Nota bene: aan dit artikel wordt nog hard gewerkt.
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
[
0
,
3
]
{\displaystyle [0,3]}
Om de oppervlakte onder de grafiek van een continue functie f(x) op het interval [a,b] te benaderen, verdelen we het interval in n stukjes met breedte
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
k -de rechthoek wordt dan gegeven door
f
(
1
2
Δ
x
+
(
k
−
1
)
Δ
x
)
{\displaystyle f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)}
O
k
=
f
(
1
2
Δ
x
+
(
k
−
1
)
Δ
x
)
⋅
Δ
x
.
{\displaystyle O_{k}=f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\cdot \Delta x.}
De oppervlakte O onder de grafiek wordt dan benaderd door:
O
≈
∑
k
=
1
n
O
k
=
∑
k
=
1
n
f
(
1
2
Δ
x
+
(
k
−
1
)
Δ
x
)
⋅
Δ
x
{\displaystyle O\approx \sum _{k=1}^{n}O_{k}=\sum _{k=1}^{n}f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\cdot \Delta x}
Het spreekt voor zich dat een grotere n , en dus een kleinere
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
We willen de oppervlakte tussen de grafiek van
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
n
=
30
{\displaystyle n=30}
Δ
x
=
1
10
{\displaystyle \Delta x={\tfrac {1}{10}}}
k -de rechthoek is dan
f
(
1
2
Δ
x
+
(
k
−
1
)
Δ
x
)
=
f
(
1
2
1
10
+
(
k
−
1
)
1
10
)
=
(
1
20
+
(
k
−
1
)
1
10
)
2
.
{\displaystyle f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)=f({\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{10}}+(k-1){\tfrac {1}{10}})=({\tfrac {1}{20}}+(k-1){\tfrac {1}{10}})^{2}.}
De benadering voor de oppervlakte wordt dan:
O
≈
∑
k
=
1
30
f
(
1
2
Δ
x
+
(
k
−
1
)
Δ
x
)
Δ
x
=
∑
k
=
1
30
(
1
20
+
(
k
−
1
)
1
10
)
2
1
10
=
8,997
5.
{\displaystyle O\approx \sum _{k=1}^{30}f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\Delta x=\sum _{k=1}^{30}({\tfrac {1}{20}}+(k-1){\tfrac {1}{10}})^{2}{\tfrac {1}{10}}=8{,}9975.}
Vergelijk dit met de werkelijke waarde 9.
Wanneer we de figuur in 300 rechthoekjes, dus met
Δ
x
=
1
100
{\displaystyle \Delta x={\tfrac {1}{100}}}
O
≈
8,999
975.
{\displaystyle O\approx 8{,}999975.}
In het voorbeeld hebben we gezien dat we een betere benadering verkrijgen naarmate we
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
integraal :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
k
=
0
n
−
1
f
(
x
k
)
⋅
Δ
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=\lim _{\Delta x\to 0}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\cdot \Delta x}
Deze integraal spreken we uit als: 'De integraal van a naar b over f(x) dx' .
Hoofdstelling van de Integraalrekening
bewerken
De hoofdstelling van de integraalrekening geeft een verband tussen de primitieven van een functie en de integraal:
Zij
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
F
′
=
f
{\displaystyle F'=f\,\!}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
[
F
(
x
)
]
a
b
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}
Dit verband wordt ook wel geschreven als:
f
(
b
)
=
f
(
a
)
+
∫
a
b
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle f(b)=f(a)+\int _{a}^{b}f'(x)\,{\textrm {d}}x}
![{\displaystyle [0,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c9e70f7d437509d4ebedb0eaf7ada946e91a79)
![{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4932ba702175b9e0bc40b79efbc051c7ff44949)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36041fee06deda82126631f9efd3b57736125bec)
