Transmissielijnen/Smith-chart: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
wordt vervolgd |
||
Regel 1:
We hebben gezien dat de ingangsimpedantie Z<sub>in</sub> (z) en de refelectiecoëfficiënt Γ(0) (Γ) aan het begin van een lijn in elkaar zijn uit te drukken.
:<math> \, z = \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}</math>
en omgekeerd
:<math> \, \Gamma = \frac{z-1}{z+1}</math>,
Dit omrekenen kan heel gemakkelijk met bijvoorbeeld Maple of Excel. In het verleden was
dit niet zo gemakkelijk. Er bleek echter een relatief eenvoudige grafische
methode te zijn: de Smith-kaart (een nomogram voor het omrekenen van de beide complexe parameters Γ en Z in elkaar. Door de opkomst van de computer, waardoor de verlangde berekeningen moeiteloos gedaan worden, is het gebruik van Smith-kaarten tegenwoordig min of meer achterhaald en worden ze in de praktijk nauwelijks meer toegepast.
===Intermezzo===
Het nomogram berust op de volgende afleiding:
Noem
:<math> \, \Gamma = p+jq</math>
en
:<math> \, z = r+js</math>
dan is:
:<math> \, z = r+js =\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} = \frac{1+p+jq}{1-p-jq}=\frac{(1-p^2-q^2+2jq)}{(1-p)^2+q^2} </math>.
Dus
:<math> \, r = \frac{(1-p^2-q^2)}{(1-p)^2+q^2}</math>
en
:<math> \, s = \frac{2q}{(1-p)^2+q^2}</math>
Dwz.
:<math>\, r(1-p)^2+rq^2 = 1-p^2-q^2</math>
of anders geschreven:
:<math> (\frac{1}{1+r})^2 = (p - \frac{r}{1+r} )^2 + q^2</math>.
Voor vaste r zijn dit cirkels om het middelpunt <math>(\frac{r}{1+r},0)</math> met straal <math>\frac{1}{1+r}</math>.
Evenzo:
:<math>\, s(1-p)^2+sq^2 = 2q </math>,
of anders geschreven:
:<math>\, (\frac 1s )^2 = (p-1)^2 + (q - \frac 1s )^2 </math>
Voor vaste s zijn dit cirkels om het middelpunt (1,0) met straal <math>\frac 1s </math>.
Toepassing:
1.
Gegeven z, dus r en s.
Teken z op het snijpunt van de bijbehorende cirkels. Op de rechthoekige coördinaten kunnen
we p en q, dus Γ aflezen.
2.
Gegeven Γ, dus p en q.
Teken Γ in het echthoekige pq-assenstelsel. Op de cirkels door dit punt kun je r en s, dus z
aflezen.
De Smith-kaart wordt echter niet voorzien van rechthoekige pq-coordinaten,
maar van de bijbehorende poolcoordinaten, dus |Γ| en Φ, wat in de praktische toepassing handiger is.
NB. De toepassing van de Smith-chart is vooral redelijk gemakkelijk voor
verliesvrije lijnen, want dan zijn alle reflectiecoefficienten in absolute zin even
groot en verschillen slechts wat hun fase betreft. In het diagram kun je dan
door cirkelen om de oorsprong de reflectiecoefficienten in elkaar omrekenen.
Ook voor admittanties kan de Smith-kaart gebruikt worden. Immers:
y = 1/z = ---
en
Ga = -G = ---,
zodat met -G ipv. G gerekend moet worden. Dus G spiegelen tov. oorsprong.
============================================================================
vervangingsimpedantie
we kunnen een lijn voor het gedrag aan het begin van de lijn vervangen door
z'n ingangimpedantie:
-k--------------o --o
Het zal er vaak om gaan een lijn die uit diverse gedeelten bestaat te
beschrijven:
-k--------------i- ... --------------lj-------------o
vervang het laatste gedeelte
-k--------------i- ... --------------lj--o
bereken de nieuwe belastingimpedantie
-k--------------i- ... -------------o
enz.
============================================================================
voorbeeld
verliesvrije lijn met serie-impedantie
--------l j----------i----
Voor het lijngedeelte (L1,L) is de ingangsimpedantie:
zin1 = --------------- = --------------- = -------------------- =
= 0.397367 - 0.408235j
(NB let op het gebruik van de kleine z's)
Voor het eerste gedeelte is de belasting:
zL1 = Z1/Z0 + zin1 = 0.797367 - 0.208235j
zodat
zin = --------------------- = 0.794 + 0.204j ~ (40 + 10j)/Z0
en
G(0) = ------- = ------- = ---- = ------ ~ -0.100 + 0.125j
zodat
|G| = 0.160 en arg(G) ~ 128o
met gebruik Smith-chart:
uitzetten ZL
-L G(L) "zelfde punt"
-L G(L1) draaien over 400, omdat L2 = 0.555 llyn
-L Zin1 "zelfde punt"
-L ZL1 optellen Z1
-L G'(L1) "zelfde punt"
-L G(0) draaien over -103.70, omdat L1 = 0.644 llyn
-L Zin aflezen
<hr>
| |||