Sjabloon:Rekenen in de techniek/Logaritme: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 172:
| Kol2 =
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1Kop = Logaritme
| FormuleKopLevel = 1
| Kol1 = Rond 1600 is dit idee verder uitgewerkt door de Schotse wiskundige [[w:Napier|Napier]]. Hij bedacht het volgende:
| Nummer = Verg.
Als ik van alle getallen de exponent weet bij een zelfde grondtal, dan kan ik vermenigvuldigen door die exponenten bij elkaar op te telen en dan te kijken welke echt getal hoort bij die som van exponenten. Voor delen kan ik de exponenten aftrekken, en ook machtsverheffen of worteltrekken wordt zo eenvoudig mogelijk.
| Kol2 =
Als exponenten op deze manier gebruikt worden, heten ze [[w:Logaritme|'''logaritme''']]. Omdat het grondtal uiteraard belangrijk is voor de uitkomst, wordt dit aangegeven bij de logaritmefunctie. Helaas zijn er twee verschillende manieren in gebruik:
* <sup>2</sup>log(8) = 3.0 want 2<sup>3</sup> = 8.<br />Het grondtal staat in superscript voor de aanduiding van de logfunctie.
* log<sub>2</sub>(8) = 3.0 want 2<sup>3</sup> = 8. (ook dan)<br />Het grondtal staat in subscript tussen de aanduiding van de logfunctie en het getal waarvan de logaritme genomen moet worden.
Meer voorbeelden met 2 als grondtal:
<table border="1">
<tr valign="bottom"><th>Getal</th><th><sup>2</sup>log(getal)</th><th>Getal</th><th><sup>2</sup>log(getal)</th><th>Getal</th><th><sup>2</sup>log(getal)</th><th>Getal</th><th><sup>2</sup>log(getal)</th></tr>
<tr align="center"><td>0.0625</td><td>-4</td><td>1</td><td>0.0</td><td>8</td><td>3.0</td><td>128</td><td>7.0</td></tr>
<tr align="center"><td>0.125</td><td>-3</td><td><math>\sqrt{2}</math></td><td>0.5</td><td>16</td><td>4.0</td><td>256</td><td>8.0</td></tr>
<tr align="center"><td>0.25</td><td>-2</td><td>2</td><td>1.0</td><td>32</td><td>5.0</td><td>512</td><td>9.0</td></tr>
<tr align="center"><td>0.5</td><td>-1</td><td>4</td><td>2.0</td><td>64</td><td>6.0</td><td>1024</td><td>10.0</td></tr>
</table>
| Kol2 = Logaritme<br />[[bestand:John Napier.jpg|150px]]
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 =
* De vermenigvuldiging <math>4 \ \times \ 8</math> wordt dan de exponent van 4 plus de exponent van 8. Dat wordt dus: <math>2 + 3 = 5</math>. Kijk je vervolgens welk getal bij de exponent 5 hoort dan vind je 32.
| Formule =
| Kol2 = Vermenigvuldigen
| Nummer = Verg.
| Kol2 =
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 =
* De deling <math>2 \ / \ 32</math> wordt <math>1 \ - \ 3 \ = \ -4</math>, waar 0.0625 als uitkomst bijhoort.
| Formule =
| NummerKol2 = Verg. Delen
| Kol2 =
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = De vierde macht van vier wordt: De logaritme van 4 opzoeken (= 2), met 4 vermenigvuldigen (<math>= 2 \ \times \ 4 \ = \ 8</math> en daar weer het goede getal bij zoeken (= 256).
| Kol1 =
| Kol2 = Machtsverheffen
| Formule =
| Nummer = Verg.
| Kol2 =
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = De derdemachtswortel van 512 wordt: zoek de logaritme van 512 op (= 9), deel door 3 (= 9/3 = 3) en zoek het getal daar bij: 8.
| Kol1 =
| Kol2 = Worteltrekken
| Formule =
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Nummer = Verg.
| Kol1 = De vierkantswortel van 0.0625 is 0.25, want <math>\frac{-4}{2} \ = \ -2</math> en daar hoort 0.25 als antwoord bij.
| Kol2 =
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kop = Logaritme met 10 als grondtal
| KopLevel = 1
| Kol1 = Als voorbeeld hoe het werkt zijn logaritmes met 2 als grondtal bruikbaar. De getallen waarmee je werkt zijn niet al te groot. Veel vaker, dus ook in het laboratorium, wordt gewerkt met logaritmes met 10 als grondtal. De vraag is dan alleen: hoe vindt je de (bijvoorbeeld) de exponent van 10 die 2 oplevert, of <sup>10</sup>log(2) = ?. Voor het vinden van het antwoord op die vraag is de regel die hoort bij worteltrekken heel belangrijk geweest.
| Kol2 = <sup>10</sup>log(2)=?
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = In bovenstaande tabel is te zien dat 2<sup>10</sup> net iets meer dan 1000 is.
| Formule = <math>2^{10}</math> is iets meer dan <math>10^3</math>
| Nummer = Verg. 25
| Kol2 = Eerste benadering
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = Trek je uit 2<sup>10</sup> de tiendemachts wortel, dan krijg je uiteraard weer 2 terug (want 2 tien keer met zichzelf vermenigvuldigd is 2<sup>10</sup>). Trekken we vervolgens uit 1000 (een getal dat iets kleiner is dan 2<sup>10</sup>) de tiendemachts wortel, dan vinden we een getal dat ook iets kleiner zal zijn {{nowrap|1=<math>\sqrt[10]{2^{10}}</math>.}} Dat kan niet anders betekenen dan:
| Formule = <math>\sqrt[10]{2^{10}}</math> is iets meer is dan <math>\sqrt[10]{10^3} \ = \ 10^{3/10} \ = \ 10^{0.3}</math>
| Kol2Nummer =
| Kol2 = 2<sup>10</sup>
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 =
Regel 201 ⟶ 224:
| Nummer = Verg.
| Kol2 =
}}
}}{{Kolommen2 (variabel)
{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 =
| Formule =
| Nummer = Verg.
| Kol2 =
}}
}}{{Kolommen2 (variabel)
{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 =
| Formule =
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.