Klassieke Mechanica/Statica/Virtuele arbeid: verschil tussen versies

{{Klassieke Mechanica|Afbeelding=}}

 

=Inleiding=

De methode van de virtuele arbeid is een zeer efficiënte methode voor het berekenen van het evenwicht van samengestelde systemen als men niet geïnteresseerd is in de inwendige krachten. De methode verschilt echter totaal van de klassieke vectoriële methode. Deze aanpak vertrekt van het idee dat een versnelling van het systeem ook een toename of afname van de kinetische energie betekent. Dat kan alleen via een toevoer of afvoer van energie door de aangrijpende krachten. Geen versnelling betekent dus geen toevoer of afname van energie. Energie is een scalaire grootheid, de energievergelijkingen zijn scalaire vergelijkingen. Daarom wordt deze methode soms de '''scalaire methode''' genoemd.

[[afbeelding:3DsurfaceB-sm.png|left|extremum van functie van meerder veranderlijken]]

[[afbeelding:Saddle_point2-sm.png|right|zadelpunt met raaklijnene]]

 

Voor evenwicht zal men een nulpunt moeten hebben voor de bijdrage volgens de raaklijn aan de kromme van elke onafhankelijke veranderlijke, van elke veralgemeende coördinaat. Dit betekent dat voor elke q_j moet gelden :

De uitwerking in termen van orthogonale coördinaten is vooral aangewezen als de krachten evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. De bovenstaande som telt dan immers maar één term.

 

Voor het voorbeeld is deze methode aangewezen voor het gewicht:

:<math>\vec{G} \cdot \delta\vec{r} = -G.{\delta}_y</math>

Bij de goniometrische vorm zal men de kracht projecteren op de de raaklijn aan de baan die gevolgd wordt bij toename van de veralgemeende coördinaat. Het is duidelijk dat de bijdrage van het gewicht in de vorige berekeningen ook op deze manier kan gelezen worden. In de praktijk zal de goniometrische vorm vooral nuttig zijn bij schuin geplaatste krachten waarbij de projectie van de kracht op de raaklijn sneller en eenvoudiger op te schrijven is dan de uitdrukking in termen van orthogonale coördinaten. Dit is vooral het geval als de richting van kracht en raaklijn steeds samenvalt (hoek tussen beide 0° of 180°) en deze richting zelf veranderlijk is. Denk b.v. aan het schuine touw in figuur 2. Men kan dit onder verscheidene hoeken houden, maar als men het scalair product met de goniometrische vorm uitwerkt, dan heeft deze hoek geen belang, zoals hij trouwens fysisch geen belang heeft. Een ander voorbeeld wordt hieronder uitgewerkt.

 

Voor '''F''' in het voorbeeld werd reeds opgemerkt dat een verandering van &theta; resulteert in een verplaatsing loodrecht op '''F''', dus zonder energieverandering. Alleen bij verandering van r zal er arbeid geleverd worden door of op de veer. Daar een toename van r een verplaatsing oplevert in tegengestelde zin van de kracht, wordt de goniometrische vorm:

:<math>\vec{F} \cdot \delta\vec{r} =</math> F.&delta;r.cos 180° = -F.&delta;r

 

==c) Speciaal geval: potentiaalkrachten==

Voor een potentiaal kracht F geldt

:<math>E_p = -\int{\vec{F}\cdot d\vec{r}}</math>

:<math> \delta E_p = -\vec{F}\cdot \delta\vec{r}</math>

of

De potentiële energie van de veer in het voorbeeld wordt duidelijk alleen beïnvloed door de parameter r:

:<math>E_p = k\frac{(r-r_0)^2}{2}</math>

[[afbeelding:VirtArbKeuzeAssenkr.png|right|220px|Virtuele arbeid: keuze van het assenkruis]]

 

Nemen we als voorbeeld het systeem van de figuur hiernaast, waarin AB en BC ideale staven zijn met lengte a. In elk vast assenkruis zullen de reacties R_A en R_C geen arbeid leveren bij een beweging van het systeem. Bevestigt men echter het assenkruis aan B, dan levert het gewicht geen arbeid meer, maar wel deze reactiekrachten. Hun aangrijpingspunten bewegen nu immers op een cirkel rond B. Zij 2 &theta; de hoek tussen de staven in B en de veer ontspannen als de beide staven horizontaal liggen.