Abstracte algebra/Groepentheorie

Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een groep behandelen. In deze cursus wordt verwacht dat je al enigszins vertrouwd bent met groepentheorie. We geven dus enkel een korte herhaling.

DefinitieBewerken

Definitie:
Een groep is een verzameling   met een bewerking   die aan de volgende eigenschappen voldoet:

  1.   is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
  2.  , de bewerking is associatief.
  3.  , er bestaat een neutraal element.
  4.  , ieder element heeft een inverse.
    We noteren de inverse ook als  

We noteren een groep over de verzameling   met de bewerking   als  .


Definitie:
Als de bewerking   commutatief is, d.w.z.

 

noemen we de groep een commutatieve, of abelse groep, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.


Voorbeelden en tegenvoorbeeldenBewerken

Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:

  • Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
    •   is geen groep want het element 3 heeft geen invers in  . ( )
    •   is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    •   is geen groep: het element 2 heeft geen invers in  . ( )
    •   is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    •   is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    •   is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    •   is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    •   is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    •   is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • Extraatje: de quaternionen van Hamilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:
       
      Met de bewerkingen:  
      Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken:   en  
  •  . Waarbij  
    Of in het algemeen: voor alle   is   een groep.


  • Voor elke   zijn de volgende twee structuren groepen:
      met als neutraal element de nulmatrix.
      met als neutraal element de eenheidsmatrix  .
  • Dieëdergroepen.   voor uitleg, kijk naar de engelstalige wikipagina.
  • Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep:   is een groep met  .

Orde van een groep en een elementBewerken

De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneindig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element   is de kleinste macht   waarvoor geldt dat  . Indien er voor geen enkele macht   geldt dat  , dan zegt men dat de orde van   oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element. We noteren de orde van een element of een groep   als  .

Deelgroepen en nevenklassenBewerken

Definitie:
Als   een groep is en   waarvoor geldt dat   een groep is, noemen we   een deelgroep van  .

Let wel: de groepsoperatie in de deelgroep   is dezelfde als in de groep   zelf.


Definitie:
Zij   een groep en   een deelgroep van  . Voor een element  , heet de deelverzameling

 

een linkernevenklasse van   en de deelverzameling

 

een rechternevenklasse van  .


De stelling van LagrangeBewerken

Stelling:
Gegeven   een groep en   een deelgroep, dan

  • vormen zowel de linker- als de rechternevenklassen van   een partitie van  
  • bestaat er een bijectie tussen elk tweetal nevenklassen van  
  • geldt voor een eindige   dat   een deler is van  


Als gevolg hebben we dan ook dat de orde van ieder element in   een deler van   moet zijn.

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.