Klassieke Mechanica/Voorwerpendynamica: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Bertux (overleg | bijdragen)
Lintfouten: Verouderde HTML-elementen
 
Regel 148:
<br>
Nemen we een zeer eenvoudig voorbeeld van 1 massa m op een afstand r van een as. Die as wordt aan het draaien gebracht door een riem die over een schijf loopt. De riem trekt aan de schijf met kracht F op afstand d van de as. Volgens de wet van de hefbomen kan men stellen dat deze kracht zich zal laten voelen op de massa als een kracht F' volgens de formule F.d = F'.r . Dit is in feite een momentenvergelijking die zegt dat het moment van F t.o.v. de as hetzelfde moet zijn als het moment van F' t.o.v. de as. Anderzijds is de versnelling a van de massa te schrijven als r.α (r.alfa).
De wet van Newton zegt nu: F' = ma . Vermenigvuldigen we beide leden met r dan bekomen we: r.F' = r.m.a . Gebruiken we nu de bovenstaande gelijkheden dan kunnen we dit schrijven als :<br />
:d.F = m.r<sup>2</sup>.α
 
De grootheid '''m.r<sup>2</sup>''' heet het '''traagheidsmoment van m t.o.v. de as''' en wordt normaal voorgesteld als '''I''' (de I van "inertia"). Een gewoon voorwerp zal normaal beschouwd worden als opgebouwd uit meerdere puntmassa's of uit een continue massaverdeling. Het traagheidsmoment wordt dan gedefinieerd als:
'''traagheidsmoment t.o.v. een as''':<br /> <br /><math>I_{as} =\sum m_i.r_i^2 \quad \mathrm{of} \quad I_{as}=\int r^2 dm</math>, met r = afstand van elk punt tot de as.
 
We kunnen de formule dus lezen als: het moment van de kracht t.o.v. de as moet gelijk zijn aan traagheidsmoment x hoekversnelling.
Regel 163:
Het bewijs hierboven is voor een stilstaande (vaste) as. De formule geldt '''ook voor een as door het massacentrum''', zelfs als die beweegt. Het bewijs hiervoor kan men vinden bij de afleiding van de formules voor de algemene rotatie. In feite moet zich dus afvragen:
* Draait het voorwerp rond een vaste as? Dan kan men meestal volstaan met de momentenvergelijking zoals hierboven gegeven.
* Is er geen vaste rotatieas? Dan moet de beweging beschreven worden als een combinatie van een translatie van het massacentrum + een rotatie rond een as door het massacentrum. Men zal dan steeds zowel de wet van Newton als de momentenvergelijking moeten opschrijven.<br /> <br />
<hr width="70%" />
'''Algemener bewijs'''<br />
Men kan voor een meer algemeen bewijs vertrekken van de wet van Newton voor één massa. Men onderstelt de beweging in of evenwijdig aan het xy-vlak, zodat de momenten volgens de z-as liggen, en neemt het moment van beide leden t.o.v. de rotatieas:
:<math>(\vec{r}\times \sum \vec{F}_i)_z = (\vec{r}\times m\vec{a})_z</math>
Regel 179:
<hr width="70%" />
 
<br />Enkele '''voorbeelden van traagheidsmomenten'''.<br /> Voor een volle schijf is het traagheidsmoment t.o.v. een as door het centrum en loodrecht op de schijf: I<sub>C</sub> = m.r<sup>2</sup>/2<br />
Voor een dunne staaf met lengte L: I<sub>C</sub> = m.L<sup>2</sup>/12<br />
Voor een rechthoekige plaat met lengte L en breedte B:
* t.o.v. van een as loodrecht op de plaat: I<sub>1</sub> = m(L<sup>2</sup> + B<sup>2</sup>)/12
Regel 188:
Voor tabellen van traagheidsmomenten van verschillende voorwerpen, zie [[w:Traagheidsmoment|traagheidsmoment]].
 
'''Opmerking'''<br />
Hierboven werd gesteld dat men de formules moet opschrijven t.o.v. een stilstaande as of t.o.v. een as door het massacentrum. Bij een as door het massacentrum moet men normaal ook de wet van Newton opschrijven, zodat men een stelsel vergelijkingen heeft (index C verwijst naar het massacentrum):
:<math>\sum \vec{F}_i = m\vec{a}_C</math>
Regel 203:
Voorbeelden infra.
<hr width="70% />
'''Bewijs'''<br />
[[afbeelding:formule van Steiner.png|right|Formule van Steiner]]
Men onderstelt dat het traagheidsmoment gegeven is t.o.v. een z-as en gevraagd wordt t.o.v. een evenwijdige z'-as. Voor elke puntmassa in het systeem kan men dan schrijven dat, in een vlak loodrecht op de assen, de positie t.o.v. de z'-as gegeven is als:
Regel 217:
 
'''Nota''': in het Engels is de stelling van Steiner bekend als "the parallel axes theorem".
<br clearstyle="all"clear: /both;">
<hr width="70% />
 
Regel 288:
In de praktijk berekent men het impulsmoment op een eerste ogenblik en op een tweede ogenblik en stelt dan dat beide moeten gelijk zijn. Een voorbeeld en tegenvoorbeeld vindt men verder hieronder.
 
'''Impulsmoment van een vrij bewegend voorwerp'''<br />
Als men het impulsmoment moet berekenen van een voorwerp dat rond een '''bewegende as''' draait, t.o.v. van een punt P buiten de as door het massacentrum, dan geldt voor een vlak systeem:
: L = M<sub>P</sub> mv<sub>C</sub> + I<sub>C</sub>.ω
Regel 298:
 
 
Bemerk dat een bewegende puntmassa ook een impulsmoment heeft t.o.v. een bepaald punt of as buiten die puntmassa.<br />
Er bestaat een vrij spectaculaire proef over het behoud van impulsmoment, waarvan men een filmpje kan zien in volgend hoofdstuk onder [[Klassieke_Mechanica/Voorwerpendynamica-2#Behoud_van_impulsmoment| Behoud van impulsmoment]].
 
'''Voorbeeld van behoud van impulsmoment'''<br />
[[Afbeelding:Rotatie_1D_satel.png|left|Satelliet]]
Als voorbeeld bij behoud van impuls beschouwt men een satelliet die uitgezet wordt met een
Regel 326:
Er wordt ook weer gebruik gemaakt van de formule van Steiner.
 
Beginsituatie<br />
: I<sub>tot,begin</sub> = I<sub>C</sub> + 2.(m<sub>p</sub>.d<sup>2</sup>+ m<sub>p</sub>.b<sup>2</sup>/12)
 
Eindsituatie:<br />
: I<sub>tot,einde</sub> = I<sub>C</sub> + 2.[m<sub>p</sub>.(d + l/2)<sup>2</sup> + m<sub>p</sub>.(b<sup>2</sup> + l<sup>2</sup>)/12]<br>
 
Regel 336:
'''--- Einde voorbeeld ---'''
 
'''Tegenvoorbeeld'''<br />
Een cilinder A draait rond zijn as met hoeksnelheid &omega;<sub>0</sub>. Een identieke cilinder B die stilstaat wordt tegen deze eerste cilinder geduwd zodat ze beiden uiteindelijk met dezelfde hoeksnelheid ronddraaien. Bereken deze nieuwe hoeksnelheid.
[[afbeelding:tweeRollen.png|center|twee cilinders die tegen elkaar draaien]]
 
Uit de berekeningen zal blijken dat die eindhoeksnelheid de helft is van &omega;<sub>0</sub>. Men zou dus kennen denken dat er hier behoud van impulsmoment speelt. Maar in de eindsituatie draaien beide cilinders in tegengestelde zin. Hun impulsmomenten moeten dus voorgesteld worden door tegengestelde vectoren waarvan de som 0 is. In het begin was er duidelijk een globaal impulsmoment, op het einde is er geen meer. Er is dus zeker geen behoud van impulsmoment. Er moet dus een uitwendig moment opgetreden zijn dat tegengesteld zin had van het oorspronkelijke impulsmoment van cylinder A.<br />
Opmerking: het impulsmoment van beide cilinders moet in de eindtoestand bepaald worden t.o.v. dezelfde as om over het totale impulsmoment van het systeem te kunnen praten. Om het impulsmoment van de rol B te berekenen t.o.v. de as van de rol A, moet men de hoger gegeven formule L = baanimpulsmoment + I<sub>C</sub>.ω gebruiken. Daar het massacentrum van B echter geen snelheid heeft is het baanimpulsmoment = 0 en blijft alleen I.ω<sub>B</sub> over. Men kan het vergelijken met het moment van een koppel dat ook onafhankelijk is van het berekeningspunt. Men moet ook bedenken dat de impulsmomentvectoren thuishoren in de ruimte van de momenten, niet in de ruimte van de posities, waarin de rollen getekend zijn.
 
 
Om dit alles te begrijpen moet men een krachtenanalyse maken. De 2 cilinders worden iets uit elkaar getekend zodat men duidelijk kan aangeven welke kracht op welk voorwerp werkt.
Wanneer de cylinder B tegen cylinder A geduwd wordt, zal deze laatste een kracht F uitoefenen op B. A zelf ondervindt hiervan de reactie. De krachten die door de as van A of B gaan werden niet getekend werden, nl. het gewicht van A en B, de reacties in de lagers en de druk tussen de twee rollen. Deze krachten hebben geen moment t.o.v. die as, m.a.w. ze beïnvloeden de rotatie van de rollen niet.<br />
Men krijgt volgende rotatievergelijkingen, waarbij de positieve zin telkens gekozen werd in de zin van de hoeksnelheid:
* voor A:
:<math>-r.F = I\alpha_A</math><br />
* voor B:
:<math>r.F = I\alpha_B</math><br />
Wanneer men lid aan lid optelt en herschikt krijgt men:
:<math>I\alpha_A = - I\alpha_B</math>
Men integreert beide leden in de tijd:
:<math>\int_{t_1}^{t_2} \alpha_A.dt =-\int_{t_1}^{t_2} \alpha_B.dt</math><br />
:<math> \omega_A - \omega_0 = -(\omega_B - 0)</math>
Wanneer op het einde beide cilinders zonder slippen tegen elkaar rollen, is natuurlijk
Regel 362:
Vanwaar komt nu het uitwendig koppel dat het oorspronkelijke impulsmoment vernietigd heeft? Onder invloed van de kracht F op de cylinder B zou deze naar rechts moeten bewegen. Dat wordt belet door een gelijke maar tegengestelde reactie R<sub>B</sub> die aangrijpt op de as van B. Analoog zal er een kracht R<sub>A</sub> optreden op de as van A. Deze beide reacties vormen een koppel dat tegengesteld is aan de zin van &omega;<sub>0</sub>. De koppelarm is 2r zodat het moment 2x groter is dan rF en zo het oorspronkelijke impulsmoment teniet doet.
 
Nota<br />
1. De cilinders moeten in het begin over elkaar slippen. Hierbij gaat energie verloren. De kinetische energie van het systeem is in de eindtoestand dan ook lager dan in de begintoestand:
* Begin: E<sub>k</sub> = I.&omega;<sub>0</sub><sup>2</sup>/2
Regel 392:
Hoe kan men beroemd worden met zo'n eenvoudige formule? De uitwerking van (a+b)<sup>2</sup> levert 3 termen: a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>. Wanneer men de beweging van een voorwerp beschrijft als de beweging van een referentiepunt en een beweging t.o.v. dat referentiepunt, dan zou men in de kinetische energie normaal ook 3 termen aantreffen. Alleen als men als referentiepunt het massacentrum neemt, blijkt dat de kruistermen, van de vorm a.b, wegvallen en alleen de 2 zuivere kwadraten overblijven.
 
'''Voorbeeld''': kinetische energie van het wiel uit het eerste voorbeeld<br />
De beweging kan op 2 manieren beschreven worden:
* als een samenstelling van een translatie van het massacentrum met een rotatie rond een as door het massacentrum. Dan moet men de formule van König gebruiken met in dit geval I<sub>C</sub> = m.r<sup>2</sup>/2:
Regel 417:
[[afbeelding:BikeWheelPendulumTranslating.jpg|400px|left]]
[[afbeelding:BikeWheelPendulumRotating.jpg|400px|right]]
<br clearstyle="all"clear: /both;">
<div align="center">
[[File:Translation-rotation.ogv| translatie versus rotatie]]
Regel 431:
Met:
:I = het traagheidsmoment van de slinger t.o.v.het ophangpunt (eventueel formule van Steiner gebruiken)
: r<sub>C</sub> = de afstand van het massacentrum tot het ophangpunt<br />
 
Met de klassieke benadering voor kleine hoeken, waarbij men sin &theta; = &theta; stelt, krijgt men een eenvoudige differentiaalvergelijking, die een harmonische beweging voorstelt met
Regel 440:
Op de foto's is het wiel opgehangen in een vork die gemaakt is uit dunne repen aluminium, in een L-vorm geplooid voor een grotere stijfheid. Deze repen hebben maar een gewicht van 48 g. Dit is verwaarloosbaar t.o.v. 1,935 kg van het wiel zelf, vooral omdat men, voor het geval van een translerend wiel, het traagheidsmoment van deze stroken moet vergelijken met het traagheidsmoment van de totale massa van het wiel beschouwd als geconcentreerd op de as. Dan is de bijdrage van deze stroken minden dan 1%.
 
Gewicht van het wiel: 1,935 &plusmn; 0,003 kg<br />
Afstand tussen as van het wiel en het ophangpunt: 40,8 &plusmn; 0,1 cm.
 
Voor de nauwkeurigheid wordt over verscheidene periodes gemeten (hier 6) en worden de metingen enkele malen herhaald. Dit leverde in dit geval een periode van:
: voor de translatie: 1,28 &plusmn; 0,02 s <br />
: voor de rotatie: 1,53 &plusmn; 0,02 s<br />
Dat is een zeer duidelijk verschil!.
 
De theoretische waarde voor de translatie is:
:<math>\scriptstyle 2\pi\sqrt{0,408/9,81}\ =\ 1,28\,\pm\, 0,005</math> s, pal op de gemeten waarde.<br />
Een theoretische berekening voor de rotatie is niet mogelijk omdat het traagheidsmoment van het wiel t.o.v. de as niet gekend is en niet eenvoudig te bepalen is. De gevonden waarde betekent een traagheidsmoment van het wiel t.o.v. zijn as, dat kan beschreven worden als een massa van 1,4 kg verspreid over de velg van het wiel (r = 31,2 cm). Als men het gewicht van de as (met kogellagers) aftrekt van het gewicht van het wiel, dan moet men inderdaad in de buurt van deze waarde komen.
 
Regel 461:
 
[[afbeelding:AutoProfile-accel.svg|right|versnellende auto]]
Wanneer de auto versnelt, is er een horizontale kracht F van de grond op de wielen nodig om deze versnelling te veroorzaken. Deze kracht heeft een moment in wijzerzin t.o.v. het massacentrum. Dat moment moet opgevangen worden door een nieuwe verdeling van het gewicht over de verticale reactiekrachten van de grond. Omwille van de elasticiteit van de vering resulteert dat ook in de neus van de wagen die omhoog gaat en de achterzijde die wat daalt. Voor een versnelling van 2 m/s<sup>2</sup> krijgt men volgende vergelijkingen:<br />
- horizontaal:<br />
:<math>\textstyle F = ma = 10^3.2 = 2.10^3\ \mathrm{N}</math>
- verticaal:<br />
:<math>\textstyle V_V + V_A - G = 0</math><br />
- momentenvergelijking t.o.v. het massacentrum, positief in wijzerzin:<br />
:<math>\textstyle 1 V_V - 1,5 V_A + 0,5F = 0 </math><br />
Als men de laatste vergelijking van de vorige aftrekt, krijgt men:
: 2,5V<sub>A</sub> = 1G + 0,5F = 10 000 + 1000 = 11 000<br />
Of : V<sub>A</sub> = 4 400 N en V<sub>V</sub> = 5600 N<br />
In feite moet men eerst de tweede vergelijking met 1 m vermenigvuldigen als men de dimensies wil laten kloppen. Numeriek is dat natuurlijk niet te zien. Er werd toch maar een coëfficiënt 1 voor G gezet.
 
Regel 478:
[[afbeelding:AutoProfile-inclined-block.svg|left|schuin motorblok]]
[[afbeelding:AutoProfile-inline-block.svg|right|motorblok in lijn]]
<br clearstyle="all"clear: /both;">
 
Bij het afremmen gebeurt het omgekeerde: de voorwielen worden zwaarder belast en de achterwielen minder. De remkracht moet evenredig hiermede verdeeld worden over de voor- en achterwielen. De remmen op de voorwielen zullen dus altijd het grootste werk moeten. Ze zijn dan ook altijd veel zwaarder uitgevoerd. Bij wagens met schijfremmen vooraan en trommelremmen achteraan is er nog het bijkomende probleem dat de remkracht bij schijfremmen lineair stijgt met de druk op het rempedaal, maar bij trommelremmen eerder exponentieel. In zulk een systeem zit er altijd een begrenzer op de druk naar de achterwielen om het slippen van de achterwielen te vermijden. Deze regelaar of begrenzer wordt meestal gestuurd door de afstand van achteras tot het chassis, als maat voor de helling van de wagen. Bij wagens die met ABS uitgerust zijn moet dat zorgen voor een correcte verdeling van de remkracht.
[[afbeelding:AutoProfile-decel.svg|right|versnellende auto]]
 
Gaat men uit van een vertraging van opnieuw 2 m/s<sup>2</sup>, dan krijgt men volgende vergelijkingen:<br />
- horizontaal:<br />
:<math> F_V + F_A = ma = 10^3.2 = 2.10^3\ \mathrm{N}\quad</math> maar nu naar rechts gericht.
- verticaal:<br />
:<math>\textstyle V_V + V_A - G = 0</math><br />
- momentenvergelijking t.o.v. het massacentrum, positief in wijzerzin:<br />
:<math>\textstyle 1 V_V - 1,5 V_A - 0,5(F_V + F_A) = 0 </math><br />
Men krijgt nu:
: 2,5V<sub>A</sub> = 1G - 0,5.2000 = 10 000 - 1000 = 9 000 N<br />
Of : V<sub>A</sub> = 3 600 N en V<sub>V</sub> = 6 400 N
 
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.