Analyse/Inleiding in differentiëren: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
RedRose (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
RedRose (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 3:
Een auto rijdt over een rechte weg. De afstand s die de auto als functie van de tijd t aflegt wordt gegeven door de functie s(t). De gemiddelde snelheid van de auto wordt gegeven door de formule:
 
:<math>\overline{v} = \frac{s(t)}{t}</math>
 
De snelheid is natuurlijk niet altijd gelijk aan de gemiddelde snelheid; de auto rijdt soms wat harder en soms wat zachter.
Regel 9:
Stel nu, dat we willen weten wat de snelheid van de auto op het tijdstip t<sub>0</sub>. We kunnen de snelheid op dit tijdstip benaderen door de gemiddelde snelheid in de tijd Δt na het tijdstip t<sub>0</sub> te berekenen:
 
:<math>\overline{v} = \frac{s(t_0 + \Delta t)}{\Delta t}</math>
 
Het spreekt voor zich dat de benadering van de snelheid nauwkeuriger wordt, naarmate Δt dichter bij nul wordt gekozen.
 
== Voorbeeld II ==
[[Afbeelding:X_squared_derivatives.png|right|300px|Benaderingen van de richtingscoëfficiënthelling invan A.]]
Gegeven is de parabool y = x<sup>2</sup> (blauw weergegeven in het diagram rechts). Wat is de toename van y in het punt A(1,1)? Met andere woorden: wat is de helling (of richtingscoëfficiënt) van de parabool in A?
 
We kunnen de richtingscoëfficiënthelling van A benaderen door de gemiddelde toename van y op het interval <1,1+Δx> te berekenen:
 
:<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math>
 
Wanneer we voor Δx 1 invullen, is de benadering voor de richtingscoëfficiënthelling van de grafiek in A gelijk aan 3. Deze benadering is groen weergegeven in het figuur hiernaast.
 
AlsWanneer we Δxeen kleinerkleinere Δx kiezen, zal de benadering nauwkeuriger worden. De benadering die we krijgen door voor Δx 0,5 te kiezen, is nauwkeurigergelijk (namelijkaan 2,5). Deze benadering is geel weergegeven.
 
De eigenlijke raaklijn aan A is paars weergegeven.
Regel 30:
In bovenstaande voorbeelden hebben we gezien dat we door respectievelijk Δt of Δx willekeurig dicht bij 0 te kiezen de richtingscoëfficiënt van een punt van de grafiek kunnen benaderen. De uiteindelijke richtingscoëfficiënt is dan ook gedefiniëerd als een limiet:
 
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>
 
De afgeleide van een functie geeft de '''helling''' van die functie voor elke x (tenzij natuurlijk uit de rekenregels volgt dat deze f'(x) niet gedefiniëerd is).
 
== Notatie ==
We noemen f'(x) (''f-accent x'') de (eerste) afgeleide van f(x). We kunnen deze afgeleide ook noteren als <math>\frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}</math> of <math>[f(x)]'</math>.
 
== Reflectie ==
Terugkomend op de bovenstaande voorbeelden is de snelheid van de auto uit voorbeeld I op t<sub>0</sub> gelijk aan
 
:<math>v_{t = t_0} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}</math>
 
De richtingscoëfficiënt in A op de grafiek uit voorbeeld II kan als volgt berekend:
 
:<math>\begin{align}
f'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \\
Regel 50 ⟶ 55:
Invullen van 1 in f' geeft:
 
:<math>f'(1) = 2 \times 1 = 2</math>
 
De richtingscoëfficiënt in A is dus gelijk aan 2.
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.