Klassieke Mechanica/Voorwerpendynamica-2: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Lintfouten: Verouderde HTML-elementen |
|||
Regel 5:
Hiervoor werd het geval besproken van de rotatie rond een as met vaste richting. Deze as mag bewegen, maar hij mag niet veranderen van richting. Het werd daar '''eendimensionale rotatie''' genoemd. Het is absoluut nodig dat men het begin van dat eerste deel gelezen en begrepen heeft om dit vervolg te kunnen begrijpen. De '''algemene''' of '''driedimensionale rotatie''' is immers veel ingewikkelder dan de eendimensionale, om verscheidene redenen. Vooreerst speelt alles zich af in 3 dimensies. Die moeten in een perspectieftekening voorgesteld worden. Wie weinig ruimtelijk inzicht heeft, kan hiermede problemen hebben. Vervolgens gedragen de systemen die hier beschouwd worden, zich absoluut niet zoals men intuïtief verwacht. En tenslotte moet men om alles in formules te gieten beroep doen op meer gevorderde wiskunde, zoals vectoriële producten en matrices. Normaal behoort deze stof tot de universitaire opleidingen. Er zal toch geprobeerd worden om aan iedereen enig inzicht in de fenomenen te geven.
[[afbeelding:Rotatie-3D-vb1.svg|right| Eerste voorbeeld: rollend wiel]]
<br
De figuur hiernaast geeft een eenvoudig voorbeeld van een situatie waarbij de eendimensionale aanpak niet meer werkt. De rotatie-as van het wiel verandert voortdurend van richting. Dit valt dus niet onder de vorige formules.
<br
== Basiswet ==
Men kan het rechterlid van de wet van Newton schrijven als m.a, maar ook als de afgeleide van de impuls p = m.v als:<br
<math>\quad \sum_i \vec{F}_i = \frac {d\vec{p}}{dt} </math>
<br
:<math> \sum_i M_{P} \vec{F}_i = \frac {d\vec{L}_P}{dt} </math>
:'''de som van de momenten van de uitwendige krachten moet gelijk zijn aan de verandering van het impulsmoment'''.<br
Bij de eendimensionale rotatie moet men het moment nemen van alle krachten t.o.v. de rotatie-as. Hier moet men het moment nemen t.o.v. een punt P. Dit punt moet een '''stilstaand punt zijn of het massacentrum'''. Er is nog een derde mogelijkheid, nl. een punt waarvan de snelheid evenwijdig is aan de snelheid van het massacentrum. Dit is meestal maar een tijdelijke situatie, die niet kan gebruikt worden voor het opstellen van differentiaalvergelijkingen. Daarom wordt ze meestal niet vermeld. Voor de eenvoud van de formules voert men normaal een assenkruis in zodat dat punt P de oorsprong van het assenkruis is. Het moment van een kracht wordt dan gegeven door het vectoriële product van de positievector van het aangrijpingspunt van die kracht met de kracht.
De praktische berekening van het rechterlid wordt verder hieronder nog uitgewerkt.<br
<hr width="80%" />
'''Afleiding'''
Regel 28:
:<math>\vec r \times\sum \vec F_i = \vec r \times m\vec a</math>
Wanneer men een verzameling van puntmassa's beschouwt, de wet van Newton op elke massa toepast en dan het moment neemt van beide leden en alles lid aan lid optelt, bekomt men:
:<math>\sum \vec r_i \times\vec F_i = \sum \vec r_i \times m_i\vec a_i</math> (1)<br
Men zou normaal een dubbele som moeten invoeren voor de krachten, maar men kan het ook bij één som houden, waarbij sommige r<sub>i</sub> dezelfde zullen zijn. Bedenk dat de index i in het linkerlid niets te maken heeft met de index i in het rechterlid. De krachten kan men verdelen in uitwendige en inwendige krachten, d.i. krachten tussen de massa's onderling. De inwendige krachten vormen actie-reactiekoppels, die op dezelfde drager liggen. Daardoor valt het moment van de krachten in elk koppel tegen elkaar weg. Men moet dus alleen rekening houden met de uitwendige krachten.
Regel 51:
:<math>\sum_i m_i \vec{r'}_i = m\vec r'_c = 0</math>
<br
<hr width="80%" />
== Traagheidstensor ==
De notie van [[#impulsmoment|impulsmoment]] kwam ook reeds voor bij eendimensionale rotatie hierboven. Daar werd het impulsmoment geschreven als L = Iω. In het algemene geval moet men teruggrijpen naar de definitie als som van de momenten van de impulsen van alle (punt)massa's t.o.v. een punt:<br
:<math> \vec {L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i \vec {v}_i </math><br
Bij een onvervormbaar voorwerp kan men die v<sub>i</sub> schrijven in functie van de hoeksnelheid ω m.b.v. een [[w:Kruisproduct|vectorieel product]] als <math>\vec {v}_i = \vec {\omega} \times \vec{r}_i</math>
Als men dat invoert in de vorige formule (zie afleiding infra) krijgt men een resultaat dat kan voorgesteld worden, mits de complexiteit een beetje te verschuiven, als:<br
:<math>
\vec {L} = \left[ \begin{matrix}
Regel 70:
\omega _z \\
\end{matrix} \right]
</math><br
De 3 x 3 matrix noemt men de '''traagheidstensor'''. Men spreekt van een [[w:tensor|tensor]] omwille van de manier waarop de elementen veranderen bij verandering van het assenkruis (zie hiervoor het laatste deel van dit hoofdstuk [[#Transformaties_van_de_traagheidstensor_en_de_traagheidsellipso.C3.AFde| Transformaties van de traagheidstensor en de traagheidsellipsoïde]]). In elke element zit 2x een positie verwerkt, zodat de elementen bij bv. een rotatie van het assenkruis op een andere manier zullen veranderen dan de componenten van een vector. Deze traagheidstensor kan gevisualiseerd worden als een ellipsoïde. Zie op het einde van dit hoofdstuk [[#Gyratiestraal_-_Traagheidsellipso.C3.AFde|Gyratiestraal - Traagheidsellipsoïde]]
<hr
''' Afleiding: L als functie van ω'''<br
Voor een onvervormbaar voorwerp is het handiger om de hoeksnelheid ω van het voorwerp en de totale massa te kunnen gebruiken. Hiervoor wordt elke v<sub>i</sub> herschreven als <math>\vec {v}_i = \vec {\omega} \times \vec{r}_i</math>. De impulsmomentvector wordt dan:
:<math> \vec {L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i (\vec {\omega} \times \vec{r}_i) </math>
Regel 86:
::<math> = \sum_i m_i[(y_i^2 + z_i^2)\omega_x - x_i y_i\omega_y - x_i z_i\omega_z]</math>
Op analoge manier krijgt men:
:<math> L_y = \sum_i m_i[-x_i y_i\omega_x + (x_i^2 + z_i^2)\omega_y - x_i z_i\omega_z]</math><br
:<math> L_z = \sum_i m_i[-x_i z_i\omega_x - y_i z_i\omega_y + (x_i^2 + y_i^2)\omega_z]</math>
Men stelt:
Regel 104:
\omega _z \\
\end{matrix} \right]
</math><br
Deze traagheidstensor is een symmetrische matrix: <math>I_{ij} = I_{ji}</math>. Soms worden de traagheidsproducten hier zonder minteken genoteerd. Dan wordt er een minteken ingevoerd bij de definitie ervan.
Einde van de afleiding
<hr
<br
Het is altijd mogelijk om een assenkruis te kiezen, vast verbonden aan het voorwerp, zodat deze matrix vereenvoudigd wordt tot een '''diagonaalmatrix'''. Hiermede wordt '''L''' eenvoudig:
Regel 128:
I_{zz} \omega _z \\
\end{matrix} \right]
</math><br
Het assenkruis waarin men deze eenvoudige vorm bekomt heet een '''hoofdtraagheidsassenkruis''' en de assen ervan zijn '''hoofdtraagheidsassen'''. In het voorbeeld hieronder werd een schuin assenkruis gebruikt omdat de assen dan hoofdtraagheidsassen zijn. Hieronder worden de hoofdtraagheidsassen nog uitvoerig verder behandeld. Hoe deze herleiding kan uitgewerkt worden, wordt gepresenteerd in het laatste deel van dit hoofdstuk over [[#Transformaties_van_de_traagheidstensor_en_de_traagheidsellipso.C3.AFde| Transformaties van de traagheidstensor en de traagheidsellipsoïde]]. Men vindt daar ook concrete voorbeelden van berekeningen van de elementen van een traagheidstensor.
Regel 146:
Er wordt even teruggekeerd naar de eerste figuur, het rollend wiel. Het impulsmoment heeft een component volgens de z-as veroorzaakt door ω<sub>2</sub> en een component volgens de y-as veroorzaakt door ω<sub>1</sub>. De z-component is constant, alleen de y-component draait rond. De top ervan heeft, in de getekende stand, een snelheid evenwijdig aan de x-as en volgens de positieve zin ervan. Volgens de basiswet van de rotatie moet er een uitwendig moment geleverd worden in dezelfde richting en zin, dus loodrecht op '''L'''.
Op het wiel grijpen de volgende krachten aan:<br
- het gewicht in het [[w:massamiddelpunt|massacentrum]]<br
- een tegengestelde kracht van de grond om die op te vangen.<br
De som van deze beide krachten is nul en men kan ze verder vergeten.<br
Het uitwendige moment kan alleen geleverd worden door een koppel van supplementaire krachten, één van de grond op het wiel(omhoog) en één in de bevestiging in de oorsprong omlaag. Door de rotatie gaat het wiel dus harder op de grond drukken.<br
[[afbeelding:Rotatie_3D_vb3.png|left|Precessiebeweging]]
Regel 180:
Bemerk dat de theorie van de eendimensionale rotatie niets kan zeggen over dit trillen. Bij die theorie kijkt men immers alleen naar de componenten van de verschillende grootheden volgens de rotatie-as. Die theorie zegt niets over wat in de 2 andere dimensies gebeurt.
<br
== Hoofdtraagheidsassen ==
Regel 186:
Hierboven werd de meest algemene vorm van de traagheidstensor gegeven met de formules voor de diagonaalelementen.
De nevendiagonaalelementen worden '''traagheidsproducten''' genoemd en worden berekend als:<br
<math>I_{xy} = -\sum m_i.(x_i.y_i)</math> of als <math>I_{xy} = -\int (x.y) dm</math><br
Deze tensor is een symmetrische matrix, d.i. I<sub>xy</sub> = I<sub>yx</sub>.
Men kan deze matrix visualiseren en dan bekomt men een ellipsoïde (voor een figuur: zie einde van dit hoofdstuk). Een omwentelingsellipsoïde is het volume dat men bekomt door een ellips rond een hoofdas te laten draaien. Het lijkt dus een beetje op een rugbybal. Een ellipsoïde heeft 3 symmetrievlakken die loodrecht op elkaar staan. De snijlijnen van deze vlakken vormen 3 symmetrieassen. Als men een assenkruis volgens deze assen gebruikt voor het opstellen van de vergelijking bekomt men de eenvoudigste vorm. Evenzo leidt het gebruik van deze assen om de traagheidstensor te bepalen tot de eenvoudige diagonaalvorm. Een traagheidstensor kan men dus altijd herleiden tot een diagonaalvorm door een gepast assenkruis te kiezen.
Wanneer een voorwerp zelf symmetrie-elementen bevat, dan kan men op basis daarvan een hoofdtraagheidsassenkruis vinden. De regels hiervoor zijn:<br
- elke symmetrie-as is een hoofdtraagheidsas, waar men ook de oorsprong kiest op die as;<br
- een as loodrecht op een symmetrievlak is een hoofdtraagheidsas als de oorsprong in het symmetrievlak ligt.
Om een assenkruis te gebruiken voor berekeningen volgens bovenstaande formules, moet de oorsprong van het assenkruis echter in het '''massacentrum''' vallen of in een '''stilstaand punt'''.<br
[[afbeelding:Rotatie_3D_vb4A.svg|400px| Hoofdtraagheidsassenkruis in massacentrum]] [[afbeelding:Rotatie_3D_vb4-2A.svg|400px| Hoofdtraagheidsassenkruis in stilstaand punt]]
<br
(eerste figuur). Wanneer men de oorsprong van het assenkruis horizontaal verplaatst naar A, dan blijft het een hoofdtraagheidsassenkruis: de y-as is een symmetrie-as, de x- en z-assen staan loodrecht op een symmetrievlak en de oorsprong ervan ligt in het symmetrievlak (figuur 2). Men kan de traagheidsmomenten volgens x- en z-as berekenen met de formule van Steiner uit de traagheidsmomenten voor de assen door het massacentrum. Voor de berekeningen hier is echter alleen het punt A bruikbaar want alleen dat is een stilstaand punt.
Wat gebeurt er als men het onderste hoekpunt als oorsprong neemt (figuur 3 hieronder)? Dat is een stilstaand punt, maar dan heeft men geen hoofdtraagheidsassenkruis meer. Alleen de x-as is nog een hoofdtraagheidsas. De x-as staat loodrecht op een symmetrievlak en begint in dat symmetrievlak. Dat betekent dat er voor elk punt met coördinaten (x,y,z) er een punt bestaat met zelfde y en z maar tegengestelde x. De traagheidsproducten met een x-coördinaat erin zullen dus 0 worden:<br
Enkel de traagheidsproducten I<sub>yz</sub> = I<sub>zy</sub> zullen verschillen van 0. Men kan ze berekenen als (met h=hoogte, b=breedte en d=dikte van de balk):
<math>I_{yz} = -\int (y.z) dm = -\int_{-d/2}^{d/2} \int_{0}^{b} \int_{0}^{h} x.y.\rho \; dzdydx = -\frac {mhb}{4}</math>
De impulsmomentvector L wordt dan:<br
<math>
\vec {L} = \left[ {\begin{matrix}
Regel 219:
{m\omega (\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}) }
\end{matrix}} \right]
</math><br
[[afbeelding:Rotatie_3D_vb4-3.svg|400px|center| Geen hoofdtraagheidsassenkruis bij balk]]<br
Deze impulsmomentvector heeft dus een y-component en zal dus ronddraaien met de balk.
I<sub>zz</sub> door het hoekpunt werd hierbij afgeleid uit I<sub>zz</sub> door het massacentrum m.b.v. de [[#Formule_van_Steiner|formule van Steiner]] . T.o.v. het massacentrum:<br>
<math>I_{zz,C} = \frac{m}{12}(b^2 + d^2) </math><br
T.o.v. het hoekpunt:
<math>I_{zz,P} = \frac{m}{12}(b^2 + d^2) + \frac{mb^2}{4} = m\left(\frac{b^2}{3} + \frac{d^2}{12}\right) </math><br
Er is nog een andere manier om L te berekenen. Daar voor de totale impuls geldt <math>\sum m_i\vec v_i\,=\,(\sum m_i)\vec v_C\,=\,m \vec v_C </math> , moet, volgens [[Klassieke_Mechanica/Equivalenties#De_verplaatsingsformule|de verplaatsingsformule]], L in het onderste hoekpunt gelijk zijn aan de L berekend in het massacentrum vermeerderd met het moment van de totale impuls in het massacentrum t.o.v. dat hoekpunt. In formules:<br
<math>
\vec{L} = \vec{L}_C \; + \; \vec {r}_C \, \times \, m\vec {v}_C =
Regel 240:
\end{matrix}} \right] = \frac{m}{12}(b^2 + d^2)\omega\vec{k}\;-\frac {mhb\omega}{4} \vec{j} + \frac{mb^2}{4}\omega\vec{k}
= -\frac {mhb\omega}{4} \vec{j} \; + \; m\omega \left(\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}\right) \vec{k}
</math><br
Met een totaal andere aanpak bekomt men precies hetzelfde als het vorige, zoals het hoort.<br
'''Nota'''<br
De betrekking
:<math>\vec{L} = (\vec{r}_C \times m\vec{v}_C )\, + \,\vec{L}_C </math>
Regel 251:
== Het rechterlid: de afgeleide van L ==
Opdat de traagheidstensor onafhankelijk zou zijn van de tijd (tenminste bij onvervormbare voorwerpen), heeft men een assenkruis gebruikt vast verbonden aan het voorwerp. Als men de afgeleiden van de impulsmomentvector '''L''' berekent door differentiëren van de componenten in dat assenkruis, heeft men alleen de verandering van '''L''' binnen dat assenkruis. Men noemt dit de '''relatieve verandering'''. Om de '''absolute verandering''' te hebben, d.i. zoals iemand die ziet die buiten het assenkruis staat, moet men nog rekening houden met het feit dat de impulsmomentvector mee rond draait met het assenkruis, meegesleept wordt met de beweging van het assenkruis (Zie ook [[Klassieke_Mechanica/Kinematica-2#Een_nieuwe_operator|Kinematica 2: een nieuwe operator]]). Als een vector ronddraait beschrijft zijn eindpunt een cirkel. Bij een vlak systeem wordt de snelheid van een punt op een cirkel gegeven als r.ω . In 3 dimensies moet men een vectorieel product gebruiken: <math> \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} </math>. Dit levert als uiteindelijke formule:<br
<math> \frac{d\vec{L}}{dt} \vert_{abs} = \frac{d\vec{L}}{dt} \vert_{rel} \; + \; \vec{\omega}_{assenkruis} \times \vec{L} </math><br
De tweede term in deze formule kan men de sleepverandering noemen.
De '''basiswet voor de driedimensionale rotatie''' wordt dan:
<math>\sum_i M\vec{F}_i = \frac{d\vec{L}}{dt} \vert_{rel} \; + \; \vec{\omega}_{assenkruis} \times \vec{L} </math><br
De uitwerking van deze formule in projecties op de 3 assen wordt '''de vergelijkingen van [[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' genoemd. Ze kunnen ook via andere wegen bekomen worden. Ze worden hier niet gegeven omdat het efficiënter is om van de vectoriële vorm te vertrekken voor berekeningen. Men ziet dan veel sneller welke termen 0 zijn en wat de nuttige berekeningen zijn die men moet maken.
Bij de voorbeelden die tot nu toe gezien werden zijn de projecties van '''L''' in het bewegend assenkruis constant. De eerste term, de relatieve verandering is dus telkens 0. De sleepverandering wordt voor het voorbeeld van de rechthoek roterend rond een diagonaaal:<br
<math>\vec{\omega}_{assenkruis} \times \vec{L} =
\left[ {\begin{matrix}
Regel 266:
{\omega_x} & {\omega_y} & 0 \\
L_x & L_y & 0\\
\end{matrix}} \right] = (I_{yy} - I_{xx})\omega_x \omega_y \, \vec{k}</math><br
Daar I<sub>xx</sub> groter is dan I<sub>yy</sub> ligt dat resultaat volgens de negatieve z-as. De punt van L beweegt op het getekende ogenblik inderdaad naar achter.
===Rotatiesymmetrie===
[[afbeelding:Rotatie-3D-vb1.svg|right| Eerste voorbeeld: rollend wiel]]
Er is één '''uitzondering''' op de regel dat het assenkruis meedraait met het voorwerp. Wanneer men een '''rotatiesymmetrisch voorwerp heeft''', zoals het wiel in het 1ste voorbeeld, '''en dat voorwerp draait rond die symmetrie-as, dan zal men het assenkruis deze laatste rotatie NIET laten volgen'''. Het is duidelijk dat de traagheidsmomenten volgens de x- en z-as niet veranderen als het wiel draait. De massaverdeling t.o.v. die assen blijft dezelfde. Men bekomt dus reeds een constante traagheidstensor door '''het assenkruis alleen ω<sub>2</sub> te laten volgen'''. De impulsmoment vector in dat assenkruis is:<br
<math> \vec{L} = ( 0 , I_{yy}\omega_1 , -I_{zz}\omega_2)</math><br
Ook hier is de relatieve verandering 0 (de componenten zijn constant binnen het bewegend assenkruis zodat de projecties geen functie zijn van de tijd). De sleepverandering is:<br
<math>\left[ {\begin{matrix}
{\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\
0 & 0 & -\omega_2 \\
0 & L_y & L_z \\
\end{matrix}} \right] = \omega_2.L_y \, \vec{i} = I_{yy}\omega_1\omega_2 \, \vec{i} </math><br
En dat is een resultaat volgens de positieve x-as, zoals uit de figuur verwacht wordt. Bemerk dat L<sub>z</sub> niet verandert want die component ligt volgens ω<sub>2</sub>.
Regel 314:
:<math> E_{kin} = \frac{1}{2}(I_{xx}\omega_x^2 + I_{yy}\omega_y^2 + I_{zz}\omega_z^2)</math>
'''Afleiding'''<br
:<math> E_{kin} = \frac{1}{2}\sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2}\sum m_i\vec v_i \cdot \vec v_i =
\frac{1}{2}\sum m_i\vec v_i \cdot(\vec \omega \times \vec r_i) </math>
Regel 321:
<br
: E<sub>kin</sub> = kinetische energie van de translatie van het massacentrum (met totale massa) + kinetische energie van rotatie rond een as door het massacentrum.
Men kan dit nu eens toepassen voor de kinetische energie van de [[Klassieke_Mechanica/Voorwerpendynamica-2#Hoofdtraagheidsassen| draaiende balk]], die hoger gebruikt werd als voorbeeld bij hoofdtraagheidsassen en waarvan het impulsmoment enerzijds berekend werd in een hoofdtraagheidsassenkruis en anderzijds in een niet-hoofdtraagheidsassenkruis.
Regel 329:
:<math> E_{kin} = \frac{mv_c^2}{2} + \frac{I_{zz}\omega^2}{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{b}{2}\omega\right)^2 + \frac{m}{24}(b^2 + d^2)\omega^2 = m\omega^2\left(\frac{b^2}{6} + \frac{d^2}{24}\right)</math>
<br
:<math> E_{kin} = \frac{1}{2}[0\ 0\ \omega]\left[ {\begin{matrix}0 \\{-\frac{mhb\omega}{4}} \\
{m\omega (\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}) } \end{matrix}} \right] = m\omega^2\left(\frac{b^2}{6} + \frac{d^2}{24}\right)</math>
<br
=== Behoud van impulsmoment ===
Regel 352:
Het mechanisme hierachter is vrij eenvoudig. Uit het gedeelte over het gyroscopisch effect weet men dat er een verticaal moment moet uitgeoefend worden op het wiel om de as ervan rond een horizontale as te laten kantelen. De man moet met één hand trekken en met de andere duwen in een <strong>horizontaal vlak </strong>. De persoon ondervindt hierbij de reactie van het moment dat hij op het wiel uitoefent en begint daardoor zelf te draaien.
Om te berekenen hoe snel de man zal draaien, heeft men het impulsmoment van het fietswiel t.o.v. de as van de stoel nodig. Hiervoor moet men beroep doen op de formule dat voor een vrij bewegend voorwerp geldt:<br
:<math> \vec{L} = \vec{J} + \vec{S}</math><br
met<br
:<math>\vec{J}</math> = baanimpulsmoment, d.i. impulsmoment van het massacentrum, waaraan men de totale massa van het voorwerp toekent;
:<math>\vec{S}</math> = impulsmoment t.o.v. een as door het massacentrum (S van "spin"). Hierbij moet gerekend worden met de absolute rotatie.
Zij hier:<br
:I<sub>w</sub> : traagheidsmoment van het wiel t.o.v. zijn as<br
:ω<sub>w</sub> : hoeksnelheid van het wiel (bij het begin)<br
:m<sub>w</sub> : totale massa van het wiel<br
:I<sub>m</sub> : traagheidsmoment van man+stoel t.o.v. de as van de stoel<br
:ω<sub>m</sub> : hoeksnelheid van man+stoel<br
:d = afstand tussen as van het wiel (in verticale stand) en as van de stoel<br
De snelheid van met massacentrum is natuurlijk d.ω<sub>m</sub> .
Als de man de as van het fietswiel verticaal heeft moet dus gelden, na projectie op de verticale:<br
:<math>\displaystyle I_w.(\omega_w - \omega_m) = (m_w.d^2 + I_m)\omega_m</math>
Regel 376:
Als volgend voorbeeld wordt een schijf beschouwd die slingerend opgehangen is aan de rand ervan. Het geheel draait echter rond met een contante hoeksnelheid ω<sub>1</sub>.
Oplossing<br
Men voert een rechtsdraaiend assenkruis in dat een hoofdtraagheidsassenkruis is en waarvan de oorsprong stil staat. Om de positie van de schijf weer te geven moet men ook een hoek θ invoeren. Er zijn vele mogelijkheden om die te definiëren. Best werkt men van een as naar een bepaalde lijn, hier van de x-as naar de verticale. In eerste instantie wordt de hoeksnelheid van de schijf rond de as AB als ω<sub>2</sub> aangeduid. Het verband met de afgeleide van θ wordt later bepaald.
Regel 400:
:<math> \vec\omega \times \vec L = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\
-\omega_1\cos\theta & \omega_1\sin\theta & \dot{\theta} \\
-I_{xx}\omega_1\cos\theta & I_{yy}\omega_1\sin\theta & I_{zz}\dot{\theta} \end{vmatrix} </math><br
:<math> = [(I_{zz} - I_{yy})\sin\theta.\omega_1.\dot{\theta}] \vec i +
[(I_{zz} - I_{xx})\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta}] \vec j +
[(I_{xx} - I_{yy})\sin\theta.\cos\theta.\omega_1^2] \vec k </math>
De traagheidsmomenten (met r de straal en m de massa van de schijf):<br
I<sub>xx</sub> = mr<sup>2</sup>/4 (uit de [[w:Traagheidsmoment|tabellen]])<br
I<sub>yy</sub> = mr<sup>2</sup>/4 + mr<sup>2</sup> = 5mr<sup>2</sup>/4 (als vorige + Steiner)<br
I<sub>zz</sub> = mr<sup>2</sup>/2 + mr<sup>2</sup> = 3mr<sup>2</sup>/2 (tabel + Steiner)<br
Hiermede kan men nu de absolute afgeleide van '''L''' berekenen:
:<math>\frac{d\vec{L}}{dt} |_{abs} = \frac{d\vec{L}}{dt} |_{rel} \; + \; \vec{\omega} \times \vec{L} </math><br
:x-component: <math>(I_{xx} + I_{zz} - I_{yy}) \sin\theta.\omega_1.\dot{\theta} =
\frac{1}{2}mr^2\sin\theta.\omega_1.\dot{\theta} </math><br
:y-component: <math>(I_{yy} + I_{zz} - I_{xx}) \cos\theta.\omega_1.\dot{\theta} =
\frac{5}{2}mr^2\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta} </math><br
:z-component: <math>\frac{3mr^2}{2} \ddot\theta + (I_{xx} - I_{yy}) \sin\theta.\cos\theta.\omega_1^2 = \frac{3mr^2}{2} \ddot\theta - mr^2\sin\theta.\cos\theta.\omega_1^2</math><br
De laatste term in de z-component kan men interpreteren als een middelpuntvliedende kracht, een zogenaamde traagheidsreactie (zie: [[Klassieke_Mechanica/Traagheidskrachten| Aanvullingen: Traagheidskrachten]]). Bij een gegeven θ beschrijft het massacentrum van de schijf een cirkel rond de vertikale met straal r.sinθ. Daarbij hoort een normale versnelling r.sinθ.ω<sub>1</sub><sup>2</sup>. Voor iemand binnen het roterend systeem lijkt het alsof er een naar buiten werkende kracht gelijk aan m.a<sub>n</sub> werkt. T.o.v. de z-as heeft deze kracht een moment dat gelijk is aan r.cosθ.m.a<sub>n</sub>. Het is echter eerder toevallig dat deze traagheidskracht in het massacentrum schijnt aan te grijpen. Dit moment is immers het resultaat van de som van de momenten van alle elementaire traagheidskrachten die op elk punt van de schijf aangrijpen, en die worden groter naarmate men zich van de as verwijdert.
Regel 428:
[[afbeelding:complexVbKrachten.png|right|krachten]]
Om de volledige momentenvergelijkingen te kunnen opstellen moeten nu nog nog de momenten van de krachten berekend worden. Er zijn drie krachten: het gewicht en de reactiekrachten in A en B. Deze onbekende reactiekrachten worden beschreven met componenten volgens de assen. Volgens de z-as is er alleen een component in A en niet in B, anders wordt het syteem hyperstatisch. Men moet er wel aan denken dat, als de oplossing een constante component zou opleveren, dit betekent dat die component constant is in grootte maar mee beweegt met het assenkruis. De volledige momentenvergelijking geeft dan in projecties het volgende stelsel van 3 vergelijkingen:
:<math>\frac{AB}{2}(Y_B - Y_A) \;=\;\frac{1}{2}mr^2\sin\theta.\omega_1.\dot{\theta} </math><br
:<math>\frac{AB}{2}(X_A - X_B) \;=\;\frac{5}{2}mr^2\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta} </math> '''Stelsel I'''<br
:<math> -mgr\sin\theta \;=\; \frac{3mr^2}{2}\ddot{\theta} - mr^2 \sin\theta. \cos\theta. \omega_1^2 </math><br
<br
:<math> \ddot{\theta} - \frac{2\sin\theta}{3}(\omega_1^2 \cos\theta. - \frac{g}{r}) \;=\;0</math><br
Als men alleen in deze beweging geïnteresseerd is, dan zou deze vergelijking veel sneller en efficiënter kunnen bekomen worden met de [[Klassieke_Mechanica/Lagrange|methode van Lagrange]] Het is er uitgewerkt als derde voorbeeld. Als men de schijf loslaat met θ = 0 en in rust, dan gebeurt er niets. Als men de schijf loslaat met een relatieve beginsnelheid en/of bij een hoek θ > 0, dan zal de schijf beginnen slingeren. Daar niet alleen het moment van het gewicht speelt, maar ook iets dat men als een middelpuntvliedende kracht kan interpreteren, is de beweging zeker geen harmonische trilling. Men ziet dit duidelijk in de grafiek hieronder.
Regel 445:
Voor kleine ω<sub>1</sub> levert dit een uitdrukking die groter is dan 1. Voor die waarden zal het systeem evolueren naar θ = 0 en voor die positie is de bovenstaande afleiding niet geldig. Er is dus een minimun ω<sub>1</sub> nodig vóór de schijf een schuine stand zal aannemen. Dit komt doordat de middelpuntvliedende kracht niet constant is, maar zelf functie is van θ. Men kan dit duidelijk zien in de grafieken hiernaast, waarin de coëfficiënt van sin(x)*cos(x) overeenkomt met r.ω<sub>1</sub><sup>2</sup>/g. Men ziet duidelijk dat deze coëfficiënt groter moet zijn dan 1 vooraleer er een snijpunt in het interval 0<x<90° mogelijk is (de x-as is in radialen, 90° = 1,57 rad). Dat snijpunt zal ook altijd vallen vóór x=1,57 rad (=90°) want voor die waarde gaat sin(x) naar 1 terwijl sin(x)*cos(x) er een nulpunt heeft.
<br
===Deel II: de wet van Newton===
Regel 456:
:<math>\vec a_r = r\dot{\theta}^2\vec i + r\ddot{\theta}\vec j</math>
* voor de complementaire versnelling is de relatieve snelheid nodig:
<math>\vec v_r = r\dot{\theta} \vec j</math><br
Hiermede wordt de complementaire versnelling:
:<math> 2\vec\omega \times \vec v_r = 2 \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\
Regel 463:
Alles bij elkaar krijgt men voor de Wet van Newton toegepast op het masscentrum:
:<math> X_A + X_B + mg\cos\theta = -mr(\sin^2\theta. \omega_1^2 + \dot{\theta}^2) </math><br
:<math> Y_A + Y_B - mg\sin\theta = -mr(\sin\theta\cos\theta.\omega_1^2 + \ddot{\theta}) </math> '''Stelsel II'''<br
:<math> Z_A = -2mr\cos\theta.\omega_1.\dot{\theta} </math>
Deze 3 vergelijkingen vormen samen met het stelsel I de volledige beschrijving van de beweging en alle krachten die erbij optreden
<br
De kinetische energie wordt hier uitgerekend ter controle van de alternatieve de aanpak in volgende paragraaf.
:<math> E_{kin} = \frac{1}{2}(I_{xx}\omega_x^2 + I_{yy}\omega_y^2 + I_{zz}\omega_z^2) </math>
:<math> = \frac{mr^2}{2}\left(\frac{1}{4}\cos^2\theta.\omega_1^2 + \frac{5}{4}\sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{3}{2}\dot{\theta}^2\right)</math>
:<math> = \frac{mr^2}{2}\left(\frac{\omega_1^2}{4} + \sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{3}{2}\dot{\theta}^2\right)</math>
Regel 478:
[[afbeelding:complexVbTransl.png|right|slingerende schijf met translerend assenkruis]]
Een schijf is een rotatiesymmetrisch voorwerp. Bij de bovenstaande oplossing werd dit niet uitgespeeld. Als men deze eigenschap wel wil benutten, moet men een translerend assenkruis invoeren met oorsprong in het middelpunt van de schijf. "Translerend" betekent dus dat de x- en y-as horizontaal en vertikaal blijven. Men vindt nu voor de verschillende grootheden:
:<math>\vec \omega = (0,\omega_1, \dot{\theta}) </math>
:<math>\vec L = (0,I_{yy}\omega_1, I_{zz}\dot{\theta}) </math>
De rotatie van het asenkruis bestaat nu alleen uit ω<sub>1</sub>:
:<math>\frac{d\vec{L}}{dt} |_{abs} = \frac{d\vec{L}}{dt} |_{rel} \; + \; \vec{\omega_1} \times \vec{L} </math><br
:<math> = (0,0,I_{zz}\ddot{\theta}) + \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\
0 & \omega_1 & 0 \\ 0 & I_{yy}\omega_1 & I_{zz}\dot{\theta} \end{vmatrix} </math><br
:<math> = I_{zz}\ddot{\theta} \vec k + I_{zz}\omega_1\dot{\theta} \vec i</math>
Dit is een bijzonder eenvoudige uitdrukking die weinig gelijkenissen vertoont met de vorige berekening. Om aan te tonen dat de beide voorstellingen wel equivalent zijn kan men ook hier de kinetische energie berekenen. Men moet nu wel rekenen volgens de formule van König
Regel 491:
:<math>\vec v_C = r\dot{\theta}\cos\theta \vec i + r\dot{\theta}\sin\theta \vec j + r\sin\theta.\omega_1 \vec k </math>
Dit is een ontbinding in een orthogonaal assenkruis. Dus:
:<math>v_C^2 = \sum v_{C,i}^2 = r^2\dot{\theta}^2\cos^2\theta + r^2\dot{\theta}^2\sin^2\theta + r^2\sin^2\theta.\omega_1^2 </math>
:<math> = r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2\theta.\omega_1^2 </math>
De traagheidsmomenten:<br
* I<sub>xx</sub> = I<sub>yy</sub> = mr<sup>2</sup>/4
* I<sub>zz</sub> = mr<sup>2</sup>/2
Hiermede wordt de kinetische energie:
:<math> E_k\;=\; \frac{mr^2}{2}\left(\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{\omega_1^2}{4} + \frac{\dot{\theta}^2}{2}\right)</math>
:<math> = \frac{mr^2}{2}\left(\frac{3\dot{\theta}^2}{2} + \frac{\omega_1^2}{4} + \sin^2\theta.\omega_1^2 \right) </math><br
... en dit is precies wat men hoger ook gevonden heeft.
Regel 505:
* voor B (-rsinθ, rcosθ, -AB/2)
Het gewicht heeft nu als componenten: G(0,-mg,0). Hiermede bekomt men voor de momentenvergelijkingen het volgende stelsel:
:<math> (r\cos\theta Z_A - \frac{AB}{2}Y_A) + \frac{AB}{2}Y_B = I_{zz}\omega_1\dot{\theta} </math><br
:<math> (\frac{AB}{2}X_A + r\sin\theta Z_A) - \frac{AB}{2}X_B = 0 </math>
:<math>-r\sin\theta Y_A - r\cos\theta X_A - r\sin\theta Y_B - r\cos\theta X_B = I_{zz}\ddot{\theta} </math>
De laatste vergelijking schijnt niet veel gelijkenissen te vertonen met de vorige z-component van de momentenvergelijking. Er zal verder nochtans aangetoond worden dat ze daarnaar kan herleid worden.
Om de vergelijkingen van de wet van Newton te kunnen opschrijven, moet men de versnelling projecteren in het huidige assenkruis:
:<math>\vec a_{sn} = -r\sin\theta.\omega_1^2 \vec i </math>
:<math>\vec a_r = \vec a_{rn} + \vec a_{rt} = r\dot{\theta}^2(-\sin\theta \vec i + \cos\theta \vec j) + r\ddot{\theta}(\cos\theta \vec i + \sin\theta \vec j) </math>
:<math>\vec v_r = r\dot{\theta}(\cos\theta \vec i + \sin\theta \vec j) </math>
:<math> a_c = 2\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & \omega_1 & 0 \\
r\dot{\theta}\cos\theta & r\dot{\theta}\sin\theta & 0 \end{vmatrix} = -2r \cos\theta \omega_1\dot{\theta} \vec k </math>
Hiermede leidt de Wet van Newton tot het volgende stelsel:
:<math> \sum{X_i} = X_A + X_B = mr(-\sin\theta.\omega_1^2 - \sin\theta\dot{\theta}^2 + \cos\theta \ddot{\theta})</math>
:<math> \sum{Y_i}= Y_A + Y_B - G = mr(\cos\theta\dot{\theta}^2 + \sin\theta\ddot{\theta}) </math>
:<math> \sum{Z_i}= Z_A = -2mr\cos\theta \omega_1\dot{\theta} </math>
Om de z-component van de momentenvergelijking te herleiden tot de uitdrukking van de vorige oplossing, wordt die herschreven als:
:<math>-r\sin\theta (Y_A + Y_B) - r\cos\theta (X_A + X_B) = \frac{mr^2}2{}\ddot{\theta} </math>
Hierin kan men nu gemakkelijk de uitdrukkingen voor X<sub>A</sub>+X<sub>B</sub> en Y<sub>A</sub>+Y<sub>B</sub> uit de vergelijkingen van Newton substitueren. Na een halve bladzijde rekenen zal men vaststellen dat men op de vorige uitdrukking voor de z-component uitkomt.
Regel 551:
0 & \omega_p \cos\theta & \omega_p \sin\theta \\
0 & L_y & L_z
\end{matrix} \right] = 0 </math><br
Hieruit blijkt dadelijk dat er enkel een x-component is:
:<math>\omega_p \cos\theta L_z - \omega_p \sin\theta L_y = 0 </math><br
Na invullen van de waarden voor de componenten van L en wat vereenvoudigen bekomt men:
:<math> \omega_p = \frac{I_a \omega_s}{(I_d - I_a)\cos\theta}</math>
Men werkt met een θ in het eerste kwadrant, dus een positieve cos θ. Men moet 2 gevallen onderscheiden:<br
1. I<sub>d</sub> > I<sub>a</sub> : dan zijn ω<sub>p</sub> en ω<sub>s</sub> positief.<br
2. I<sub>d</sub> < I<sub>a</sub> : dan zijn ω<sub>p</sub> en ω<sub>s</sub> tegengesteld gericht (hun scalair product is negatief).<br
[[afbeelding:FreePrecession-2.pdf|right|Directe precessie van een vrij bewegend voorwerp]]
Beide gevallen worden nu wat meer in detail besproken. Het '''eerste geval''' treedt op bij een eerder uitgerekt, langwerpig voorwerp. Dan is I<sub>d</sub> > I<sub>a</sub>. De totale ogenblikkelijke rotatievector ω<sub>og</sub> beschrijft, in een vast referentiesysteem, een kegeloppervlak rond ω<sub>p</sub> met hoeksnelheid ω<sub>p</sub>. Wanneer een bewegende kegel over een stilstaande kegel rolt, dan ligt de ogenblikkelijk rotatievector op de raaklijn tussen de twee kegels. De situatie hier kan dus voorgesteld worden als het rollen van 2 kegels over elkaar. De kegel rond ω<sub>p</sub> noemt men de ruimtekegel en stelt de stilstaande kegel voor, de kegel rond ω<sub>s</sub> noemt men de voorwerpskegel. De voorwerpskegel heeft een halve tophoek die β genoemd wordt. Men kan L nu ook opschrijven als functie van ω<sub>og</sub> en die β:
:<math>\vec L = I_a \cos\beta \vec j + I_d\sin\beta \vec k </math><br
Hiermede kan men een verband vinden tussen θ en β:
:<math> \tan\theta =\frac{L_z}{L_y} = \frac{I_d}{I_a}\tan\beta </math><br
Als I<sub>d</sub> > I<sub>a</sub> dan zal β kleiner zijn dan θ. Men krijgt een voorwerpskegel die uitwendig over de ruimtekegel rolt. Men noemt dit '''directe precessie'''.
Regel 594:
Soms wordt een traagheidsmomenten ook gespecificeerd m.b.v. een '''gyratiestraal'''. De gyratiestraal is de straal van de cirkel waarop alle massa zich zou moeten bevinden om het gegeven traagheidsmoment t.o.v. een as te hebben. Als de totale massa van een voorwerp m is, het traagheidsmoment volgens een bepaalde as I, dan is de gyratiestraal R bepaald door:
:mR<sup>2</sup> = I
De traagheidstensor I kan gevisualiseerd worden als een [[w:Ellipsoide|ellipsoïde]]. Een omwentelingsellipsoïde is het lichaam dat ontstaat als men een [[Klassieke_Mechanica/Centrale_kracht#De_kegelsneden| ellips]] rond een hoofdas laat wentelen. Daarbij is de doorsnede loodrecht op die as een cirkel. Als dit ook een ellips is heeft men een gewone ellipsoïde.
Regel 639:
De coördinaten van de 4 bollen kunnen gemakkelijk afgelezen worden van de figuur.
:<math>\vec{r_{1}}=(0;2;0)</math><br
:<math>\vec{r_{2}}=(0;-2;0)</math><br
:<math>\vec{r_{3}}=(0;0;1)</math><br
:<math>\vec{r_{4}}=(0;0;-1)</math>
Hiermede kunnen de elementen van de traagheidstensor uitgerekend worden:
:<math>I_{xx}=\sum m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})=m(4+4+1+1)</math> = 20 kgm<sup>2</sup><br
:<math>I_{yy}=\sum m_{i}(z_{i}^{2}+x_{i}^{2})=m(1+1)</math> = 4 kgm<sup>2</sup><br
:<math>I_{zz}=\sum m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})=m(4+4)</math> = 16 kgm<sup>2</sup>
De traagheidsproducten moeten nul zijn:
:<math>I_{xy}=-\sum mx_{i}y_{i}=0</math><br
:<math>I_{xz}=-\sum m_{i}x_{i}z_{i}=0</math><br
:<math>I_{yz}=-\sum m_{i}y_{i}z_{i}=0</math>
Regel 668:
De coördinaten van de 4 bollen worden weer afgelezen worden van de figuur.
:<math>\vec{r_{1}}=(-1;\sqrt{3};0)</math><br
:<math>\vec{r_{2}}=(1;-\sqrt{3};0)</math><br
:<math>\vec{r_{3}}=(0;0;1)</math><br
:<math>\vec{r_{4}}=(0;0;-1)</math>
De diagonaalelementen van de traagheidstensor worden:
:<math>I_{xx}=\sum m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})=m(3+3+1+1)=2.8</math> = 16 kgm<sup>2</sup><br
:<math>I_{yy}=\sum m_{i}(z_{i}^{2}+x_{i}^{2})=m(1+1+1+1)</math> = 8 kgm<sup>2</sup><br
:<math>I_{zz}=\sum m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})=m[(1+3)+(1+3)]</math> = 16 kgm<sup>2</sup>
De traagheidsproducten worden nu:
:<math>I_{xy}=-\sum mx_{i}y_{i}=-m(-\sqrt{3}-\sqrt{3})=4\sqrt{3}</math> kgm<sup>2</sup><br
:<math>I_{xz}=-\sum m_{i}x_{i}z_{i}=0</math><br
:<math>I_{yz}=-\sum m_{i}y_{i}z_{i}=0</math>
Regel 733:
Men vindt:
:<math>\vec{u'_{x}}=cos\theta.\vec{u_{x}}-sin\theta.\vec{u_{y}} =(\sqrt{3}/2)\vec{u_{x}}-0,5\vec{u_{y}}</math><br
:<math>\vec{u'_{y}}= sin\theta.\vec{u_{x}}+cos\theta.\vec{u_{y}} = 0.5\vec{u_{x}}+(\sqrt{3}/2)\vec{u_{y}}</math>
Regel 842:
door λ<sub>1</sub> te substitueren in het stelsel dat de eigenvectoren definieert:
:<math>\;12e_{x}+ 4\sqrt{3}e_{y}=0</math><br
:<math>4\sqrt{3}e_{x}+\quad4e_{y}=0</math>
Regel 910:
z\end{matrix}\right|=1</math>
Bij de notatie van vectoren als kolommatrices, moet een scalair product uitgewerkt worden als het matrixproduct van de transpose van de eerste vector met de tweede. De transpose van een matrix is een matrix met de rijen en kolommen omgewisseld. Voor een matrixproduct is er geen specifieke operator. De twee matrices worden naast elkaar geschreven, zoals men ook ab schrijft voor a x b. Men heeft dus voor een scalairproduct:<br
:<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = \left|\begin{matrix}
a_x\\
Regel 939:
Bij een rotatiematrix is de transpose hetzelfde als de inverse matrix. Men krijgt dus links bij het uitwerken
:<math>\displaystyle (R^{-1})^{T}=R</math><br
In termen van matrixproducten krijgt men dus:
:<math>\left|\begin{matrix}
Regel 1.066:
Met deze uitdrukking voor de kinetische energie kon men dan aan de slag om de bewegingsvergelijkingen op te stellen met de [[Klassieke_Mechanica/Lagrange| methode van Lagrange]] (volgend hoofdstuk).
'''Toepassing'''<br
Men kan dit ter controle even toepassen. In het eerste assenkruis wordt de richting van de x-as gekozen: (1; 0; 0). Het is vrij duidelijk dat dit een I = 20 oplevert. In het tweede assenkruis wordt dit de richting
:<math>\begin{vmatrix}
Regel 1.082:
\sqrt{3}/2 \\ 0,5 \\ 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\sqrt{3}/2 & 0,5 & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix}
10\sqrt{3}\\ 10 \\ 0 \end{vmatrix} = 15+5=20 </math><br
Q.E.D.
| |||