Versie van 3 apr 2017 15:53 bewerken Huibc (overleg \| bijdragen) 1.749 bewerkingen k →‎Afstotingskracht: correctie van link ← Vorige wijziging		Huidige versie van 10 jan 2022 om 04:42 bewerken ongedaan maken Erik Baas (overleg \| bijdragen) bureaucraten, interfacemoderatoren, moderatoren 21.872 bewerkingen Lintfouten: Verouderde HTML-elementen
Regel 17: :<math>\vec r'_1 = - \frac{m_2\vec r}{m_1 + m_2}</math> Op analoge manier vindt men dat: :<math>\vec r'_2 = - \frac{m_1\vec r}{m_1 + m_2}</math><br /> De kinetische energie van dit systeem kan m.b.v. de formule van König opgeschreven worden als: :<math> E_k = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\vec{r}_C^2 + \frac{1}{2}(m_1\vec{r'}_1^2 + m_2\vec{r'}_2^2)= \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\vec{r}_C^2 + \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\vec{r}^2</math> Regel 58: =Formule van Binet= Wie niet geïnteresseerd is in de wiskundige afleiding van planetenbanen kan deze paragraaf overslaan.<br /> Wanneer men de bewegingsvergelijkingen van een massa die beweegt in een centraal krachtveld wil opstellen met de [[Klassieke_Mechanica/Lagrange\| methode van Lagrange]], dan moet men eerst de kinetische energie opschrijven. In poolcoördinaten wordt dit: :<math>E_k = \frac{\mu}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2)</math> Regel 100: [[afbeelding:Conic_sections_with_plane.svg‎\|400px\|center\|1=parabool,2=cirkel en ellips,3=hyperbool]] Dikwijls wordt vertrokken van de meest eenvoudige vorm van de vergelijkingen voor deze krommen. In een klassiek '''cartesisch assenkruis''' worden die: * voor de '''ellips''':<br /> <math> \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math><br /> Voor y = 0 (snijpunten met de x-as) krijgt men dat x moet gelijk zijn aan +a of -a. De parameters a is dus de halve as in de x-richting. Analoog is b de halve as in de y-richting. Indien a = b heeft men een '''cirkel'''. De vergelijking wordt dan geschreven als <br /> <math>x^2 + y^2 = r^2 \quad </math> met R de straal van de cirkel. * voor de parabool <br /> <math>\textstyle y=ax^2 </math><br /> Voor x = +1 of -1 is y = a. De parameter a bepaalt dus hoe sterk de parabool opengaat. Voor x gaande naar oneindig gaat ook y naar oneindig. Men zegt dat de parabool raakt aan de kromme op oneindig, voor deze formulering in de richting van positieve y-as. * voor de hyperbool<br /> <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math><br /> Voor y = 0 krijgt men weer dat x moet gelijk zijn aan +a of -a. Maar voor x = 0 moet men de wortel trekken uit -b<sup>2</sup>. Dat levert dus zogenaamde imaginaire punten op. Regel 125: Een ellips kan ook gedefinieerd worden als de verzameling van alle punten zodat de som van de afstanden tot twee gegeven punten constant is. Die twee punten noemt men de brandpunten of foci van de ellips. Een geanimeerde voorstelling hiervan kan men vinden als [[w:Ellips_(wiskunde)#Constructie_van_een_ellips\| de ellips van de tuinman]]. De planetenbanen zijn meestal ellipsen. Voor een ellips kan men nog volgende elementen definiëren:<br /> - de halve grote as a<br /> - de halve kleine as b<br /> - de afstand van een brandpunt tot de meest nabije top van de ellips (A): r<sub>1</sub>. Wordt hier bereikt bij θ = 0°. Bij een satelliet die rond de aarde draait noemt men dit het '''perigeum''', voor een planeet die rond een zon draait het '''perihelium''' (van de Griekse woorden γη = aarde en ἑλιος = zon en περι = dichtbij) <br /> - de afstand van een brandpunt tot de verste top van de ellips (C): r<sub>2</sub>. Wordt hier bereikt bij θ = 180°. Bij een satelliet die rond de aarde draait noemt men dit het '''apogeum''', voor een planeet die rond een zon draait het '''aphelium''' (van de Griekse woord απο = ver weg).<br /> Nota: de vergelijking kan ook opgeschreven worden met een minteken in de noemer. Dan wordt alles gespiegeld t.o.v. de kleine as. De ellips wordt dan beschreven vanuit F<sub>2</sub>, met r<sub>1</sub> naar links bij θ = 180° en r<sub>2</sub> naar rechts bij θ = 0° Regel 146: De oppervalkte van een ellips is πab . '''Voorbeeld'''<br /> Indien de assen gegeven zijn als a = 5 cm en b = 3 cm dan krijgt men :<math> r_1 = a - \sqrt{a^2 - b^2} = 5 - \sqrt{25-9} = 1 \,\mathrm{cm}</math> Regel 223: Een satelliet wordt gelanceerd loodrecht op de aardstraal op een hoogte van 400 km met een snelheid van 8,8 km/s. Bereken de elementen van de baan. Oplossing:<br /> r<sub>0</sub> = 6370 + 400 = 6770 km = 6,77.10<sup>6</sup> m<br /> <math>q_0 = \frac{v_0^2}{v_{\infty}^2}= \frac{(8,8.10^3)^2}{2.4.10^{14}/6,77.10^6} = \frac{524,27}{800} = 0,6553</math><br /> q<sub>0</sub> is groter dan 1/2: er wordt gelanceerd vanuit het perigeum.<br /> <math> \textstyle \epsilon = 2q_{per} -1 = 2.0,6553 - 1 = 0,3061 </math><br /> <math>r_{apo} = \frac{2r_{peri}q_{peri}}{1+\epsilon} = \frac{2.6,77.10^6.0,6553}{1-0,3061}= 12870\ \mathrm{km}</math><br /> h<sub>apo</sub> = 12870 - 6370 = 6500 km<br /> De dubbele grote as : 6770 km + 12870 km = 19640 km. Halve grote as a = 9820 km<br /> <math> b = \sqrt{6770.12870} = 9334\ \mathrm{km}</math><br /> =De wetten van Kepler= Regel 254: :<math> p = \frac{c^2}{k} \quad \mbox{of} \quad c^2 = pk </math> Als men de uitdrukking voor T herschikt en kwadrateert: :<math> T^2 = \frac{4\pi a^2b^2}{c^2} = \frac{4\pi a^2b^2}{pk}</math><br /> :<math> a = \dfrac{r_1 + r_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+\epsilon} + \frac{p}{1-\epsilon}\right) = \frac{p}{1-\epsilon^2}\quad \quad \mathrm{(C)}</math> Anderzijds heeft men ook: Regel 262: Dit bevestigt de derde wet van Kepler. Een animatie over deze derde wet kan men vinden op http://surendranath.tripod.com/GPA/Dynamics/Kepler03/Kepler03.html '''Voorbeeld 1'''<br /> Op welke hoogte en met welke snelheid moet men een satelliet lanceren als men hem in een cirkelvormige baan wil hebben met een omlooptijd van 8 u. Oplossing: <br /> 8 u = 8*3600s = 28800 s <br /> Bij een cirkelbaan is a ook de straal van de cirkel:<br /> <math> a = \left(\frac{T^2k}{4\pi^2}\right)^\frac{1}{3} = \left(\frac{28800^2.4.10^{14}}{4\pi^2}\right)^\frac{1}{3} = 20331 \ \mathrm{km}</math><br /> hoogte = 20331 - 6370 = 13961 km boven het aardoppervlak<br /> <math>v = \sqrt{\frac{k}{r}}= \sqrt{\frac{4.10^{14}}{20,331.10^6}} = 4435\ \mathrm{m/s}</math><br /> '''Voorbeeld 2'''<br /> Bereken de omlooptijd van de satelliet uit het voorbeeld aan het einde van vorige paragraaf. Oplossing: Gegeven: a = 9820 km<br /> <math> T = \left(\frac{4\pi a^3}{k}\right)^{0.5} = \frac{2\pi(982.10^{4})^\frac{3}{2}}{2.10^{7}} = \frac{\pi.982^\frac{3}{2}}{10} = 9667 \ \mbox{s} = 2\,\mbox{u}\ 41\,\mbox{min}\ 7\,\mbox{s}</math> Regel 285: :<math>v^2 = \frac{k^2}{c^2}(\epsilon^2 -1) + \frac{2k}{r}</math> Hoger werd onder C afgeleid dat :<math> a = \frac{p}{1-\epsilon^2} </math> <br /> en anderzijds is er p = c<sup>2</sup>/k . Vult men dat alles in in vorige uitdrukking dan krijgt men: :<math>v^2 = \frac{-k}{a} + \frac{2k}{r}</math> Regel 333: [[afbeelding:EllipsParamvgl.svg\|right\|parametervergelijking voor de ellips]] Er bestaat een parametervergelijking voor de ellips:<br /> :<math>\begin{matrix} \textstyle x = a\cos\theta \\ \textstyle y = b\sin\theta Regel 340: Dit kan grafisch uitgewerkt worden in een constructie met twee concentrische cirkels, één met straat a en de andere met straat b. Vanuit het gemeenschappelijk centrum wordt een lijn getrokken onder een hoek θ die beide cirkels snijdt. Het snijpunt met de grote cirkel levert de x-coördinaat, het snijpunt met de kleine cirkel de y-coördinaat. Bemerk dat de lijn zelf normaal niet door het punt van de ellips wijst dat zo bepaald werd. De hoek θ die hier gebruikt wordt heeft dus niets te maken met de θ uit de vergelijking in poolcoördinaten. <br ~~clear~~style="~~all"~~clear: /both;"> =Afstotingskracht= Regel 376: <!-- ----------- Hieronder onderhoudsmeldingen -------------- --> {{~~sub~~Sub}}

Klassieke Mechanica/Centrale kracht: verschil tussen versies