Klassieke Mechanica/Kinematica-2: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 137:
===Bolcoördinaten===
In een vlak kan men de positie van een punt eenduidig bepalen m.b.v. een afstand van een referentiepunt en een hoek t.o.v. een referentierichting. Zo bekomt men de [[Klassieke_Mechanica/Kinematica#Poolco.C3.B6rdinaten|poolcoördinaten]]. In de ruimte heeft men hiervoor een afstand en twee hoeken nodig. Een eerste hoek θ bepaalt de positie van het verticale vlak door de positievector. De tweede hoek φ bepaalt de positie van deze vector t.o.v. de verticale in dit vlak. Dit zijn de '''bolcoördinaten'''. Spijtig genoeg zijn de benamingen van deze hoeken niet eenduidig vastgelegd. Naast verschillende namen zijn er ook verschillende definities in voege, zodat men bij gebruik van formules uit verschillende werken moet uitkijken naar wat met wat overeenkomt.
[[afbeelding:bolcoord.png|right|definitie van bolcoördinaten]]
Men kan nu een orthonormaal assenkruis definiëren in het beschouwde punt door eenheidsvectoren in te voeren die in het gegeven punt raken aan de parameterkrommen door dat punt, die men bekomt door telkens één parameter te laten variëren en de andere constant te houden. Men bekomt zo de eenheidsvectoren u<sub>r</sub>, u<sub>φ</sub>, u<sub>θ</sub>. In deze volgorde vormen ze een '''rechtsdraaiend rechthoekig assenkruis'''.
Om de snelheid en versnelling te berekenen in bolcoördinaten kan men vertrekken van de formules die de transformatie geven naar cartesische coördinaten. De eerste hiervan is:<br />
:x = r.sin φ.cos θ Hierbij berekent men eerst de componenten v<sub>x</sub>, v<sub>y</sub> en v<sub>z</sub> in functie van r, φ en θ en hun afgeleiden. Dan projecteert men deze componenten op de assen van de bolcoördinaten om v<sub>r</sub>, v<sub>φ</sub> en v<sub>θ</sub> te bekomen. Dit levert echter zeer lange berekeningen op. Differentiëren van de uitdrukking hierboven levert immers 3 termen, nogmaals differentiëren levert 9 termen! Een '''eerste kortere methode''' is opnieuw de operator voor differentiëren in een roterend systeem te gebruiken. Om de notatie eenvoudig te houden zal de '''notatie van Newton''' voor de afgeleiden naar de tijd gebruikt worden. Een eerste afgeleide wordt daarbij aangeduid door één punt, een tweede afgeleide door twee punten boven het symbool. <math>\dot{\varphi}</math> wordt gelezen als "φ punt", <math>\ddot{\varphi}</math> als "φ dubbel".
Regel 171 ⟶ 173:
'''Kortste methode'''<br />
Wanneer een punt, bepaald door bolcoördinaten, beweegt, dan kan men die beweging ook beschouwen als opgebouwd uit de rotatie van het verticale vlak door de positievector r gecombineerd met een beweging binnen dat vlak. Binnen dat vlak komen de parameters r en φ dan overeen met de parameters van de [[Klassieke_Mechanica/Kinematica#Poolco.C3.B6rdinaten|poolcoördinaten]]. De snelheid en versnelling in poolcoördinaten is bekend en vrij eenvoudig. Voor de snelheid hoeft men er alleen een sleepsnelheid aan toe te voegen (in casu v<sub>θ</sub>) en voor de versnelling een sleepversnelling en een complementaire versnelling, die vrij eenvoudig te berekenen zijn. Alleen heet de hoek θ van de formules van de poolcoördinaten hier nu φ!
- De relatieve snelheid (genoteerd met subscript "rel" om verwarring met de radiale snelheid te vermijden):
Regel 195 ⟶ 197:
:<math> a_{\theta} = r\ddot{\theta}\sin\varphi + 2r\dot{\varphi} \dot{\theta}\cos\varphi . + 2\dot{r}\dot{\theta} \sin\varphi </math><br />
Daarmee zijn deze vrij ingewikkelde formules gevonden.<br />
Deze aanpak is ontleend aan het boek "Mécanique générale", 2e uitgave (1998), door Christian Gruber en Willy Benoit, professoren aan de Ecole polytechnique fédérale in Lausanne (EPFL), ISBN 2-88074-305-2. Wie zowat alles wil weten over bolcoördinaten (Engels: spherical coordinates) kan terecht op deze pagina: http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html.
| |||