Analyse/Inleiding in differentiëren: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 3:
Een auto rijdt over een rechte weg. De afstand s die de auto als functie van de tijd t aflegt wordt gegeven door de functie s(t). De gemiddelde snelheid van de auto wordt gegeven door de formule:
:<math>\overline{v} = \frac{s(t)}{t}</math>
De snelheid is natuurlijk niet altijd gelijk aan de gemiddelde snelheid; de auto rijdt soms wat harder en soms wat zachter.
Regel 9:
Stel nu, dat we willen weten wat de snelheid van de auto op het tijdstip t<sub>0</sub>. We kunnen de snelheid op dit tijdstip benaderen door de gemiddelde snelheid in de tijd Δt na het tijdstip t<sub>0</sub> te berekenen:
:<math>\overline{v} = \frac{s(t_0 + \Delta t)}{\Delta t}</math>
Het spreekt voor zich dat de benadering van de snelheid nauwkeuriger wordt, naarmate Δt dichter bij nul wordt gekozen.
== Voorbeeld II ==
[[Afbeelding:X_squared_derivatives.png|right|300px|Benaderingen van de
Gegeven is de parabool y = x<sup>2</sup> (blauw weergegeven in het diagram rechts). Wat is de toename van y in het punt A(1,1)? Met andere woorden: wat is de helling (of richtingscoëfficiënt) van de parabool in A?
We kunnen de
:<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math>
Wanneer we voor Δx 1 invullen, is de benadering voor de
De eigenlijke raaklijn aan A is paars weergegeven.
Regel 30:
In bovenstaande voorbeelden hebben we gezien dat we door respectievelijk Δt of Δx willekeurig dicht bij 0 te kiezen de richtingscoëfficiënt van een punt van de grafiek kunnen benaderen. De uiteindelijke richtingscoëfficiënt is dan ook gedefiniëerd als een limiet:
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>
De afgeleide van een functie geeft de '''helling''' van die functie voor elke x (tenzij natuurlijk uit de rekenregels volgt dat deze f'(x) niet gedefiniëerd is).
== Notatie ==
We noemen f'(x) (''f-accent x'') de (eerste) afgeleide van f(x). We kunnen deze afgeleide ook noteren als <math>\frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}</math> of <math>[f(x)]'</math>.
== Reflectie ==
Terugkomend op de bovenstaande voorbeelden is de snelheid van de auto uit voorbeeld I op t<sub>0</sub> gelijk aan
:<math>v_{t = t_0} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}</math>
De richtingscoëfficiënt in A op de grafiek uit voorbeeld II kan als volgt berekend:
:<math>\begin{align}
f'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \\
Regel 50 ⟶ 55:
Invullen van 1 in f' geeft:
:<math>f'(1) = 2 \times 1 = 2</math>
De richtingscoëfficiënt in A is dus gelijk aan 2.
|