Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Huibc (overleg | bijdragen)
Lintfouten: Verouderde HTML-elementen
Regel 24:
* <math> \sum_i \vec{r}_{Ci}\times\vec{F_i}\,=\,0 </math> nodig is opdat het voorwerp geen hoekversnelling rond een as door het massacentrum zou krijgen en dus niet in rotatie zou komen. Hierbij is <math>\vec{r}_{Ci}</math> de positievector van het aangrijpingspunt van de i-de kracht t.o.v. het massacentrum.
 
Wanneer het voorwerp in rust is, dan is het massacentrum een stilstaand punt. Als men het moment van de krachten uitrekent t.o.v. een ander stilstaand punt P, dan bestaat er een verband tussen beide momenten dat gegeven wordt door de [[Klassieke_Mechanica/Equivalenties#De_verplaatsingsformule|verplaatsingsformule]]:<br />
<math>\vec{\mu_P} = \vec{\mu_C} + \vec{PC}\times\sum_i{\vec{F_i}}</math><br />
Bij rust eist men echter dat de som van de krachten gelijk is aan 0, zodat het moment van alle krachten '''hetzelfde zal zijn t.o.v. om het even welk punt'''. Men kan dit moment dus ook uitrekenen t.o.v. de oorsprong van het assenkruis en men mag deze oorsprong om het even waar kiezen. Meestal wordt de '''evenwichtsvoorwaarde''' dan ook geformuleerd als:
 
<math>\quad \sum_i \vec{F_i}\,=\,0 </math><br />
<math>\quad \vec{\mu_o} = \sum_i\vec{r_i}\times\vec{F_i}\,=\,0</math>
 
Regel 34:
Het kan goed zijn om eens de tekst te herlezen over het vectorieel product en over de manieren om een moment uit te rekenen in het eerste hoofdstuk, in de topic [[Klassieke_Mechanica/Basisbegrippen#Elementaire_bewerkingen_met_vectoren|Elementaire bewerkingen met vectoren]].
 
In de praktijk moet men deze vergelijkingen projecteren op assen, vooraleer men getallen kan invullen. Voor een driedimensioneel probleem levert elke voorwaarde drie scalaire vergelijkingen, bv. door te projecteren op cartesische assen. De componenten van de kracht F<sub>i</sub> worden daarbij geschreven met hoofdletters als X<sub>i</sub>, Y<sub>i</sub> en Z<sub>i</sub>, en de coördinaten van het aangrijpingspunt met kleine letters als x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub> en z<sub>i</sub>. Men krijgt dan:<br />
- som van de krachten = 0 levert:
* <math>\sum{X_i} = 0 </math><br />
 
* <math>\sum{Y_i} = 0 </math><br />
 
* <math>\sum{Z_i} = 0 </math><br />
 
- som van de momenten = 0 levert:<br />
* <math>\sum{y_i.Z_i - z_i.Y_i} = 0 </math><br />
 
* <math>\sum{z_i.X_i - x_i.Z_i} = 0 </math><br />
 
* <math>\sum{x_i.Y_i - y_i.X_i} = 0 </math><br />
 
 
Regel 64:
Uit de beschrijving blijkt dat de driehoek ABC gelijkzijdig is. De kracht in A heeft 2 componenten: X<sub>A</sub> en Y<sub>A</sub>. De spanning in het touw moet volgens het touw liggen (wordt later nog verklaard). Dit levert een schets op als op de figuur hiernaast. Er blijken 3 onbekenden in het probleem te zitten en men kan ook juist 3 vergelijkingen opschrijven. Het probleem is dus eenduidig bepaald.
 
De vergelijkingen worden:<br/>
:<math>X_A -S.\cos{30^o}=0 </math> <br/>
:<math>Y_A + S.\sin 30^o - G = 0 </math> <br/>
 
De momentenvergelijking wordt opgeschreven t.o.v. het punt A, omdat dan de onbekende krachten in A niet voorkomen in die vergelijking. Men kan zo een vergelijking in één onbekende, nl. S, opstellen, die onmiddellijk kan opgelost worden:<br/>
:<math>S.l.\cos 30^o - G.\frac{l}{2}.\cos 30^o = 0</math>
 
Uit de laatste vergelijking volgt: S = G/2<br/>
Invullen in de vorige vergelijkingen levert:<br/>
:X<sub>A</sub> = <math>\sqrt{3}G/4</math><br/>
:Y<sub>A</sub> = 3G/4
 
[[afbeelding:statica-balk2.png|right|3 samenlopende krachten]]
Wanneer er slechts '''3 krachten''' in het spel zijn, eist de momentenvergelijking feitelijk dat de dragers van '''die 3 krachten door één punt gaan'''. Het gewicht en de spanning S snijden elkaar in het punt D. T.o.v. D hebben zij dus geen moment. Als men de kracht in A niet in componenten uittekent, maar als één kracht R<sub>A</sub>, en men berekent het moment van alle krachten t.o.v. D, dan mag R<sub>A</sub> geen moment hebben t.o.v. D opdat de som van alle momenten 0 zou zijn. Ook R<sub>A</sub> moet dus door D passeren. Op basis van een klein beetje meetkunde kan men zien dat R<sub>A</sub> dan onder een hoek van 30° met de verticale moet liggen. Men kan controleren dat de oplossing hieraan beantwoordt:<br />
:<math>\arctan \frac{X_A}{Y_A}= \arctan\frac{\sqrt{3}G/4}{3G/4}= \arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=30^o</math>
 
Regel 200:
Als men dit optelt bij de momentenvergelijking voor het linkse deel, krijgt men ook de vorige momentenvergelijking.
 
'''Numeriek voorbeeld'''<br />
Als men volgende waarden als gegeven invult:
* G<sub>man</sub> = 800 N
Regel 215:
* X<sub>C</sub> = X<sub>AB</sub> = 104,15 N
 
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
==Samengesteld systeem, geheel vervormbaar==
Regel 221:
[[afbeelding:manOpLadder2.png|230x270px|right|man op ladder]]
Neemt men bij vorig voorbeeld de staaf tussen de treden weg, dan bekomt men een systeem dat op zijn geheel vervormbaar is. Er zijn nu in de steunpunten zijdelingse reacties nodig om te beletten dat die zouden wegschuiven. Het grote verschil is nu dat men bij het toepassen van de evenwichtsvoorwaarden voor het geheel, niet meer een stelsel heeft dat op zichzelf oplosbaar is. In dit geval zit men met 3 vergelijkingen in 4 onbekenden: X<sub>A</sub>, Y<sub>A</sub>, X<sub>B</sub> en Y<sub>B</sub> (zie figuur hieronder). In vele gevallen kan men echter toch nog de momentenvergelijking voor het geheel opschrijven als een vergelijking in één onbekende, die ogenblikkelijk op te lossen is en zo een vertrekpunt kan vormen voor het handmatig oplossen van het stelsel. In dit geval kan men bv. de momentenvergelijking voor het geheel opschrijven t.o.v. het punt A of B. Dat zal een vergelijking leveren waarin resp. alleen Y<sub>B</sub> of alleen Y<sub>A</sub> voorkomt als onbekende. Als men zo bv. Y<sub>B</sub> bepaald heeft, vormen de vergelijkingen voor het rechtse deel een stelsel van 3 vergelijkingen in 3 onbekenden dat op zich op te lossen is. Dan heeft men uiteindelijk nog 2 vergelijkingen nodig van het linkse deel om X<sub>A</sub> en Y<sub>A</sub> te bepalen. Als men alles in de computer kan steken, is dit geval niet moeilijker dan het vorige.
<br clearstyle="allclear: both;"/>
[[afbeelding:manOpLadder2Bgeheel.png|left|man op ladder: evenwicht van 't geheel]]
[[afbeelding:manOpLadder2B.png|right|man op ladder: onderdelen]]
<br clearstyle="allclear: both;"/>
 
===De vergelijkingen===
Regel 257:
:<math> \vec F_{BA} = -\vec F_{AB}</math>
Voor drie voorwerpen is dat nog juist overzichtelijk, voor meer wordt het moeilijk. Men wil liever één kracht op elk voorwerp veroorzaakt door alle andere voorwerpen, zoals in de derde schets. Die kracht wordt dan natuurlijk de som van de krachten uit de vorige beschrijving. Hiervoor geldt dan:
:<math>\vec F_A = \vec F_{BA} + \vec F_{CA}= -\vec F_{AB} + \vec F_{CA}</math> <br />
:<math>\vec F_B = \vec F_{AB} + \vec F_{CB}= \ \ \vec F_{AB} -\vec F_{BC}</math> <br />
:<math>\vec F_C = \vec F_{AC} + \vec F_{BC} = -\vec F_{CA} + \vec F_{BC}</math> <br />
 
Als men beide leden lid aan lid optelt, vindt men:
Regel 286:
 
[[afbeelding:vakwerk3.png|right|Bepalen van aantal staven]]
Er is nog een andere manier om aan dat aantal te geraken. Het kleinste vakwerk bestaat natuurlijk uit een driehoek. Dat heeft 3 staven en 3 knooppunten. Als men iets wil toevoegen dan is het minimaal 1 knooppunt en 2 staven. Dan heeft men 4 knooppunten en 5 staven. Elke toevoeging van een knooppunt betekent ook 2 staven meer. De formule wordt dus:<br />
: aantal staven = (2 x aantal knooppunten) - 3
 
Bij sommige constructies worden staven gebruikt waarin geen kracht schijnt op te treden. Dit is bv. het geval in knooppunten waar 3 staven samenkomen, waar geen uitwendige belasting is en waar 2 van de 3 staven perfect in elkaars verlengde liggen. Men moet er echter rekening mee houden dat er altijd een lichte vervorming optreedt onder belasting. Die schijnbaar overbodige verbindingen kunnen dan wel een rol gaan spelen. Ook kunnen ze een rol spelen als er wel een belasting komt op het knooppunt. Een belangrijke ontwikkelaar van vakwerken voor daken van fabriekshallen en stations was de Fransman Polonceau. Een van zijn eerste vakwerken was een overspanning voor het dak van een station in Parijs in 1837<!-- [httphttps://www.corusconstruction.com/en/reference/teaching_resources/architectural_studio_reference/history/development_of_the_clear_span_building/naval_dock_buildings,_market_halls_and_factories/]. pagina niet gevonden -->. Zijn naam staat ook vermeld op de [[w:fr:Liste_des_soixante-douze_noms_de_savants_inscrits_sur_la_tour_Eiffel| Eiffeltoren]]. Zijn naam is ook verbonden aan het rechse vakwerk in de figuur hieronder.
 
Er is een grote verscheidenheid aan vakwerken mogelijk. <!-- Men kan op internet een gratis Nederlands programma vinden om vakwerken te tekenen en te berekenen (onder Windows) op httphttps://home.wanadoo.nl/gerardvansanten/vakwerk.htm. website niet gevonden -->De driedimensionele vakwerken, zoals bij een torenkraan, kwamen pas na de 2de wereldoorlog volop in gebruik.
 
Er is een grote verscheidenheid aan vakwerken mogelijk. Men kan op internet een gratis Nederlands programma vinden om vakwerken te tekenen en te berekenen (onder Windows) op http://home.wanadoo.nl/gerardvansanten/vakwerk.htm. De driedimensionele vakwerken, zoals bij een torenkraan, kwamen pas na de 2de wereldoorlog volop in gebruik.
[[afbeelding:Polonceau.png|center|Ontwerpen van Polonceau]]
 
Regel 298 ⟶ 297:
Als voorbeeld wordt de berekening van alle krachten van bovenstaand voorbeeld uitgevoerd. Er wordt ondersteld dat alle driehoeken gelijkzijdig zijn (dan zijn alle hoeken 60°) met een zijde van 2 m en dat de kracht F = 500 kg. De projecties van de krachten krijgen een teken volgens de zin die in de figuur hierboven gegeven is. De resultaten moeten dan positieve getallen zijn. Een negatieve uitkomst duidt op een verkeerd ingeschatte zin van de kracht.
 
Evenwicht van het geheel:<br />
<math>\sum X_i = X_A = 0 </math><br />
<math>\sum Y_i = Y_A + Y_D - 500 = 0</math><br />
Moment t.o.v. A:<br />
<math> -2*500 + 4*Y_D = 0</math><br />
Hieruit volgt: Y<sub>D</sub> = 250 kg<br />
Uit vorige vergelijking volgt dan: Y<sub>A</sub> = 250 kg<br />
 
Voor knooppunt A:<br />
<math>\sum X_i = S_{AE} + S_{AB}\cos 60 + X_A = 0</math><br />
<math>\sum Y_i = S_{AB}\sin 60 + Y_A = 0</math><br />
Hieruit volgt S<sub>AB</sub> = - Y<sub>A</sub>/sin 60° = -288,7 kg . Het minteken van het resultaat betekent dat de zin van de kracht in de staaf AB verkeerd ingeschat werd. Het moet druk zijn i.p.v. trek.<br />
S<sub>AE</sub> = - S<sub>AB</sub>cos 60° = -(-288,7)*0.5 = 144,3 kg (trek) <br />
 
Knooppunt B, met S<sub>AB</sub> als druk:<br />
<math>\sum X_i = -S_{BC} + S_{AB}\cos 60 - S_{BE}\cos 60 = 0</math><br />
<math>\sum Y_i = S_{AB}\sin 60 + S_{BE}\sin 60 = 0</math><br />
Bij de laatste vergelijking is duidelijk iets fout: de som van 2 positieve getallen kan nooit 0 worden. De zin van een kracht is dus verkeerd. S<sub>BE</sub> moet een trek zijn. Men krijgt dan als vergelijkingen:<br />
<math>\sum X_i = -S_{BC} + S_{AB}\cos 60 + S_{BE}\cos 60 = 0</math><br />
<math>\sum Y_i = S_{AB}\sin 60 - S_{BE}\sin 60 = 0</math><br />
Uit de laatste vegelijking volgt dadelijk: S<sub>BE</sub> = S<sub>AB</sub> = 288,7 kg (trek)<br />
Uit de vorige vergelijking volgt dan: S<sub>BC</sub> = 2*S<sub>AB</sub>cos 60° = 288,7 kg (druk)<br />
 
Knooppunt C:<br />
<math>\sum X_i = S_{BC} +S_{CE}\cos 60 - S_{CD}\cos 60 = 0</math><br />
<math>\sum Y_i = S_{CE}\sin 60 + S_{CD}\sin 60 = 0</math><br />
Hier kan weer dezelfde opmerking gemaakt worden. Het is duidelijk dat S<sub>CE</sub> op trek belast wordt. Men vindt:<br />
S<sub>CE</sub> = S<sub>BC</sub>/(2*cos 60°) = 288,7 kg (trek)<br />
S<sub>CD</sub> = S<sub>CE</sub> = 288,7 kg (druk)<br />
 
Om de kracht in staaf DE te bepalen, wordt beroep gedaan op knooppunt D:<br />
<math>\sum X_i = S_{CD}\cos 60 - S_{DE} = 0</math><br />
Hieruit volgt: S<sub>DE</sub> = 144,3 kg (trek).
[[Afbeelding:vakwerk4.png|center|Vakwerk met krachten]]
Regel 362 ⟶ 361:
waarbij het rechterlid een constante is. Na dubbele integratie krijgt men dus
:<math> y(x) = \frac{g_l}{T_x}\frac{x^2}{2} + C_1x + C_2 </math>
De vorm van de kabel is in dit geval een parabool. De vergelijking bevat 3 constanten. Hiervoor heeft men 3 randvoorwaarde die moeten voldaan zijn:<br />
- de kabel moet door de punten A en B passeren: y(x<sub>A</sub>)= h<sub>A</sub> en y(x<sub>B</sub>)= h<sub>B</sub>.<br />
- De spanning Tx hangt vooral af van de lengte van de kabel t.o.v. de afstand AB:
:<math> L = \int_A^B \sqrt{dx^2+dy^2} = \int_A^B \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx =
Regel 404 ⟶ 403:
:<math>h_m = |y(0)|= \frac{T_x}{g\mu}\left [\cosh\left(\frac{g\mu}{T_x}\frac{AB}{2}\right)-1 \right ]</math>
 
Galileo dacht dat de vorm van een doorhangende ketting of kabel een parabool was. Bernouilli was de eerste om de correcte vorm te vinden. Het verschil is echter klein. Men kan de parabool als een 1e-ordebenadering beschouwen. De kettinglijn is iets smaller dan de parabool. Andere afleidingen (bv. [httphttps://de.wikipedia.org/wiki/Katenoide Katenoide] in de Duitse Wikipedia) tonen aan dat de vorm onafhankelijk is van &mu; en g.
 
Deze vergelijkingen worden dikwijls afgeleid door een stukje te beschouwen met lengt s en vertrekkend naar rechts vanaf het onderste punt. Men vindt dat dat de T<sub>y</sub> moet gelijk zijn aan het gewicht van dit stukje. Dit afleiden naar x levert een uitdrukking als hierboven
Regel 444 ⟶ 443:
Deze formule wordt de '''Euler-Bernoulli vergelijking''' genoemd (zie in de Engelse Wikipedia onder [[w:en:Euler-Bernoulli_beam_equation| "Euler-Bernoulli beam equation"]]).. Ze geeft de vervorming van een klein stukje balk als er op beide zijden een moment M, maar met tegengestelde zin, uitgeoefend wordt.
 
Maar wat is het moment dat in deze formule voorkomt? Het kleine stukje dikte &Delta;x, waarvoor de formule geldt, kan zich op elke punt van de balk bevinden. Dan is het moment links het moment dat door het linkse deel van de balk, tot op die plaats, op het stukje uitgeoefend wordt en analoog voor rechts. Als geen ander moment op het stukje uitgeoefend wordt, dan moeten die momenten even groot zijn maar met tegengestelde zin. Als de dikte &Delta;x van dit stukje naar 0 gaat wordt dit herleid tot een vlak. Het moment in de formule is dus het moment dat het ene stuk van de balk op het andere uitoefent ter hoogte van dit vlak. Om een duidelijk zicht te hebben op die krachten en momenten, moet men een snede aanbrengen op die plaats. Men beeldt zich in dat de balk op die plaats doorgesneden wordt loodrecht op de x-as. Vervolgens zoekt men welke krachten en momenten men op beide vrijgekomen doorsneden moet uitoefenen opdat beide stukken op hun plaats zouden blijven. Op elk stuk kan een kracht en een moment aangrijpen, elk met 3 componenten. Volgens de 3e wet van Newton moet wat op het linkse deel aangrijpt even groot zijn als wat op het rechtse aangrijpt, maar met tegengestelde zin. Als er alleen verticale uitwendige krachten op de balk werken, zal er in de snede ook alleen een verticale kracht nodig zijn op basis van de formules voor het evenwicht van elk stuk. Als er geen uitwendig moment volgens de x-as (torsie volgens de langsrichting) of volgens de y-as (torsie volgens de verticale) uitgeoefend wordt, zal er ook in de snede geen moment nodig zijn volgens die assen. Hier is vooral het moment volgens de z-as belangrijk. Als men een snede op positie x beschouwt, kan men de momenten die door het stuk rechts uitgeoefend worden op het stuk links, startend in x=0, op 2 manieren berekenen: door het evenwicht der momenten te beschouwen t.o.v. de snede of door de momenten uit te rekenen uitgeoefend door het rechtse deel op het linkse. Voor de eenvoud van de zaak volgt men voor dit eerste voorbeeld de eerste methode. Men moet dan rekenen met<br />
[[afbeelding:Buiging-balk.pdf|right|250px|buiging van een balk]]
- een moment van de kracht in het steunpunt A. De kracht in elk steunpunt moet de helft zijn van het gewicht. F<sub>A</sub> = G/2 = g&mu;L/2 , met g de gravitatieversnelling en &mu; de massa per meter. Het tegengestelde moment is dan x.F<sub>A</sub> = g&mu;Lx/2<br />
- het moment van het stuk balk links van de snede. Dit stuk heeft lengte x en het gewicht ervan grijpt aan in het midden ervan. Het tegengestelde moment is -(g&mu;x)(x/2)<br />
Het totale moment in x is dus: (g&mu;/2)(Lx- x<sup>2</sup>). Invullen in de vergelijking:
:<math> y''(x) = \frac{g\mu}{2EI}(Lx-x^2)</math>
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.