Abstracte algebra/Groepentheorie

Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een groep behandelen. In deze cursus wordt verwacht dat je al enigszins vertrouwd bent met groepentheorie. We geven dus enkel een korte herhaling.

Definitie

Definitie:
Een groep is een verzameling $G$ met een bewerking $\star$ die aan de volgende eigenschappen voldoet:

1. $\star :G\times G\to G:(g_{1},g_{2})\mapsto g_{1}\star g_{2}$ is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
2. $\forall g_{1},g_{2},g_{3}\in G:(g_{1}\star g_{2})\star g_{3}=g_{1}\star (g_{2}\star g_{3})=g_{1}\star g_{2}\star g_{3}$, de bewerking is associatief.
3. $\exists e\in G:\forall g\in G:g\star e=g=e\star g$, er bestaat een neutraal element.
4. $\forall g\in G:\exists h\in G:g\star h=e=h\star g$, ieder element heeft een inverse.
   We noteren de inverse ook als $h=g^{-1}$

We noteren een groep over de verzameling $G$ met de bewerking $\star$ als $(G,\star )$.

Definitie:
Als de bewerking $\star$ commutatief is, d.w.z.

$\forall g,h\in G:g\star h=h\star g$

noemen we de groep een commutatieve, of abelse groep, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:

• Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
  • $(\mathbb {N} ,+)$ is geen groep want het element 3 heeft geen invers in $\mathbb {N}$. ($3+x=0\Rightarrow x=-3\notin \mathbb {N}$)
  • $(\mathbb {Z} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {Z} _{0},\cdot )$ is geen groep: het element 2 heeft geen invers in $\mathbb {Z}$. ($2\cdot x=1\Rightarrow x=1/2\notin \mathbb {Z}$)
  • $(\mathbb {Q} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {Q} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {R} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {R} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {C} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {C} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • Extraatje: de quaternionen van Hamilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:

    $\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

    Met de bewerkingen: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,ik=-j{\text{ en }}kj=-i$

    Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: $(\mathbb {H} ,+)$ en $(\mathbb {H} _{0},\cdot )$

• $(\mathbb {Z} _{2},+)=(\{0,1\},+)$. Waarbij $1+1=0$

  Of in het algemeen: voor alle $n\in \mathbb {N}$ is $(\mathbb {Z} _{n},+)$ een groep.

• Voor elke $n\in \mathbb {N}$ zijn de volgende twee structuren groepen:

  $\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} \right\},+\right)$ met als neutraal element de nulmatrix.

  $\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} _{0}\right\},\cdot \right)$ met als neutraal element de eenheidsmatrix $\mathbb {I} _{n}$.

• Dieëdergroepen. $D_{n}=(\{1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\ldots ,a^{n-1}b\},\circ )$ voor uitleg, kijk naar de engelstalige wikipagina.

• Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: $(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3},\star )$ is een groep met $\star :(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\times (\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\to \mathbb {Z} _{2}\times D_{3}:\left((z_{1},d_{1}),(z_{2},d_{2})\right)\mapsto (z_{1}+z_{2},d_{1}\circ d_{2})$.

Orde van een groep en een element

De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneindig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element $\textstyle g\in G$ is de kleinste macht $\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}$ waarvoor geldt dat $\textstyle g^{k}=e$. Indien er voor geen enkele macht $\textstyle k$ geldt dat $\textstyle g^{k}=e$, dan zegt men dat de orde van $\textstyle g$ oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element. We noteren de orde van een element of een groep $x$ als $|x|$.

Deelgroepen en nevenklassen

Definitie:
Als $\textstyle (G,\star )$ een groep is en $\textstyle H\subset G$ waarvoor geldt dat $\textstyle (H,\star )$ een groep is, noemen we $\textstyle (H,\star )$ een deelgroep van $\textstyle (G,\star )$.

Let wel: de groepsoperatie in de deelgroep $(H,\star )$ is dezelfde als in de groep $(G,\star )$ zelf.

Definitie:
Zij $\textstyle (G,\star )$ een groep en $\textstyle (H,\star )$ een deelgroep van $\textstyle G$. Voor een element $\textstyle g\in G$, heet de deelverzameling

$g\star H=\{g\star h|h\in H\}$

een linkernevenklasse van $\textstyle H$ en de deelverzameling

$H\star g=\{h\star g|h\in H\}$

een rechternevenklasse van $\textstyle H$.

De stelling van Lagrange

Stelling:
Gegeven $\textstyle (G,\star )$ een groep en $\textstyle H$ een deelgroep, dan

• vormen zowel de linker- als de rechternevenklassen van $\textstyle H$ een partitie van $\textstyle G$
• bestaat er een bijectie tussen elk tweetal nevenklassen van $\textstyle H$
• geldt voor een eindige $\textstyle G$ dat $|H|$ een deler is van $|G|$

Als gevolg hebben we dan ook dat de orde van ieder element in $\textstyle G$ een deler van $\textstyle |G|$ moet zijn.