Klassieke Mechanica/Elementaire dynamica: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Huibc (overleg | bijdragen)
Lintfouten: Verouderde HTML-elementen
 
Regel 24:
De klassieke mechanica wordt ook wel Newtoniaanse mechanica genoemd omdat de basis ervan gelegd werd door [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643-1727). Op het vlak van de mechanica droeg hij vooral bij door de drie [[w:Wetten_van_Newton| wetten van Newton]] en door de algemene gravitatiewet, waardoor hij een wiskundige grondslag gaf aan de wetten van Kepler. Zijn grote werk op dit vlak is "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", soms ook kortweg geciteerd als "Principia" (1684-1686). Het werd nog in het latijn geschreven, terwijl in onze streken [[w:Simon_Stevin|Simon Stevin]] reeds een eeuw vroeger begonnen was met in het Nederlands (van toen) te schrijven. Zijn werk was reeds voorbereid door [[w:Galileo_Galilei|Galileo Galilei]] met zijn grondige studie van de vrije val als eenparig versnelde beweging en de conclusie dat een horizontale beweging kan doorgaan met een minimum aan energieverlies. Men kan hierin een aanwijzing zien voor de eerste wet van Newton of de traagheidswet.
 
'''Eerste Wet van Newton: de traagheidswet'''<br />
:Een voorwerp waarop geen netto resulterend kracht werkt zal zijn bewegingstoestand behouden: als het in rust is blijft het in rust, als het in beweging is zal het met constante snelheid bewegen in een rechte lijn.
 
'''Tweede Wet'''<br />
:Als er een netto resulterende kracht werkt op een voorwerp dan zal dit een versnelling krijgen die evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa.
 
'''Derde Wet of actie-reactie wet'''<br />
:Krachten zijn interacties tussen twee voorwerpen. Als een eerste voorwerp een kracht uitoefent op een tweede, dan zal het tweede een even grote maar tegengestelde kracht uitoefenen op het eerste. Men noemt deze beide krachten een actie-reactiekoppel.
 
Regel 53:
Als eerste voorbeeld wordt een bol aan een touw beschouwd, rustend op een ronddraaiende kegel. In de eerste stap zal men de bol afzonderlijk tekenen, los van de kegel.
 
B. De tweede stap is het '''invoeren van alle krachten''' die vanuit de omgeving '''op de bal''' werken. Hierbij moet men zich 2 vragen stellen:<br />
&nbsp;- werkt de zwaartekracht? Zijn er andere krachten die op afstand werken?<br />
&nbsp;- waar zijn er contacten met de omgeving? Daar werken normaal gesproken ook krachten.
 
Regel 60:
 
[[afbeelding:NewtonKogelB.png|left|bol op kegel: de krachten]]
Om de tweede vraag te beantwoorden doet men de ronde van het voorwerp. Hierbij ontdekt men 2 contacten met de omgeving:<br />
1. het touw. Het touw trekt aan de bol en de bol trekt aan het touw. De eerste kracht werkt op de bol, de tweede op het touw. Het is dus de eerste die men nodig heeft.<br />
2. er is een contact tussen bol en kegel. De bol drukt op de kegel en de kegel houdt de bol omhoog. Deze laatste is de kracht op de bol. Men moet dus een kracht loodrecht op de kegel tekenen en omhoog. Dit moet de figuur leveren zoals hiernaast.
 
'''Opmerking''': de pijltjes, die de krachten voorstellen, worden getekend met hun begin of hun top op de plaatst waar de kracht aangrijpt. Dikwijls ziet men schetsen waarbij alle krachten vertrekkend vanuit het massacentrum getekend worden. Later, wanneer ook de rotatie ter sprake komt, zal men rekening moeten houden met het moment van de krachten. Om dat uit te rekenen moet men het aangrijpingspunt kennen. Een schets met alle krachten vanuit het massacentrum helpt dan niet. Liefst tekent men dus de krachten steeds waar ze aangrijpen. Dat helpt ook om niet te snel twee tegengestelde krachten als even groot te beschouwen, waar dat niet het geval is omdat er bv. een versnellingscomponent in die richting is. Zie bv. het derde voorbeeld.
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
==Versnelling bepalen==
Regel 74:
 
In Amerikaanse werken zal men de som van de krachten dikwijls de "applied forces"" noemen en de massa x versnelling de "resultant forces". Dit beantwoordt aan het idee van '''oorzaken in het ene en gevolg in het andere lid'''. Alhoewel m'''a''' de dimensie van een kracht heeft, lijkt het toch beter het accent te leggen op de versnelling als het basiselement van het rechterlid.
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
==Controle==
Regel 83:
 
Vooral bij problemen met wrijvingskrachten zal deze controle dikwijls eventuele fouten in de zin van die krachten aan het licht brengen.
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
==Uitrekenen==
Regel 89:
 
[[afbeelding:NewtonKogelE.png|left|bol op kegel: evolutie]]
Zij &alpha; de basishoek van de kegel, &omega; de hoeksnelheid van de kegel. Dan is &alpha; ook de hoek tussen '''S''' en '''a'''<sub>n</sub><br />
Zij l de lengte van het touw + de straal van de bol. Dan is de straal van de cirkel beschreven door het massacentrum van de bol gegeven door r = l.cos &alpha;<br />
De normale versnelling wordt dan: a<sub>n</sub> = r.&omega;<sup>2</sup><br />
De projectie langs de kegel wordt dan:
:<math> -G.\sin\,\alpha + S = m.a_n.\cos\,\alpha</math> &nbsp; met enkel S als onbekende<br />
Projectie loodrecht op de kegel levert dan:
:<math> -G\cos\,\alpha + D = -m.a_n.\sin\,\alpha</math> &nbsp; met enkel D als onbekende<br />
Het is typisch dat sinus en cosinus afwisselen in de vergelijkingen als men op orthogonale assen projecteert.
 
De laatste figuur schetst de evolutie van het systeem bij stijgende hoeksnelheid van de kegel. Bij kleine hoeksnelheid zal a<sub>n</sub> klein zijn, zodat er een druk D nodig is om de veelhoek te sluiten. Bij stijgende hoeksnelheid komt er een punt waarop D=0 is. Stijgt de hoeksnelheid nog verder, dan zou D naar beneden gericht moeten zijn om de bol op de kegel te houden. Kan dat niet, dan zal het touw een kleinere hoek maken met de horizontale opdat de horizontale component van de spanning in het touw zou kunnen toenemen terwijl de verticale component gelijk blijft aan het gewicht. De bol komt dan los van de kegel en gaat iets erboven hangen.
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
==Tweede voorbeeld==
Regel 107:
Men mag dit probeempje niet te eenvoudig benaderen. Als aan het onderste blok getrokken wordt, zal het bovenste willen meebewegen naar rechts. Daardoor komt er een spanning in het touw. Daar het touw schuin gespannen is wordt het bovenste blok lichtjes opgetild. Het druk dus niet meer met zijn volle gewicht op het onderste blok. In welke mate het opgetild wordt hangt af van de spanning in het touw, die afhangt van de wrijvingskracht, die afhangt van de druk tussen beide blokken, die weer afhangt ... van de spanning in het touw. Dit is geen cirkelredenering. Dat twee veranderlijken mekaar beïnvloeden is vrij frequent en stelt algebraïsch geen probleem, zoals verder zal blijken.
 
- Over welke massa's moet men praten? Daar men de kracht tussen beide blokken nodig heeft en beide een verschillende versnelling hebben, moet men zeker beide blokken afzonderlijk beschouwen. Men tekent ze dan ook best ietwat uit elkaar.<br />
- Wat is de zin van de wrijving? Het bovenste blok moet door de wrijving naar rechts geduwd worden. Dus is de wrijving die daarop werkt zeker naar rechts gericht. De reactie hierop werkt op het onderste blok en is dan naar links gericht. Deze is als de vector -w<sub>1</sub> genoteerd. Welk vector van het actie-reactiekoppel men met een + en welke men met een - noteert, kan vrij gekozen worden. De + en - betekenen alleen dat men te maken heeft met twee even grote maar tegengesteld gerichte vectoren, wat typisch is voor een actie-reactiekoppel. Bij het opschrijven van de projecties wordt met dit min-teken uit de vectoriële notatie geen rekening gehouden. Dan kijkt men alleen naar de zin van de vector t.o.v. de projectierichting. Er blijft dat bij projectie op dezelfde assen, de projecties van actie en reactie een tegengesteld teken moeten hebben. Zie infra bv. voor W<sub>1</sub>.
 
Regel 115:
 
Voor m<sub>1</sub>:
:<math>\displaystyle -S.\cos 30 \,+\,W_1\,=\,0</math>&nbsp;&nbsp;(1)<br />
:<math>\displaystyle +S.\sin 30 \,+\ D_1\, -\,G_1\,=\,0</math>&nbsp;&nbsp;(2)<br />
:<math>\displaystyle W_1=f_1.D_1</math>&nbsp;&nbsp;(3)<br />
 
Voor m<sub>2</sub>
:<math>\displaystyle -W_1\, - W_2\, +\, F\, =\, m_2.a</math>&nbsp;&nbsp;(4)<br />
:<math>\displaystyle -D_1\, -G_2\, +\, D_2\, =\, 0</math>&nbsp;&nbsp;(5)<br />
:<math>\displaystyle W_2 = f_2.D_2</math>&nbsp;&nbsp;(6)<br />
 
Er blijken zes vergelijkingen te zijn voor zes onbekenden. Dat moet normaal oplosbaar zijn.
Na invullen van (3) in (1) en een beetje herschikken van (1) en (2) bekomt men:
 
:<math>\displaystyle -S.\cos 30 \,+\,f_1.D_1\,=\,0</math>&nbsp;&nbsp;(1b)<br />
:<math>\displaystyle +S.\sin 30 \ +\ D_1\,=\,G_1</math>&nbsp;&nbsp;(2b)<br />
 
Dit blijkt een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, dat dus afzonderlijk oplosbaar is. Men kan S elimineren door (1b) te vermenigvuldigen met sin 30° en (2b) met cos 30° en beide lid aan lid op te tellen. Het resultaat is:
Regel 161:
* voor het platform: <math> S - D - G_p = m_p.a</math>
* voor de man: <math> S + D - G_m = m_m.a </math>
Dit is een stelsel van 2 vergelijkingen in 2 onbekenden.<br />
Telt men beide vergelijkingen lid aan lid op dan verdwijnt D eruit en bekomt men S:
:S = (m<sub>p</sub> + m<sub>m</sub>)(a + g)/2<br />
Trekt men beide leden van elkaar af dan bekomt men D:
:D = (m<sub>m</sub> - m<sub>p</sub>)(a + g)/2<br />
Voor een positief resultaat voor D, d.i. opdat D de onderstelde zin zou hebben, moet m<sub>m</sub> &gt; m<sub>p</sub>. Het is nogal evident dat, als het gewicht van het platform groter zou zijn dan het gewicht van de man, de man gewoon omhoog zal getrokken worden door het vallend platform.
 
Regel 184:
Dit is een vectoriële wet die dicht aansluit bij de tweede wet van Newton. Men zal dezelfde techniek voor het vrijmaken van de massa m moeten volgen. In de vectoriële formule staat een minteken, maar als bij projectie de term die volgt ook negatief is, dan kan het in de praktijk een som worden.
 
'''Voorbeeld'''<br />
[[afbeelding:bal_botsend_tegen_wand.png|right| bal botsend met wand]]
Een bal beweegt wrijvingsloos over een horizontaal vlak en botst tegen een volkomen gladde verticale wand. Men stelt vast dat de bal de wand nadert onder een hoek van 60° en teruggekaatst wordt onder een hoek van 50°. Bereken de snelheid na de botsing en de stoot van de wand op de bal. Snelheid voor de botsing: 4 m/s ; massa van de bal: 0,1 kg.<br />
Nota: alleen bij een volkomen elastische botsing zou de uittreehoek moeten gelijk zijn aan de invalshoek.
 
Oplossing<br />
De bal botst tegen een "volkomen gladde wand". Hiermede geeft men aan dat de kracht van de wand op de bal steeds loodrecht op de wand zal staan. De stoot als integraal van de kracht over de botsingstijd zal dus ook loodrecht op de wand staan. Er zijn dus 2 onbekenden in het probleem: de grootte van de stoot en de grootte van de snelheid na de botsing. Volgens bovenstaande impulsstelling kan men opschrijven:
:<math>\vec{N}\,=\,m(\vec{v_2}-\vec{v_1})</math>
Regel 205:
 
===Voor meerdere massa's===
Wanneer men meerdere massa’s heeft, kan een deel beschouwd worden als het systeem waarover men praat en de rest als niet behorend tot dat systeem. Voor de krachten wordt dan een onderscheid ingevoerd tussen:<br />
- '''inwendige krachten''': krachten tussen twee massa’s die behoren tot het systeem. De inwendige krachten moeten, volgens het derde postulaat van Newton steeds onder de vorm van aktie-reaktieparen voorkormen.<br />
- '''uitwendige krachten''': krachten die van buitenuit op één der massa’s van het systeem werken. Ze krijgen hier de index "ext" voor "extern".
 
Regel 223:
Bij een botsing geldt er steeds behoud van impuls, maar niet noodzakelijk behoud van energie. Wanneer er bij een botsing ook de energie behouden blijft, spreekt men van een volkomen elastische botsing. Dit impliceert dat de voorwerpen zeker niet aan elkaar blijven kleven. Wanneer twee botsende voorwerpen aan elkaar blijven kleven dan heeft men een volkomen niet-elastische botsing. De meeste werkelijke botsingen liggen echter tussen deze beide uitersten in. Hieraan wordt een afzonderlijk hoofdstuk gewijd: [[Klassieke_Mechanica/Botsingen| Botsingen ]]
 
'''Voorbeeld'''<br />
[[afbeelding:botsingB.png|right| botsende biljartballen]]
Een biljartbal wordt met een snelheid van 5 m/s tegen een stilstaande bal geschoten. Men stelt vast dat deze bal uitwijkt onder een hoek van 60° en dat de andere bal vertrekt onder een hoek van 30° t.o.v. de snelheid van de aankomende bal. Bereken de snelheid van beide ballen.
 
Oplossing<br />
Dit is een interactie tussen de 2 ballen zonder invloed van krachten van buitenuit. Er geldt dus een behoud van impuls. Men schrijft dus dat de impuls voor de botsing moet gelijk zijn aan de totale impuls na de botsing:
:<math>m.\vec{v_0} = m.\vec{v_l} + m.\vec{v_r}</math>
Regel 245:
 
 
'''Nota: botsingstijd zeer klein'''<br />
Om berekeningen te vereenvoudigen zal men dikwijls stellen dat “de botsingstijd zeer klein is”. Deze idealisatie heeft twee gevolgen:
# de invloed van niet-botsingskrachten mag verwaarloosd worden.
Regel 284:
 
 
'''Voorbeeld'''<br />
Een straalvliegtuig vliegt met een constante snelheid van 1500 km/u. Het verbruikt lucht met een debiet van 110 kg/s en brandstof met een debiet van 0,97 kg/s. De verbrandingsgassen worden uitgestoten met een relatieve snelheid van 780 m/s. Welke stuwkracht levert zijn motor op dat ogenblik?
 
Regel 292:
:F = D<sub>m,lucht</sub>(363,3 - 0) + D<sub>m,brandst</sub>(780) = 110*363,3 + 0,97*780 = 39 963 + 756,6 = 40 719,6 N
 
'''Tweede voorbeeld'''<br />
[[afbeelding:straalmotortest.png|right|deflector voor uitlaat van straalmotor]]
Bij het testen van een straalmotor wordt achter de motor een deflector gezet die de uitlaatgassen omhoog richt. Bereken de krachten in de steunpunten en in de kabel als de motor gassen uitstoot met een debiet van 45 kg/s en deze de deflector binnenkomen met een snelheid van 720 m/s en die verlaten met een 310 m/s. De diameter van de inlaat is 1 m en van de uitlaat 1,5 m. Het eigen gewicht van de deflector is 2000 N.
Regel 304:
:<math> -S.\cos(30\mbox{°}) = D_m(0-v_{in})</math>
Hieruit volgt ogenblikkelijk voor S:
:S = 45*720/cos 30° = 37412 N <br />
- Verticaal:
:<math>-S.\sin(30\mbox{°}) + R_B + R_C - G = D_m(v_{uit} - 0)</math><br />
Hierin zitten nog 2 onbekenden. Men moet ook nog de momentenvergelijking opschrijven. Dit wordt gedaan t.o.v. D omdat dan 2 van de 3 onbekenden niet voorkomen in de vergelijking en men dus een vergelijking in 1 onbekende zal bekomen.
:5*R<sub>C</sub> - 2*G = D<sub>m</sub>(4,25*v<sub>uit</sub> -(-0,5*v<sub>in</sub>))<br />
Hieruit volgt:
:R<sub>C</sub> = (2*2000 + 45(4,25*310 + 0,5*720))/5 = 15897 N
Invullen in de vorige vergelijking levert R<sub>B</sub> = 18789 N <br />
 
==Historische nota==
Regel 320:
 
==Links==
Er bestaan op internet heel wat simulaties van botsingen. Een bekende, met elastische en niet-elastische botsingen in te vinden bij de applets van Walter Fendt: http://www.walter-fendt.de/ph14d/ (in verscheidene talen)<br />
Meer links naar simulaties van botsingen kan men ook vinden in het hoofdstuk "Aanvullingen: [[Klassieke Mechanica/Botsingen| Botsingen]]".
 
Regel 347:
 
Dus <math>\Delta\frac{mv^2}{2} = \Delta E_k = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} </math>
<br />
Wanneer de arbeid positief is dan wordt er energie geleverd aan het voorwerp. Wanneer de arbeid negatief is wordt er energie onttrokken aan het voorwerp.
 
Regel 370:
Als voorbeeld van een geval waarbij '''actie en reactie niet dezelfde verplaatsing''' hebben, kan men het geval beschouwen van een kist die men vooruit duwt. Er is wrijving tussen de kist en de grond. De wrijvingskracht die aangrijpt op de grond en de wrijvingskracht die aangrijpt op de kist vormen een actie-reactiekoppel. Maar het aangrijpingspunt van de wrijving op de kist verplaatst zich met de kist. Er wordt dus '''arbeid onttrokken aan de kist''' (die uiteindelijk moet geleverd worden door de man die de kist duwt). De wrijvingskracht op de grond grijpt telkens op een ander punt aan, maar '''ieder van die punten staat stil'''. Er wordt dus geen mechanische arbeid doorgegeven aan de grond. De arbeid die onttrokken wordt aan de kist zal vooral gaan naar '''wrijvingswarmte''' en dus als mechanische energie verdwijnen uit het systeem.
[[Afbeelding:wrijvingKist.png|center|kist met wrijving]]
<br />
 
==Speciaal geval : potentiaal krachten en behoud van energie==
Regel 501:
 
Oplossing: Wanneer men een massa van 200 g in het schaaltje legt, is de kracht van de veer niet meer voldoende om dit totale gewicht van 300 g op te houden. Het schaaltje zal naar beneden versnellen en met een zekere snelheid door de nieuwe evenwichtsstand passeren. Eens voorbij die stand wordt het afgeremd door de veer, omdat de kracht van de veer dan groter is dan 3 N. Uiteindelijk zal het schaaltje stoppen, maar dan ogenblikkelijk terug naar boven versnellen. Het hele gebeuren wordt beheerst door de wet van behoud van energie.
Men past die toe door de totale hoeveelheid energie te berekenen bij de begin- en bij de eindpositie. Om die posities te bepalen wordt een x-as naar beneden ingevoerd met nulpunt in de beginpositie van het schaaltje. <br />
Beginpositie: potentiële energie van de zwaartekracht = 0
:potentiële energie van de veer = k(l - l<sub>0</sub>)<sup>2</sup>/2 = 100(0,01)<sup>2</sup>/2 = 0,005 J
:E<sub>k</sub> = 0
De eindpositie is die waarbij de snelheid = 0 is en dus ook E<sub>k</sub> = 0. Voor potentiële energieën geldt:
:veer: ment moet rekenen met de totale uitrekking van de veer en dat is x + 1 cm. Dus<br />
::E<sub>p</sub> = 100(x+0,01)<sup>2</sup>/2
:zwaartekracht: E<sub>p</sub> = -mgx = -0,3.10.x
Regel 527:
Voor het oplossen van het probleem hoeven we echter alleen te weten dat alle verbindingen als ideaal mogen beschouwd worden en dat de enige actieve kracht een potentiaalkracht is. Men schrijft weer de totale energie op in de begin- en eindsituatie en stelt die aan elkaar gelijk.
 
Beginsituatie:<br/>
:E<sub>p</sub> kan men 0 stellen. Dit betekent dat men de beginpositie van B als hoogte = 0 stelt.<br/>
:E<sub>k</sub> = 0
 
Eindsituatie:<br/>
:E<sub>p</sub> = -m<sub>B</sub>gLsin 45°<br/>
:E<sub>k</sub> = (m<sub>A</sub>v<sub>A</sub><sup>2</sup> + m<sub>B</sub>v<sub>B</sub><sup>2</sup>)/2
 
Men krijgt als vergelijking:<br/>
:0 = -m<sub>B</sub>gLsin 45° + (m<sub>A</sub>v<sub>A</sub><sup>2</sup> + m<sub>B</sub>v<sub>B</sub><sup>2</sup>)/2
 
Hierin komen echter 2 onbekenden voor. Er moet nu een verband gezocht worden tussen de beide snelheden. Als men de snelheid van B bekijkt vanuit een translerend assenkruis verbonden met A, dan is de sleepsnelheid van B gelijk aan de snelheid van A (horizontaal naar rechts). De relatieve snelheid ontstaat door de cirkelbeweging van B rond A als einde van de staaf en staat dus loodrecht op de staaf. De som van beide moet de absolute snelheid van B leveren, die verticaal naar beneden gericht is. Als de staaf onder een hoek van 45° staat, levert dat een gelijkbenig driehoek op en is v<sub>A</sub> = v<sub>B</sub> = v . Men krijgt dus als vergelijking:<br/>
:m<sub>B</sub>gLsin 45° = m v<sup>2</sup><br/>
of uiteindelijk:
:<math> v = \sqrt{g.L.\sin 45^o}</math> m/s
Regel 555:
Hierin zijn dus niet alle verbindingen ideaal en kan men gebruik maken van een '''uitgebreid behoud van energie'''. In dit geval zal men opschrijven dat de totale energie van de eindpositie moet gelijk zijn aan de totale energie van de beginpositie vermeerderd met de energie die weggelekt is door wrijving.
 
Begin:<br />
:E<sub>p</sub> = mg.1 <br />
:E<sub>k</sub> = mv<sub>0</sub><sup>2</sup>/2
 
Einde:<br />
:E<sub>p</sub> = 0<br />
:E<sub>k</sub> = mv<sup>2</sup>/2<br/>
Hierbij moet men nog de wrijvingsenergie tellen:
:E<sub>W</sub> = W.d met d de afstand langs de helling: d = h/sin 30° = 2 m
 
Om W te bepalen moet men beroep doen op de 2e wet van Newton, die men loodrecht op de helling projecteert om R te bepalen (voor g wordt 10m/s genomen):<br />
:W = fR = fGcos 30° = f.m.g.cos 30°
 
Men krijgt:<br />
:mg.1 + mv<sub>0</sub><sup>2</sup>/2 = mv<sup>2</sup>/2 + f.m.g.cos 30°.2 <br />
De massa van het blok kan hieruit weggedeeld worden. Het resultaat is dus onafhankelijk van het gewicht van het blok. Er blijft:
:10.1 + 1<sup>2</sup>/2 = v<sup>2</sup>/2 + 0,1.10.0,866.2 <br />
:<math> v = \sqrt{2(10,5 - 1,732)} = \sqrt{17,536} = 4,188</math> m/s
 
Als men toch de 2e wet van Newton moet toepassen om de wrijvingskracht te bepalen, dan kan men in feite evenzeer verder werken met de versnelling. Projectie van de 2e wet van Newton langs de helling levert:
:ma = G.sin 30° - W = mg (sin 30° - f.cos 30°)<br />
Hieruit kan m opnieuw weggedeeld worden. Men krijgt:
:a = 10(0,5 -0,1.0,866) = 4,134 m/s<sup>2</sup>
 
Met de formule voor de snelheid in functie van de positie (zie [[Klassieke_Mechanica/Kinematica#Remweg| remweg]])<br />
:<math> v(s) = \sqrt{v_0^2 + 2as} = \sqrt{1+2.4,134.2} = \sqrt{17,536} = 4,188</math> m/s ... zoals het hoort.
 
Regel 589:
Hieruit volgt op basis van de definitie van differentiaal (niet door dt van rechter- naar linkerlid over te brengen):
:<math>P=\vec{F}\cdot\vec{v}</math>
Het vermogen wordt uigedrukt in '''Watt''' met symbool '''W'''. 1 W = 1 J/s.<br />
Vermogen x tijd levert opnieuw energie. Een bekende practische eenheid die volgens dit stramien gemaakt is is de '''kilowattuur''' of '''KWh'''. 1 KWh = 3,6.10<sup>6</sup> J of 3600 KJ.
 
Regel 632:
[[afbeelding:SAM-120-30.png|left| slinger van Atwood]]
[[afbeelding:SAM-120-90.png|420px|right| slinger van Atwood]]
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
Op de eerste twee figuren is &mu; = 1,2 (de grote massa is 1,2 x de kleine massa). Eerst wordt de massa losgelaten vanuit een hoek van 30° met de verticale. Dat levert een vrij kleine snelheid in het onderste punt, zodat de grote massa de kleine massa omhoog trekt. Hierdoor gaat deze sneller bewegen, a<sub>n</sub> wordt groter en de grote massa wordt afgestopt, waarna de kleine massa de grote omhoogtrekt. Daardoor vertraagt de kleine massa en begint de cyclus opnieuw.
Regel 642:
[[afbeelding:SAM-300-90.png|left| slinger van Atwood]]
[[afbeelding:SAM-418-90.png|right| slinger van Atwood]]
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
===Vergelijkingen===
Regel 670:
 
Wanneer men een grafiek maakt van een beweging, is dit normaal gesproken een grafiek van de positie of de snelheid als functie van de tijd. Men kan echter ook een grafiek maken van de '''snelheid''' (of de impuls) in functie van de '''positie'''. De ruimte die ontstaat door positie en snelheid (of impuls) samen te nemen, noemt men de '''faseruimte'''. Een grafiek van de beweging in deze faseruimte kan veel leren over de '''stabiliteit''' van een beweging of over de gebieden waarbuiten een beweging onstabiel wordt of zelfs chaotisch kan worden. Een periodieke beweging, zoals de beweging van de slinger van een klok, zal in deze ruimte een gesloten kromme vormen.
<br clearstyle="all"clear: /both;">
<!-- afbeeldingen in een tabel -->
{| border="0" cellspacing="30" align="center" cellpadding="10"
Regel 680:
 
Dat de slinger van een staande klok met constante amplitude blijft slingeren komt doordat bij elke tik de slinger een klein duwtje krijgt, dat de verliezen moet compenseren. De energie voor dat duwtje komt van het gewicht, dat bij elke tik een beetje zakt, of van een spiraalveer, die bij elke tik zich een beetje ontspant.
<br clearstyle="allclear: both;">
 
<div style="margin-left:160px;margin-right:160px;">
Regel 686:
[[afbeelding:Pendulum 190deg.gif|frame|right|niet-harmonische slinger]]
</div>
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
Men kan in elk van de punten van deze faseruimte een vector definiëren, die toont hoe een kromme, die in dat punt passeert, verder zal evolueren. Men heeft dan een vectorveld, dat een duidelijk beeld heeft van de mogelijke bewegingen. De studie van deze ruimte is echter vrij abstracte wiskunde, die buiten het bereik van dit werk valt. De figuur hieronder stelt een niet-harmonische opslingering voor. Men vertrekt uit rust en bereikt snel een stationaire toestand (van der Pol oscillator)
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.