Definitie: Een isomorfisme is een homomorfisme
h
{\displaystyle h}
van een groep
(
G
,
⋆
)
{\displaystyle (G,\star )}
op een groep
(
H
,
⋅
)
{\displaystyle (H,\cdot )}
die bijectief is.
Men zegt dat de groepen
(
G
,
⋆
)
{\displaystyle (G,\star )}
en
(
H
,
⋅
)
{\displaystyle (H,\cdot )}
isomorf zijn en noteert:
(
G
,
⋆
)
≅
(
H
,
⋅
)
{\displaystyle (G,\star )\cong (H,\cdot )}
Stelling:
Laat
(
G
,
⋆
)
{\displaystyle (G,\star )}
en
(
H
,
⋅
)
{\displaystyle (H,\cdot )}
twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme
f
:
(
G
,
⋆
)
→
(
H
,
⋅
)
{\displaystyle f:(G,\star )\to (H,\cdot )}
bestaat , dan is
(
G
/
K
e
r
(
f
)
,
⋆
)
≅
(
f
(
G
)
,
⋅
)
{\displaystyle \left(G/\mathrm {Ker} (f),\star \right)\cong \left(f(G),\cdot \right)}
Bewijs:
Definieer het isomorfisme
f
¯
:
(
G
/
K
e
r
(
f
)
,
⋆
)
→
(
f
(
G
)
,
⋅
)
:
g
⋆
K
e
r
(
f
)
↦
f
(
g
)
{\displaystyle {\overline {f}}:\left(G/\mathrm {Ker} (f),\star \right)\to \left(f(G),\cdot \right):g\star \mathrm {Ker} (f)\mapsto f(g)}
Is dit goed gedefinieerd? Neem twee verschillende representanten (
g
1
{\displaystyle g_{1}}
en
g
2
{\displaystyle g_{2}}
) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een
k
∈
K
e
r
(
f
)
:
g
1
=
g
2
⋆
k
{\displaystyle k\in \mathrm {Ker} (f):g_{1}=g_{2}\star k}
. Dus dan wordt
f
¯
(
g
1
⋆
K
e
r
(
f
)
)
=
f
(
g
1
)
=
f
(
g
2
⋆
k
)
=
f
(
g
2
)
⋅
f
(
k
)
=
f
(
g
2
)
=
f
¯
(
g
2
⋆
K
e
r
(
f
)
)
{\displaystyle {\overline {f}}(g_{1}\star \mathrm {Ker} (f))=f(g_{1})=f(g_{2}\star k)=f(g_{2})\cdot f(k)=f(g_{2})={\overline {f}}(g_{2}\star \mathrm {Ker} (f))}
.Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.
Is
f
¯
{\displaystyle {\overline {f}}}
een groepsmorfisme?
f
¯
(
(
g
1
⋆
K
e
r
(
f
)
)
⋆
(
g
2
⋆
K
e
r
(
f
)
)
)
=
f
¯
(
(
g
1
⋆
g
2
)
⋆
K
e
r
(
f
)
)
=
f
(
g
1
⋆
g
2
)
=
f
(
g
1
)
⋅
f
(
g
2
)
=
f
¯
(
g
1
⋆
K
e
r
(
f
)
)
⋅
f
¯
(
g
2
⋆
K
e
r
(
f
)
)
{\displaystyle {\overline {f}}\left((g_{1}\star \mathrm {Ker} (f))\star (g_{2}\star \mathrm {Ker} (f))\right)={\overline {f}}\left((g_{1}\star g_{2})\star \mathrm {Ker} (f)\right)=f(g_{1}\star g_{2})=f(g_{1})\cdot f(g_{2})={\overline {f}}\left(g_{1}\star \mathrm {Ker} (f)\right)\cdot {\overline {f}}\left(g_{2}\star \mathrm {Ker} (f)\right)}
Dus is
f
¯
{\displaystyle {\overline {f}}}
een groepsmorfisme
Is
f
¯
{\displaystyle {\overline {f}}}
bijectief?
f
¯
{\displaystyle {\overline {f}}}
is injectief, want neem
g
1
,
g
2
∈
G
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}
met
f
(
g
1
)
=
f
(
g
2
)
{\displaystyle f(g_{1})=f(g_{2})}
, dan geldt dat
g
1
=
g
2
⋆
k
{\displaystyle g_{1}=g_{2}\star k}
voor een zekere
k
∈
K
e
r
(
f
)
{\displaystyle k\in \mathrm {Ker} (f)}
en dus is
g
1
⋆
K
e
r
(
f
)
=
g
2
⋆
K
e
r
(
f
)
{\displaystyle g_{1}\star \mathrm {Ker} (f)=g_{2}\star \mathrm {Ker} (f)}
.
f
¯
{\displaystyle {\overline {f}}}
is surjectief, want zij
h
∈
f
(
G
)
{\displaystyle h\in f(G)}
, dan is er een
g
∈
G
:
f
(
g
)
=
h
{\displaystyle g\in G:f(g)=h}
, en dus geldt:
f
¯
(
g
⋆
K
e
r
(
f
)
)
=
h
{\displaystyle {\overline {f}}(g\star \mathrm {Ker} (f))=h}
.
neem de groep
(
G
,
⋆
)
{\displaystyle (G,\star )}
en creëer daaruit de verzameling
A
u
t
(
G
)
=
{
f
:
(
G
,
⋆
)
→
(
G
,
⋆
)
|
f
is een bijectief groepsmorfisme
}
{\displaystyle \mathrm {Aut} (G)=\left\{f:(G,\star )\to (G,\star )|f{\text{ is een bijectief groepsmorfisme}}\right\}}
, dan is
(
A
u
t
(
G
)
,
∘
)
{\displaystyle (\mathrm {Aut} (G),\circ )}
de automorfismengroep van
(
G
,
⋆
)
{\displaystyle (G,\star )}
. We kunnen eenvoudig controleren dat dit een groep is.
Construeer nu
∀
g
∈
G
{\displaystyle \forall g\in G}
de afbeelding
I
g
:
G
→
G
:
x
↦
g
⋆
x
⋆
g
−
1
{\displaystyle I_{g}:G\to G:x\mapsto g\star x\star g_{-1}}
Aangezien de groep
(
G
,
⋆
)
{\displaystyle (G,\star )}
niet abels hoeft te zijn is dit zeker niet de identieke afbeelding maar ze lijkt wel sterk op de identieke. We controleren eerst als
I
g
∈
A
u
t
(
G
)
{\displaystyle I_{g}\in \mathrm {Aut} (G)}
.
Is
I
g
{\displaystyle I_{g}}
een groepsmorfisme?
I
g
(
x
⋆
y
)
=
g
⋆
x
⋆
y
⋆
g
−
1
=
g
⋆
x
⋆
g
−
1
⋆
g
⋆
y
⋆
g
−
1
=
I
g
(
x
)
⋆
I
g
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{g}(x\star y)&=g\star x\star y\star g^{-1}\\&=g\star x\star g^{-1}\star g\star y\star g^{-1}\\&=I_{g}(x)\star I_{g}(y)\end{aligned}}}
Is
I
g
{\displaystyle I_{g}}
injectief?
I
g
(
x
)
=
I
g
(
y
)
⇒
g
⋆
x
⋆
g
−
1
=
g
⋆
y
⋆
g
−
1
⇒
x
=
y
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{g}(x)&=I_{g}(y)\\\Rightarrow g\star x\star g^{-1}&=g\star y\star g^{-1}\\\Rightarrow x&=y\end{aligned}}}
Is
I
g
{\displaystyle I_{g}}
surjectief?
We vragen ons af als
∀
z
∈
G
:
∃
x
∈
G
:
I
g
(
x
)
=
z
{\displaystyle \forall z\in G:\exists x\in G:I_{g}(x)=z}
.
g
⋆
x
⋆
g
−
1
=
z
⇔
x
=
g
−
1
⋆
z
⋆
g
{\displaystyle {\begin{aligned}g\star x\star g^{-1}&=z\\\Leftrightarrow x&=g^{-1}\star z\star g\end{aligned}}}
We hebben dus dat
I
g
∈
A
u
t
(
G
)
{\displaystyle I_{g}\in \mathrm {Aut} (G)}
, we noemen
I
g
{\displaystyle I_{g}}
een inwendig automorfisme.
Nu we weten dat
I
g
∈
A
u
t
(
G
)
{\displaystyle I_{g}\in \mathrm {Aut} (G)}
kunnen we een afbeelding definiëren
I
:
(
G
,
⋆
)
→
(
A
u
t
(
G
)
,
∘
)
:
g
↦
I
g
{\displaystyle {\begin{aligned}I&:(G,\star )\to (\mathrm {Aut} (G),\circ )\\&:g\mapsto I_{g}\end{aligned}}}
We vragen ons af als
I
{\displaystyle I}
een groepsmorfisme is, m.a.w. is
I
g
1
⋆
g
2
=
I
g
1
∘
I
g
2
{\displaystyle I_{g_{1}\star g_{2}}=I_{g_{1}}\circ I_{g_{2}}}
?
∀
x
∈
G
:
I
g
1
⋆
g
2
=
g
1
⋆
g
2
⋆
x
⋆
(
g
1
⋆
g
2
)
−
1
=
g
1
⋆
g
2
⋆
x
⋆
g
2
−
1
⋆
g
1
−
1
=
I
g
1
(
g
2
⋆
x
⋆
g
2
−
1
)
=
I
g
1
∘
I
g
2
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in G:I_{g_{1}\star g_{2}}&=g_{1}\star g_{2}\star x\star (g_{1}\star g_{2})^{-1}\\&=g_{1}\star g_{2}\star x\star g_{2}^{-1}\star g_{1}^{-1}\\&=I_{g_{1}}(g_{2}\star x\star g_{2}^{-1})\\&=I_{g_{1}}\circ I_{g_{2}}(x)\end{aligned}}}
Als we de kern van
I
{\displaystyle I}
berekenen, dan krijgen we het volgende:
K
e
r
(
I
)
=
{
g
∈
G
|
I
g
=
I
d
}
=
{
g
∈
G
|
∀
x
∈
G
:
g
⋆
x
⋆
g
−
1
=
x
}
=
{
g
∈
G
|
∀
x
∈
G
:
x
⋆
g
=
g
⋆
x
}
=
Het centrum van
G
=
Z
(
G
)
◃
G
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ker} (I)&=\{g\in G|I_{g}=I_{d}\}\\&=\{g\in G|\forall x\in G:g\star x\star g^{-1}=x\}\\&=\{g\in G|\forall x\in G:x\star g=g\star x\}\\&={\text{Het centrum van }}G=Z(G)\triangleleft G\end{aligned}}}