Analyse/Differentiatie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
RedRose (overleg | bijdragen)
RedRose (overleg | bijdragen)
Toevoegen trigonometrische functies
Regel 87:
& = \frac{h(x)g'(x)}{\Big(h(x)\Big)^2} - \frac{g(x)h'(x)}{\Big(h(x)\Big)^2} \\
& = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{\Big(h(x)\Big)^2}
\end{align}</math>
 
== Afgeleiden Trigonometrische Functies ==
 
=== Sinus ===
:<math>f(x) = \sin(x) \quad geeft \quad f'(x) = \cos(x)</math>
 
==== Bewijs ====
:<math>\begin{align}
f'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \cos(x)\sin{\Delta x} - \sin(x)}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\
& = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{cos(x)-1}{\Delta x} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\
& = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Big(\cos(x)-1\Big)\Big(\cos(x)+1\Big)}{\Delta x \Big(\cos(x)+1\Big)} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\
& = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Big(\cos^2(x)-1\Big)}{\Delta x\Big(\cos(x)+1\Big)} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\
& = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{-\sin^2(x)}{\Delta x\Big(\cos(x)+1\Big)} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\
& = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}-\sin(\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\cos(\Delta x)+1} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\
& = \sin(x) \cdot 0 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + \cos(x) \cdot 1 \\
& = \cos(x)
\end{align}</math>
 
=== Cosinus ===
:<math>f(x) = \cos(x) \quad geeft \quad f'(x) = -\sin(x)</math>
 
==== Bewijs ====
Voor dit bewijs maken we gebruik van de kettingregel, de afgeleide van de sinus en de regel dat <math>\cos(x) = \sin(\tfrac{1}{2}\pi - x)</math>.
 
Substitueer eerst <math>u = \tfrac{1}{2}\pi - x</math>. Dan geldt:
 
:<math>\begin{align}
f'(x) & = \frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}u}\cdot\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} \\
& = [\sin(u)]' \cdot [u]'\\
& = [\sin(u)]' \cdot [\tfrac{1}{2}\pi - x]' \\
& = \cos(u) \cdot -1 \\
& = -\cos(u) \\
& = -\cos(\tfrac{1}{2}\pi - x) \\
& = -\sin(x)
\end{align}</math>
 
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.