Klassieke Mechanica/Kinematica-2: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 169:
Men heeft <math>\vec\omega\times\vec{r} = r(\vec\omega\times\vec{u}_r)</math> , zodat men bovenstaande formule ook kan lezen als een manier om de afgeleiden van de eenheidsvectoren te berekenen. Men kan dus op analoge manier werken om de versnelling te berekenen als afgeleide van de snelheid. Alhoewel deze methode reeds 10x korter is dan via de cartesische coördinaten, is er nog een kortere methode.
'''Kortste methode'''<br />
Wanneer een punt, bepaald door bolcoördinaten, beweegt, dan kan men die beweging ook beschouwen als opgebouwd uit de rotatie van het verticale vlak door de positievector r gecombineerd met een beweging binnen dat vlak. Binnen dat vlak komen de parameters r en φ dan overeen met de parameters van de poolcoördinaten. De snelheid en versnelling in poolcoördinaten is bekend en vrij eenvoudig. Voor de snelheid hoeft men er alleen een sleepsnelheid aan toe te voegen (in casu v<sub>θ</sub>) en voor de versnelling een sleepversnelling en een complementaire versnelling, die vrij eenvoudig te berekenen zijn. Alleen heet de hoek θ van de formules van de poolcoördinaten hier nu φ!
- De relatieve snelheid (genoteerd met subscript "rel" om verwarring met de radiale snelheid te vermijden):
:<math>\vec{v}_{rel} = \dot{r}\vec{u}_r + r\dot{\varphi}\vec{u}_{\varphi}</math>
- De relatieve versnelling:
:<math>\vec{a}_{rel} = (\ddot{r} -r\dot{\varphi}^2)\vec{u}_r + (r\ddot{\varphi} + 2\dot{r}\dot{\varphi})\vec{u}_{\varphi}</math>
- De sleepversnelling is een normale + een tangentiële versnelling. De normale versnelling ligt in een horizontaal vlak en heeft dus 2 componenten, de tangentiële ligt volgens u<sub>θ</sub>:
:<math>\vec a_s = r\sin\varphi .\dot{\theta}^2(-\cos\varphi \vec{u}_{\varphi} -\sin\varphi \vec{u}_r) + r\sin\varphi.\ddot{\theta}\vec{u}_{\theta} </math>
- Tenslotte de complementaire versnelling (alles wat nodig is hierboven gegeven):
<math>2\dot{\theta}\times\vec{v}_{rel}= \begin{vmatrix}
\vec{u}_r & \vec{u}_{\varphi} & \vec{u}_{\theta} \\
\cos\varphi & -\sin\varphi .\dot{\theta} & 0 \\
\dot{r} & r\dot{\varphi} & 0
\end{vmatrix}
= (2r\dot{\varphi} \dot{\theta}\cos\varphi + 2\dot{r}\dot{\theta} \sin\varphi) \vec{u}_{\theta} </math>
Alles herschikken volgens de componenten van de bolcoörinaten levert:
:<math> a_r = \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 - r\sin^2\varphi\dot{\theta}^2</math><br />
:<math> a_{\varphi} = r\ddot{\varphi} + 2\dot{r}\dot{\varphi} - r\sin\varphi\cos\varphi .\dot{\theta}^2 </math><br />
:<math> a_{\theta} = r\ddot{\theta}\sin\varphi + 2r\dot{\varphi} \dot{\theta}\cos\varphi . + 2\dot{r}\dot{\theta} \sin\varphi </math><br />
Daarmee zijn deze vrij ingewikkelde formules gevonden.
| |||