Analyse/Inleiding in Integratie

Nota bene: aan dit artikel wordt nog hard gewerkt.

Riemann-sommenBewerken

 
  op het interval   onderverdeeld in 5 rechthoeken.

Om de oppervlakte onder de grafiek van een continue functie f(x) op het interval [a,b] te benaderen, verdelen we het interval in n stukjes met breedte   en bepalen de oppervlakte van de rechthoeken boven deze stukjes, waarvan de "middens juist op de grafiek vallen". De hoogte van de k-de rechthoek wordt dan gegeven door  , zodat de oppervlakte van deze rechthoek gelijk is aan:

 

De oppervlakte O onder de grafiek wordt dan benaderd door:

 

Het spreekt voor zich dat een grotere n, en dus een kleinere   een nauwkeurigere benadering oplevert.

VoorbeeldBewerken

We willen de oppervlakte tussen de grafiek van   en de x-as benaderen op het interval (0,3). We kiezen  , dus  . De hoogte van de k-de rechthoek is dan

 

De benadering voor de oppervlakte wordt dan:

 

Vergelijk dit met de werkelijke waarde 9.

Wanneer we de figuur in 300 rechthoekjes, dus met  , krijgen we een betere benadering, namelijk  

IntegralenBewerken

In het voorbeeld hebben we gezien dat we een betere benadering verkrijgen naarmate we   dichter bij 0 kiezen. Nemen we de limiet voor   naar 0, dan spreken we over een integraal:

 

Deze integraal spreken we uit als: 'De integraal van a naar b over f(x) dx'.

Hoofdstelling van de IntegraalrekeningBewerken

De hoofdstelling van de integraalrekening geeft een verband tussen de primitieven van een functie en de integraal:

Zij   continu en  , dan geldt:

 

Dit verband wordt ook wel geschreven als:

 


HistorieBewerken

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.