Lineaire algebra/Lineaire afbeelding: verschil tussen versies

We hebben al gezien dat de coördinatisering <math>\kappa_B: V \to K^n</math> de lineaire ruimte <math>V</math> met basis <math>B</math> afbeeldt in (op) de lineaire ruimte <math>K^n</math>. Deze afbeelding heeft de volgende eigenschappen:

Een afbeelding <math>A:\,V \to W</math> van de lineaire ruimte <math>V</math> naar de lineaire ruimte <math>W</math>, beide over <math>K</math>, heet '''lineair''' als geldt:

:<math>\,A(x+y) = A(x)+A(y)</math>

:<math>\,A(\alpha x) = \alpha A(x)</math>.

:<math>\,A(x+_{_V}y) = A(x)+_{_W}A(y)</math>

:<math>\,A(\alpha\cdot_{_V} x) = \alpha\cdot_{_W}A(x)</math>

om onderscheid te maken tussen de bewerkingen in <math>V</math> en in <math>W</math>. In de praktijk laten we de indices weg, aangezien dat nooit tot verwarring aanleiding geeft.

We beelden de vectorruimte <math>\R^2</math> af op zichzelf met de lineaire afbeelding <math>A</math>, gegeven door de beelden van de eenheidsvectoren: <math>A(1,0)=(1,1)</math> en <math>A(0,1)=(-1,1)</math>. Omdat de afbeelding lineair is, ligt hiermee de hele afbeelding vast, want:

:<math>\,A(\alpha_1,\alpha_2) = A(\alpha_1 (1,0)+\alpha_2 (0,1))=

::<math>\,

Door op natuurlijke wijze de afbeeldingen van ''<math>V''</math> naar ''<math>W''</math> van een optelling en scalaire vermenigvuldiging te voorzien via:

:<math>\,(f+g)(v)=f(v)+g(v)</math>

:<math>\,(\lambda f)(v)=\lambda(f(v))</math>

wordt de ruimte van alle afbeeldingen van ''<math>V''</math> naar ''<math>W''</math> een lineaie ruimte over hetzelfde lichaam.

De afbeeldingen van de lineaire ruimte <math>V</math> naar de lineaire ruimte <math>W</math>, beide over <math>K</math>, vormen een lineaire ruimte over ''<math>K''</math>.

De lineaire afbeeldingen van de lineaire ruimte <math>V</math> naar de lineaire ruimte <math>W</math>, beide over <math>K</math>, vormen een lineaire deelruimte <math>\mathcal mathca{L(}V,W)</math> van de ruimte van alle afbeeldingen van ''<math>V''</math> naar ''<math>W''</math>.

Met <math>A,B \in \mathcal {L(}V,W)</math> is ook <math>\lambda A + \mu B \in \mathcal {L(}V,W).</math>.