Analyse/Differentiatie toepassingen

Nota bene: Aan dit artikel wordt momenteel nog hard gewerkt.

Extreme WaardenBewerken

 
De functie x3-3x2+2 (blauw) en haar eerste afgeleide (rood).

In de afbeelding hiernaast is weergegeven:

  • De functie   (blauw).
  • Haar eerste afgeleide:   (rood).

In de blauwe grafiek zijn twee extreme waarden (ook: toppen) te zien: een maximum aan de linkerkant en een minimum aan de rechterkant. De x-waarden van deze extremen zijn te bepalen met behulp van de eerste afgeleide, door deze afgeleide gelijk te stellen aan 0:

 

Deze vergelijking is met behulp van de wortelformule op te lossen voor x:

 

De x-coördinaten van de toppen van de grafiek zijn dus 0 en 2. Door deze waarden in te vullen in f is het mogelijk de exacte coördinaten van de toppen van de grafiek te bepalen. Deze zijn: (0,2) en (2,-2).

Een Raakpunt BepalenBewerken

De grafieken van de formules   en   raken elkaar in een punt als geldt:

 

Toepassing van het Raakpunt (I)Bewerken

Gegeven is de functie  . Bepaal alle  , waarvoor geldt dat   geen oplossingen heeft.

Wanneer je de grafiek van   bekijkt, blijkt dat er een waarde van a bestaat, zodat de vergelijking juist één oplossing heeft. Dit is het punt waarin de grafiek van   juist raakt aan de lijn  . Er valt op, dat voor kleinere  , dus een minder steile lijn, de vergelijking geen oplossing heeft, terwijl voor grotere a de vergelijking altijd tenminste één oplossing heeft.

We kunnen de x-coördinaat van het snijpunt berekenen door gebruik te maken van bovenstaande regel:

 

Dit levert het volgende stelsel van vergelijkingen:

 

Oplossen van dit stelsel levert  .

In dit punt geldt dat  , dus  .

De vergelijking   heeft dus geen oplossingen voor  .

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.