|
:<math>\,u(x) = Ae^{-\gamma x} + Be^{+\gamma x}</math>
en
:<math>\,v(x) = Ae^{-\gamma x} - Be^{+\gamma x}</math>.
We bepalen A en B aan de hand van de randvoorwaarden:
:<math>\, u(0) = u_0 </math>
en
:<math>\,u(L)/v(L) = z_L = \frac{Z_L}{Z_0}</math>,
waaruit:
:<math>\, A+B = u_0 </math>
en
:<math>\,Ae^{-\gamma L} + Be^{+\gamma L} = z_L(Ae^{-\gamma L} - Be^{+\gamma L})</math>
dus
:<math>\,B = A\frac{z_L-1}{z_L+1}e^{-2\gamma L} = </math>.
We drukken A en B uit in u<sub>0</sub> en v<sub>0</sub>, waarin:
:<math>\, v_0 = A-B = u_0
\frac{
(z_L+1)e^{+\gamma L}-(z_L-1)e^{-\gamma L}}
{(z_L+1)e^{+\gamma L}+(z_L-1)e^{-\gamma L}}
=
u_0
\frac{z_L+\tanh(\gamma L)}
{1+z_L \tanh(\gamma L)}
</math>
Dan is:
:<math>\,A = \frac 12 (u_0 + v_0)</math>
en
:<math>\,B = \frac 12 (u_0 - v_0)</math>
zodat
:<math>\,u(x) = \frac 12(u_0+v_0)e^{-\gamma x} + \frac 12(u_0-v_0)e^{+\gamma x} = u_0\cosh(\gamma x) - v_0\sinh(\gamma x)</math>
en
:<math>\,v(x) = \frac 12(u_0+v_0)e^{-\gamma x} - \frac 12(u_0-v_0)e^{+\gamma x} = -u_0\sinh(\gamma x) + v_0\cosh(\gamma x)</math>.
We onderscheiden de heengaande golf
:<math>\,u^+(x) = u_0^+e^{-\gamma x}</math>
met
:<math>u_0^+ = \frac 12(u_0+v_0)</math>
en de gereflecteerde golf
:<math> \,u^-(x) = u_0^-e^{+\gamma x}</math>
met
:<math>\,u_0^- = \frac12 (u_0-v_0)</math>.
We stellen
:<math> \,\gamma = \alpha + j\beta</math>,
dan zien we dat <math>u^+\,</math> verloopt volgens:
:<math>\,e^{-\gamma x} = e^{-\alpha x -j\beta x}</math>,
dus uitdempend volgens
:<math>\,e^{-\alpha x} </math>
en met faseverloop
:<math>\,e ^{-j\beta x} </math>.
Analoog zien we dat <math>u^-\,</math> verloopt volgens:
:<math>\,e^{+\gamma x} = e^{+\alpha x +j\beta x}</math>,
dus met toenemende x in amplitude toenemend, wat inhoudt uitdempend in tegengestelde richting, volgens:
:<math>\,e^{-\alpha x} </math>
en met faseverloop
:<math>\,e ^{+j\beta x} </math>.
| 