Abstracte algebra/Normale deelgroepen en quotiëntgroepen

ProbleemBewerken

Stel dat we een groep   hebben en een deelgroep  , we kunnen dan de verzameling van de (linker) nevenklassen van   bekijken, we noteren dit  . We geven een voorbeeld:


Neem  , dan vinden we de volgende verschillende verzamelingen:


 


Stel nu dat we op deze verzamelingen een nieuwe bewerking kunnen definiëren zodat we de verzamelingen als groepen kunnen zien. We moeten dus een bewerking   vinden. Het ligt voor de hand dat we de bewerking   willen gebruiken. Als we dit willen definiëren, dan moeten we zorgen dat het goed gedefinieerd is. De bewerking   gebeurt namelijk tussen twee nevenklassen maar het uitwerken van die bewerking doe je met twee representanten van die nevenklassen, zou het niet kunnen zijn dat we een ander resultaat bekomen als we andere representanten nemen? We kijken naar een voorbeeld:


Neem het voorbeeld van hierboven met   en doe de volgende berekeningen:


 


We zien dus dat, hoewel   en   gelijk zijn, hun product niet gelijk is. We kunnen dus niet zomaar definiëren wat we willen definiëren. De volgende vraag die we ons dan stellen is: Wanneer is de bewerking   onafhankelijk van de representant?


Wat moet gelden om een goede definitie te krijgen? Stel dat   (dus is  ) en   (dus is  ), dan moet


 


We zouden met andere woorden graag hebben dat

 

Als   abels is, dan geldt dit zeker want dan is

 

en dus is  .


We zien echter dat commutativiteit niet nodig is, het is voldoende als we   kunnen schrijven als   voor een zekere   want dan is

 

en hebben we onze   gevonden.


Nog een andere manier van schrijven: het is voldoende dat  

Normale deelgroepBewerken

Definitie:
Een deelgroep   van een groep   noemt men een normale deelgroep

 

  of dus dat alle rechternevenklassen gelijk zijn aan de linkernevenklassen. We noteren dit met  


Stelling:

 



Bewijs:
Stel dat  , dan is   door de definitie. Dus is   waaruit meteen het te bewijzen volgt.

Nu moeten we nog de andere richting bewijzen: we moeten bewijzen dat

 

Neem een element  , we weten dat

 

Dus is  . Analoog kan je bewijzen dat   en dus dat  


QuotiëntgroepBewerken

Stelling:
Neem   een groep en  , dan geldt:

  1.   is een groep met
     
     
  2. Als   commutatief is, dan is ook   commutatief.

Terminologie:   noemen we de quotiëntgroep van   modulo  


Bewijs:
We bewijzen enkele eigenschappen van een groep. We weten uit de voorgaande studie dat   goed gedefinieerd is.

  • Is de bewerking associatief?
     
  • Is er een neutraal element?
     
    Het element   is dus het neutraal element.
  • Bestaat er altijd een invers element?
     
    Dus is  


VoorbeeldenBewerken

  • Als   abels is, dan is iedere deelgroep een normaaldeler. We nemen bijvoorbeeld als groep  , dan is de deelgroep
 

een normaaldeler. De quotientgroep is dan

 

We zien dat   en dus hebben we in feite niets nieuws gevonden.


  •   want
 

We hebben dan de quotientgroep

 

We weten dat er slechts twee groepen van orde vier bestaan:   en  . Dan moet de gevonden groep dus een van die twee zijn. We zien inderdaad als we

 

stellen, dan zijn de groepen perfect isomorf. Dit is eenvoudig met de cayleytabel na te gaan.

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.