Klassieke Mechanica/Basisbegrippen: verschil tussen versies

Het scalair product heeft volgende eigenschappen:

 

 

Men kan uit elke vector een '''eenheidsvector''' afleiden met dezelfde richting als die vector door hem te delen door zijn norm. Als de basisvectoren othogonaal zijn t.o.v. elkaar, dan spreekt men van een '''orthogonale basis'''. Men kan een basis ook altijd schrijven met eenheidsvectoren. Een basis waarvan de basisvectoren orthogonaal zijn en eenheidsvectoren zijn is een '''orthonormale basis'''.

Uit de definitie volgt dat het vectorieel product nul is voor '''evenwijdige vectoren'''.

 

* Distributiviteit :

:<math>\vec{a}\times(k\vec{b}+m\vec{c})=k(\vec{a}\times\vec{b})+m(\vec{a}\times\vec{c})</math>

Voor tweedimensionale problemen zal men dikwijls vereenvoudigde berekeningsmethodes gebruiken, die berusten op de eigenschap dat het vectorieel product van evenwijdige vectoren 0 is en dat van loodrecht op elkaar staande vectoren gewoon het product is van de groottes van beide vectoren. Dit leidt tot de volgende drie mogelijkheden voor het berekenen van een moment in twee dimensies.

 

We schrijven de positievector als '''r'''(x,y) en de kracht als '''F'''(X,Y). We gebruiken de matrixnotatie om het vectoriële product uit te rekenen:

[[afbeelding:moment1.gif|left|Vectorieel product in cartesische coördinaten]]

[[afbeelding:vectorieel product.gif|center|Vectorieel product in cartesische coördinaten]]

[[afbeelding:moment2.gif|right|Vectorieel product]]

Bij deze methode ontbinden we de kracht in een component F_e evenwijdig aan de positievector en een component F_l loodrecht erop. Het moment wordt gegeven door de grootte van de positievector x de grootte van de component van de kracht loodrecht erop.

 

Men kan ook zien dat F_l = F.sin &theta;, zodat het resultaat wordt: r.F sin &theta;, zoals door de goniometrische vorm verwacht wordt.

[[afbeelding:moment3.gif|right|Vectorieel product]]

De bovenstaande ontbinding kan ook op het eerste argument toegepast worden. Dan splitst men r in een component r_e evenwijdig aan F en een component r_l loodrecht op F. &nbsp;r_l noemt men meestal de loodrechte afstand naar de drager van de kracht.

 

Men kan de eerste methode, met de cartesische coördinaten, ook lezen als het toepassen van deze laatste methode op de x- en y-component van de kracht.

 

===Hoeksnelheid en lineaire snelheid===

waarbij r_P de positievector van het punt P is vanuit een willekeurig punt van de rotatieas. Dat de positie van het punt op de rotatieas, van waaruit de vector r_P vertrekt, geen belang heeft, kan men hier het best zien door te werken met de goniometrische uitwerking voor de grootte van v_P:

:<math> \displaystyle v_P = \omega.r_P.\sin\theta = \omega.d </math>

 

==Product van drie vectoren==

 

===Dubbel vectorproduct===

Hier zijn de haakjes wel noodzakelijk om het resultaat eenduidig te maken. Men kan deze formule herschrijven in een andere vorm. Hiervoor stelt men

De x-component van het resultaat kan dan geschreven worden als:

:<math>\displaystyle x = a_yd_z - a_zd_y = a_y(b_xc_y-b_yc_x) - a_z(b_zc_x-b_xc_z) </math>

:<math>\displaystyle x = b_x(a_yc_y+a_zc_z) - c_x(a_yb_y+a_zb_z) </math>

Door bijvoegen van <math>\textstyle a_xb_xc_x - a_xb_xc_x </math> bekomt men uitdrukking die kan herschreven worden als:

Voor de gehele uitdrukking krijgt men:

Bemerk dat de vectoren die in het dubbele vectorproduct tussen de haakjes staan, nu de vectoren voor de scalaire producten vormen.

 

 

 

==Ontbinding van een vector==

Men moet twee vectoren F₁ en F₂ vinden, zodat de vectoriële som gelijk is aan G. Men kan best beroep doen op het parallellogramalgoritme voor de som van twee vectoren. De mogelijke richtingen zijn gegeven door de staven en het verlengde van de staven. G moet als diagonaal van het parallellogram tussen de twee zijden liggen. Dat geeft dadelijk de oplossing zoals rechts voorgesteld.

 

F₂ = 1000/cos 45° = 1414 N en is een druk op de schuine staaf. Bemerk dat dit meer is dan het gewicht!

 

:<math>\displaystyle G = \int_{Vol}g.dm </math>