Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen

Definities

bewerken

Definitie:
Een homomorfisme is een afbeelding   van een groep   in een groep   met de eigenschap dat voor alle   geldt:

 ;

d.w,z. de afbeelding is compatibel met de groepsbewerkingen.


Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme   van een groep   op een groep   die bijectief is.

Men zegt dat de groepen   en   isomorf zijn en noteert:

 


De eerste isomorfismestelling voor groepen

bewerken

Stelling:
Laat   en   twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme   bestaat , dan is

 


Bewijs:
Definieer het isomorfisme

 
Is dit goed gedefinieerd?

Neem twee verschillende representanten (  en  ) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een  . Dus dan wordt

 .

Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.

Is   een groepsmorfisme?
 

Dus is   een groepsmorfisme

Is   bijectief?

  is injectief, want neem   met  , dan geldt dat   voor een zekere   en dus is  .

  is surjectief, want zij  , dan is er een  , en dus geldt: .


Geavanceerd voorbeeld

bewerken

Van een groep   is de automorfismengroep de verzameling

 .

Mrn kan eenvoudig controleren dat dit een groep is.

Construeer nu voor elke   de afbeelding   gedefinieerd door.

 .

Aangezien de groep   niet abels hoeft te zijn is dit in het algemeen niet de identieke afbeelding, maar ze lijkt wel sterk daarop. Het zal blijken dat  .

  is een groepsmorfisme

 

  is injectief
Stel dat

 

dus

 

Dan volgt

 

  is surjectief
Laat  , dan geldt voor  :

 


Inderdaad is  ; we noemen   een inwendig automorfisme.

Definieer de afbeelding   door:

 

We vragen ons af of   een groepsmorfisme is, m.a.w. is  ?

 

Wat is de kern van  ?

 
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.