Analyse/Fourierreeks

Een Fourierreeks (spreek uit foerjee-reeks) is een (eventueel oneindige) lineaire combinatie van 'standaardfuncties' die een benadering vormt van een willekeurige periodieke functie, mits deze aan bepaalde voorwaarden voldoet. Voor het bestaan van de fourierreeks is het voldoende als de periodieke functie begrensd is. De gebruikte standaardfuncties zijn sinus en sinus- en cosinusfuncties, dan wel de complexe e-macht. De coëfficiënten worden bepaald met Fourieranalyse, een techniek ontwikkeld door Jean-Baptiste Joseph Fourier.

Geschiedenis

Voor Fourier was de reeks

${\frac {x}{2}}=\sin(x)-\sin(2x)/2+\sin(3x)/3-\sin(4x)/4+...$

reeds bekend. Het is een goniometrische reeks, een som van goniometrische functies $\cos(nx)$ en $\sin(nx)$ die reeds gevonden was door Euler, die er niet bij vermeldde hoe hij eraan kwam, noch dat de reeks enkel geldt als $-\pi <x<\pi$.

Fourier zag in dat deze functie niet op zichzelf stond; hij vermoedde dat iedere functie kon geschreven worden als een som van sinussen en cosinussen, met bepaalde coëfficiënten, te zijner ere fourier-coëfficiënten genaamd.

Aanvankelijk stonden Fourier's tijdsgenoten (O.a. Joseph-Louis Lagrange) er weigerachtig tegenover. Het bezwaar was dat niet iedere periodieke functie als Fourier reeks geschreven kan worden. Een voorbeeld is de tangensfunctie, perfect periodiek maar niet als Fourier-reeks te schrijven. Het was de wiskundige en tijdgenoot Dirichlet die een aantal aanvullende voorwaarden heeft opgesteld waaraan de functie moet voldoen. Deze voorwaarden zijn:

1. De functie f(x) moet eindig zijn.
2. Het aantal discontinuïteiten van f(x) moet eindig zijn.
3. De afgeleide van f(x) mag op een eindig aantal punten discontinu zijn.

Theorie

De vraag is of er een systematische manier is om een periodieke functie f (voor het gemak is als periode 2π gekozen) te benaderen door een goniometrische reeks, d.w.z door een reeks van de vorm:

$\,h(x)=a_{0}+a_{1}\cos(x)+b_{1}\sin(x)+a_{2}\cos(2x)+b_{2}\sin(2x)+...$.

De coëfficiënten dienen zo bepaald te worden dat de afstand tussen f en de reeks h zo klein mogelijk is, waarbij de afstand gegeven is door de norm:

$||f-h||={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(f(x)-h(x))^{2}dx}}$.

Men kan het zich gemakkelijker maken door te bedenken dat deze norm geïnduceerd wordt door het inproduct:

$\langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)g(x)dx$.

Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks h gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.

Orthogonale projectie

Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:

$a_{0}=\,\langle f,1\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)dx$

en voor n>1:

$a_{n}={\frac {\langle f,\cos(nx)\rangle }{\langle \cos(nx),\cos(nx)\rangle }}=2\langle f,\cos(nx)\rangle \,=$

${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)dx$

en analoog:

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)dx$

Men kan nu bewijzen dat een willekeurige functie f benaderd kan worden door:

$\!f(x)\approx a_{0}+$

$\!+b_{1}\sin(x)+b_{2}\sin(2x)+b_{3}\sin(3x)+...$

$\!+a_{1}\cos(x)+a_{2}\cos(2x)+a_{3}\cos(3x)+...$,

$=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$

Wiskundige achtergrond

We kunnen ook een meetkundige voorstelling maken, en de fourierreeks opvatten als de beste benadering van de functie f in de deelruimte voortgebracht door de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat). Die beste benadering is dan de projectie van de functie op die deelruimte. Die projectie is een lineaire combinatie van de voortbrengende functies. Vormen deze t.o.v. een inproduct een orthonormaal stelsel, dan zijn de coëfficiënten eenvoudig de inproducten van f met de elementen van het orthonormale stelsel. Als het stelsel niet genormeerd is, moeten de coëfficiënten nog geschaald worden.

Inwendig product

Zoals boven opgemerkt zijn de relevante cosinussen en sinussen orthogonaal t.o.v. het inproduct voor complexwaardige functies:

$\langle f,g\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{T}f(t){\overline {g(t)}}dt$,

waarin T de betrokken periode is.

Orthonormale functies

In plaats van sinussen en cosinussen kunnen ook de complexe e-machten $\,\phi _{k}(t)=e^{ik\omega t}$, met $\omega =2\pi /T$, als orthogonaal stelsel gekozen worden. Dit stelsel is zelfs orthonormaal, want:

$\langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{T}e^{im\omega t}e^{-in\omega t}dt=\delta _{mn}$.

Hierbij is $\delta _{mn}$ de Kronecker delta.

Coëfficiënten

Een functie f wordt nu benaderd door de reeks:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\phi _{k}$.

De coëfficiënten $c_{k}$ zijn bepaald door:

$c_{k}=\langle f,\phi _{k}\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{T}f(t)e^{-ik\omega t}dt$.

Opmerkingen

Convergentie

Onder bepaalde voorwaarden geldt dat:

$\lim _{N\rightarrow \infty }\int _{-\pi }^{\pi }\left|f(t)-\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\,e^{in\omega t}\right|^{2}\,dt=0$

We spreken van convergentie in norm. Dit hoeft overigens niet te betekenen dat er ook puntsgewijze convergentie is!

Gedrag coëfficiënten

Men kan bewijzen dat voor een continue functie de fouriercoëfficiënten dalen met k volgens ${\frac {1}{k^{3}}}$; voor continu differentieerbare functies dalen de coëfficiënten volgens ${\frac {1}{k^{4}}}$. Voor niet-continue functies, zoals de hierboven genoemde "zaagtandfunctie" f(x)=x/2 (voor |x|< π) , dalen de coëfficiënten volgens ${\frac {1}{k}}$.

Gibbs-verschijnsel

Afbeelding:Gibbs verschijnsel.png|thumb|200px|Gibbs verschijnsel: boven- en ondersprong Zowel de cosinus, de sinus als $e^{\imath k\omega _{0}x}$ zijn continue funcies, zodat de benadering een continue functies is. Dus is ook de benadering van een discontinue functie een continue functie. In een discontinuïteitspunt van een functie met een sprong, maakt de fourierreeks noodzakelijk een boven- en ondersprong (zie afbeelding). Dit wordt Gibbs-verschijnsel genoemd.

Eigenschappen

De volgende eigenschappen voor de bepaling van de fourierreeks kunnen eenvoudig (door de definitie) bewezen worden. We geven de eigenschappen enkel voor c_k.

Verband coëfficiënten a_k, b_k en c_k

Voor de eenvoud veronderstellen we een reële functie, dan is het verband gegeven door:

$\!a_{0}=2c_{0}$

$\!a_{n}=c_{n}+c_{-n}$

$\!b_{n}=\mathrm {i} (c_{n}-c_{-n})$

Parseval

De relatie tussen een functie met periode T en zijn fouriercoëfficiënten is normbehoudend, wat uitgedrukt wordt in de stelling van Parseval:

${\frac {1}{T}}\int _{T}|f(x)|^{2}dx=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|c_{k}|^{2}$.

Practisch betekent dit dat het vermogen van een signaal f, verdeeld is over z'n spectrale componenten.

Verschuiving, lineariteit

Noemen we c_k de coëfficiënten van de functie x(t), en d_k die van een functie y(t), dan geldt:

lineariteit

Als y(t)=a.x(t), dan is d_k=c.d_k

Verschuiving

Als y(t)=x(t-τ), dan is d_k=c_k $e^{\imath k{\frac {2\pi }{T}}\tau }$

Tijdomkering

Is y(t)=x(-t), dan is d_k=c_-k

Voorbeelden

Driehoekspuls

Goede benadering met 6 termen

Deze even functie laat zich door cosinustermen benaderen:

$f(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\left[{\cos {\omega x}+{\frac {1}{3^{2}}}\cos {3\omega x}+{\frac {1}{5^{2}}}\cos {5\omega x}+\ldots }\right]$

Deze driehoekspuls is continu, de coëfficiënten dalen derhalve vrij sterk, de benadering is reeds na een klein aantal termen goed.

Zaagtandpuls

Belabberde benadering met 11 termen

Deze oneven functie laat zich volledig door sinustermen benaderen:

$f(x)=-{\frac {2}{\pi }}\left[{\sin {\omega x}+{\frac {1}{2}}\sin {2\omega x}+{\frac {1}{3}}\sin {3\omega x}+\ldots }\right]$

Deze zaagtandpuls is niet continu, de coëfficiënten dalen derhalve niet sterk, de benadering is na een vrij groot aantal termen toch nog belabberd.

Bronvermelding

Deze tekst werd overgenomen uit de Nederlandse Wikipedia, zie w:Fourierreeks. De belangrijkste auteurs waren Gebruikers MADe en Nijdam.