Klassieke Mechanica/Kinematica-2: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Lintfouten: Verouderde HTML-elementen |
|||
Regel 60:
::- Het assenkruis beweegt mee met het blok: de oorsprong beweegt, de richting van de assen blijft onveranderd. Het is dus een zuiver translerend assenkruis en v<sub>s</sub>=v<sub>blok</sub>.
Zo bekomt men de snelhedendriehoek, waarin alleen de grootte van v<sub>a</sub> en v<sub>r</sub> onbekend zijn. Het probleem is dus oplosbaar.
<br
Hierna twee voorbeelden waarbij men zowel een translerend als een roterend assenkruis kan gebruiken. Bij een translerend assenkruis blijft de richting van de assen behouden. Daarom wordt het hier verticaal-horizontaal getekend. De oorsprong beweegt op een cirkel. Bij gebruik van een roterend assenkruis wordt het verbonden met de roterende staaf. Men probeert de oorsprong in een stilstaand punt te kiezen zodat de sleepsnelheid maar één component heeft, namelijk de rotatiecomponent. Om die uit te rekenen moet de relatieve positievector gekend zijn.
[[afbeelding:dubbeloplos.png|center|voorbeelden met 2 oplossingen]]
Regel 78:
[[afbeelding:sambeweg4.png|center|Oplossing voor het complewere porbleem]]
Daar men hier met meer dan 3 vectoren te doen heeft zal men de vergelijking projecteren. De gevraagde ω<sub>BC</sub> zit in de v<sub>s,rot</sub>, die volgens de y-as van het bewegend assenkruis ligt. Projectie op die as levert een vergelijking waarin alleen v<sub>s,rot</sub> als onbekende voorkomt, zodat men daaruit onmiddellijk ω<sub>BC</sub> kan berekenen.
:<math>\displaystyle -v_a \sin\theta =v_{s,tr}\sin\theta - BD.\omega_{BC}</math><br
:<math>\displaystyle \omega_{BC} = (v_{s,tr} + v_a)\sin\theta/BD</math><br
Met BD=d/cos θ:
:<math>\displaystyle \omega_{BC} = (v_B + R.\omega_O)\sin\theta.\cos\theta/d</math>
Regel 112:
:<math>\vec a_a = \vec a_{O'} + (\vec a_r + \vec\omega \times \vec v_r ) + (\vec\alpha \times \vec r_r + \vec\omega \times \vec v_r + \vec\omega \times(\vec\omega \times \vec r_r))</math>
Men kan deze termen op verschillende wijze groeperen. Een mogelijkheid is weer volgens sleep- en relatieve versnelling en dan blijkt er nog een term bij te komen:
:<math> \vec a_a = (\vec a_{O'} + \vec\omega \times(\vec\omega \times \vec r_r) + \vec\alpha \times \vec r_r) + \vec a_r + 2(\vec\omega \times \vec v_r)</math><br
:<math> \vec a_a = \vec a_s + \vec a_r + \vec a_c </math>
Regel 129:
'''Tweede benadering'''. Men beschouwt de beweging binnen een assenkruis roterend met de schijf. Men krijgt dan voor de drie componenten van de absolute versnelling:
:<math>\displaystyle a_s = \omega^2.R</math> , naar binnen gericht<br
:<math>a_r = v_r^2/R = \omega_r^2.R</math> , naar binnen gericht<br
:<math>\displaystyle a_c = 2\omega.v_r </math> . Deze term is naar buiten gericht.<br
Men bekomt dus exact dezelfde termen, maar onder andere benamingen.
'''Eenvoudiger formule voor onvervormbare voorwerpen'''<br
Binnen onvervormbare of starre voorwerpen stelt zich regelmatig het probleem om de versnelling van een punt te berekenen uitgaande van de bekende versnelling van een ander punt. Voor deze toepassing kan bovenstaande formule sterk vereenvoudigd worden. Zij punt A het referentiepunt met een bekende versnelling en punt B het punt waarvan men de versnelling wil berekenen. Men kan dan een translerend assenkruis verbinden met A en vandaar kijken naar B. Daar het een translerend assenkruis is, valt alvast de coriolisversnelling weg. De versnelling van B is dus alleen de som van de versnelling van A met een relatieve versnelling van B t.o.v. A. Als het over een onvervormbaar voorwerp gaat, dan kan die relatieve beweging alleen een rotatie zijn met een hoeksnelheid ω en/of een hoekversnelling α. Als er een hoeksnelheid is, dan is er ook een normale versnelling van B naar A met grootte AB.ω<sup>2</sup>. Als er een hoekversnelling is, dan is er een tangentiële versnelling loodrecht op de rechte AB, met een zin volgens de zin van α en met grootte AB.α . Samengevat:
:<math>\vec a_B = \vec a_A + \vec a_{(B,A)n} + \vec a_{(B,A)t}</math><br
===Coriolisversnelling en bewegingen op aarde===
Regel 170:
Men kan nu een orthonormaal assenkruis definiëren in het beschouwde punt door eenheidsvectoren in te voeren die in het gegeven punt raken aan de parameterkrommen door dat punt, die men bekomt door telkens één parameter te laten variëren en de andere constant te houden. Men bekomt zo de eenheidsvectoren u<sub>r</sub>, u<sub>φ</sub>, u<sub>θ</sub>. In deze volgorde vormen ze een '''rechtsdraaiend rechthoekig assenkruis'''.
Om de snelheid en versnelling te berekenen in bolcoördinaten kan men vertrekken van de formules die de transformatie geven naar cartesische coördinaten. De eerste hiervan is:<br
:x = r.sin φ.cos θ
Hierbij berekent men eerst de componenten v<sub>x</sub>, v<sub>y</sub> en v<sub>z</sub> in functie van r, φ en θ en hun afgeleiden. Dan projecteert men deze componenten op de assen van de bolcoördinaten om v<sub>r</sub>, v<sub>φ</sub> en v<sub>θ</sub> te bekomen. Dit levert echter zeer lange berekeningen op. Differentiëren van de uitdrukking hierboven levert immers 3 termen, nogmaals differentiëren levert 9 termen!
Regel 191:
Samen levert dit als snelheidscomponenten:
:<math>v_r=\dot{r}</math><br
:<math>v_{\varphi}=r.\dot{\varphi}</math><br
:<math>v_{\theta}=r.\sin\varphi .\dot{\theta}</math><br
of:
Regel 200:
Men heeft <math>\vec\omega\times\vec{r} = r(\vec\omega\times\vec{u}_r)</math> , zodat men bovenstaande formule ook kan lezen als een manier om de afgeleiden van de eenheidsvectoren te berekenen. Men kan dus op analoge manier werken om de versnelling te berekenen als afgeleide van de snelheid. Alhoewel deze methode reeds 10x korter is dan via de cartesische coördinaten, is er nog een kortere methode.
'''Kortste methode'''<br
Wanneer een punt, bepaald door bolcoördinaten, beweegt, dan kan men die beweging ook beschouwen als opgebouwd uit de rotatie van het verticale vlak door de positievector r gecombineerd met een beweging binnen dat vlak. Binnen dat vlak komen de parameters r en φ dan overeen met de parameters van de [[Klassieke_Mechanica/Kinematica#Poolco.C3.B6rdinaten|poolcoördinaten]]. De snelheid en versnelling in poolcoördinaten is bekend en vrij eenvoudig. Voor de snelheid hoeft men er alleen een sleepsnelheid aan toe te voegen (in casu v<sub>θ</sub>) en voor de versnelling een sleepversnelling en een complementaire versnelling, die vrij eenvoudig te berekenen zijn. Alleen heet de hoek θ van de formules van de poolcoördinaten hier nu φ!
Regel 221:
Alles herschikken volgens de componenten van de bolcoördinaten levert:
:<math> a_r = \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 - r\sin^2\varphi\dot{\theta}^2</math><br
:<math> a_{\varphi} = r\ddot{\varphi} + 2\dot{r}\dot{\varphi} - r\sin\varphi\cos\varphi .\dot{\theta}^2 </math><br
:<math> a_{\theta} = r\ddot{\theta}\sin\varphi + 2r\dot{\varphi} \dot{\theta}\cos\varphi . + 2\dot{r}\dot{\theta} \sin\varphi </math><br
Daarmee zijn deze vrij ingewikkelde formules gevonden.<br
Deze aanpak is ontleend aan het boek "Mécanique générale", 2e uitgave (1998), door Christian Gruber en Willy Benoit, professoren aan de Ecole polytechnique fédérale in Lausanne (EPFL), {{ISBN|2-88074-305-2}}. Wie zowat alles wil weten over bolcoördinaten (Engels: spherical coordinates) kan terecht op deze pagina: http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html.
{{Sub}}
| |||