Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen

DefinitiesBewerken

Definitie:
Een homomorfisme is een afbeelding   van een groep   in een groep   die voldoet aan de eigenschap:

 , de afbeelding is compatibel met de groepsbewerkingen.


Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme   van een groep   op een groep   die bijectief is.

Men zegt dat de groepen   en   isomorf zijn en noteert:

 


De eerste isomorfismestelling voor groepenBewerken

Stelling:
Laat   en   twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme   bestaat , dan is

 


Bewijs:
Definieer het isomorfisme

 
Is dit goed gedefinieerd?

Neem twee verschillende representanten (  en  ) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een  . Dus dan wordt

 .

Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.

Is   een groepsmorfisme?
 

Dus is   een groepsmorfisme

Is   bijectief?

  is injectief, want neem   met  , dan geldt dat   voor een zekere   en dus is  .

  is surjectief, want zij  , dan is er een  , en dus geldt: .


Geavanceerd voorbeeldBewerken

neem de groep   en creëer daaruit de verzameling  , dan is   de automorfismengroep van  . We kunnen eenvoudig controleren dat dit een groep is.

Construeer nu   de afbeelding

 

Aangezien de groep   niet abels hoeft te zijn is dit zeker niet de identieke afbeelding maar ze lijkt wel sterk op de identieke. We controleren eerst als  .

Is   een groepsmorfisme?

 

Is   injectief?

 

Is   surjectief?

We vragen ons af als  .
 

We hebben dus dat  , we noemen   een inwendig automorfisme.

Nu we weten dat   kunnen we een afbeelding definiëren

 

We vragen ons af als   een groepsmorfisme is, m.a.w. is  ?

 

Als we de kern van   berekenen, dan krijgen we het volgende:

 
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.