Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
nieuw |
vervolg |
||
Regel 1:
Een enkelvoudige elektrische transmissielijn bestaat uit twee equidistante
geleiders van een bepaalde lengte L en homogene structuur. De geleiders hebben
Regel 10 ⟶ 8:
golfsnelheid van de lijn beïnvloedt.
<math>u_0</math> <math>Z_L</math>
|
0 --> x L
Regel 17 ⟶ 20:
met resp. u(x,t) en i(x,t).
cdx ------o-----------------------------o--------
x x+dx
u(x,t) u(x+dx,t)
i(x,t) i(x+dx,t)
De gedistribueerde parameters c, g, r en l zijn resp. de capaciteit, de
Regel 27 ⟶ 35:
Er geldt:
:<math>i(x+dx,t+dt) = i(x,t) -
We geven een uitvoerige afleiding voor
:<math> Q(x,x+dx,t) = c\cdot dx \cdot u(x,t)\,</math>
:<math>
dus
:<math>i(x+dx,t) - i(x,t) = -
zodat
:<math>\frac{i(x+dx,t) - i(x,t)}{dx} = - c \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - g \cdot u(x,t)\,</math>
of
:<math> -\frac{\partial i(x,t)}{\partial x} = c \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + g \cdot u(x,t)\,</math>
Aaloog vinden we:
:<math> -\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = r \frac{\partial i(x,t)}{\partial t} + l \cdot i(x,t)\,</math>
▲ = - rdx i(x,t) - ldx -------
▲ ------------------ = - r i(x,t) - l -------
De beide vergelijkingen heten de telegraafvergelijkingen. Ze zijn lineair, dus volgens het superpositiebeginsel kunnen we volstaan met harmonische analyse. ▼
▲lineair, dus volgens het superpositiebeginsel kunnen we volstaan met
We beschouwen daarom een sinusvormig signaal met frequentie f en dus met
cirkelfrequentie ω = 2πf.
We rekenen complex en schrijven u i.p.v. <math>\underline{u}</math> en i i.p.v. <math>\underline{i}</math>
Regel 69 ⟶ 65:
De vergelijkingen worden:
:<math> -\frac{\partial i}{\partial x} = (g+ j\omega c)u\,</math>
en
:<math> -\frac{\partial u}{\partial x} = (r+ j\omega l)i\,</math>
We noemen
Regel 136 ⟶ 129:
:<math> \,\gamma = \alpha + j\beta</math>,
dan zien we dat <math>u^+\,</math> verloopt volgens
:<math>\,e^{-\gamma x} = e^{-\alpha x -j\beta x}</math>,
Regel 146 ⟶ 139:
:<math>\,e ^{-j\beta x} </math>.
Analoog <math>u^-\,</math>.
| |||