cirkel die door alle hoekpunten gaat).
Regel 164 ⟶ 186:
Het lijkt in het begin misschien ingewikkeld, maar na een paar keer oefenen wordt het steeds eenvoudiger.
▲Men kan de formule ook vinden zonder beroep te doen op goniometrische functies als sinus, cosinus en tangens. Als men een omgeschreven regelmatige veelhoek beschouwt, dan is de hoogte in elke driehoek gelijk aan de straal r. De totale oppervlakte van die veelhoek met n zijden van lengte z is '''nzr/2'''. Die oppervlakte is groter dan de oppervlakte van de cirkel. Wanneer men het aantal zijden echter steeds groter maakt, wordt dit verschil steeds kleiner. Voor een oneindig groot aantal zijden zal de veelhoek samenvallen met de cirkel. n x z wordt dan de omtrek van de cirkel, nl. 2πr. De oppervlakte van de cirkel wordt dus '''πr<sup>2</sup>'''
== Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen? ==
| |||