Analyse/Differentiatie toepassingen

Nota bene: Aan dit artikel wordt momenteel nog hard gewerkt.

Extreme Waarden

De functie x³-3x²+2 (blauw) en haar eerste afgeleide (rood).

In de afbeelding hiernaast is weergegeven:

• De functie $f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$ (blauw).
• Haar eerste afgeleide: $f'(x)=3x^{2}-6x$ (rood).

In de blauwe grafiek zijn twee extreme waarden (ook: toppen) te zien: een maximum aan de linkerkant en een minimum aan de rechterkant. De x-waarden van deze extremen zijn te bepalen met behulp van de eerste afgeleide, door deze afgeleide gelijk te stellen aan 0:

${\begin{aligned}f'(x)&=0{\textrm {\quad dus}}\\3x^{2}-6x&=0\end{aligned}}$

Deze vergelijking is met behulp van de wortelformule op te lossen voor x:

${\begin{aligned}3x^{2}-6x&=0\\x&={\frac {-(-6)\pm {\sqrt {(-6)^{2}-4\cdot 3\cdot 0}}}{2\cdot 3}}={\frac {6\pm 6}{6}}\\x&={\frac {0}{6}}=0\lor x={\frac {12}{6}}=2\end{aligned}}$

De x-coördinaten van de toppen van de grafiek zijn dus 0 en 2. Door deze waarden in te vullen in f is het mogelijk de exacte coördinaten van de toppen van de grafiek te bepalen. Deze zijn: (0,2) en (2,-2).

Een Raakpunt Bepalen

De grafieken van de formules $f(x)$ en $g(x)$ raken elkaar in een punt als geldt:

$f(x)=g(x)\wedge f'(x)=g'(x)$

Toepassing van het Raakpunt (I)

Gegeven is de functie $f(x)=x-\ln(x)$. Bepaal alle $a$, waarvoor geldt dat $f(x)=ax-1$ geen oplossingen heeft.

Wanneer je de grafiek van $f$ bekijkt, blijkt dat er een waarde van a bestaat, zodat de vergelijking juist één oplossing heeft. Dit is het punt waarin de grafiek van $f$ juist raakt aan de lijn $ax-1$. Er valt op, dat voor kleinere $a$, dus een minder steile lijn, de vergelijking geen oplossing heeft, terwijl voor grotere a de vergelijking altijd tenminste één oplossing heeft.

We kunnen de x-coördinaat van het snijpunt berekenen door gebruik te maken van bovenstaande regel:

$f(x)=ax-1\wedge f'(x)={\frac {d(ax-1)}{dx}}$

Dit levert het volgende stelsel van vergelijkingen:

${\begin{cases}x-\ln(x)=ax-1\\1-{\frac {1}{x}}=a\end{cases}}$

Oplossen van dit stelsel levert $x=e^{2}$.

In dit punt geldt dat $f'(x)=a$, dus $a=f'(e^{2})=1-{\frac {1}{e^{2}}}$.

De vergelijking $f(x)=ax-1$ heeft dus geen oplossingen voor $a\in \{r|r<1-{\frac {1}{e}}\}$.