Analyse/Limieten

Nota Bene! Aan dit hoofdstuk wordt nu actief gewerkt. Wat u hier nu vindt, is dan ook onaf, onbetrouwbaar, incompleet, etc.

Inleiding

Ergens rond het jaar 460 v. Chr. vertelde de Griekse filosoof Zeno van Elea voor het eerst het verhaal van de hardloopwedstrijd tussen de lichtvoetige held Achilles en de sluwe schildpad. Het verhaal gaat ongeveer zo:

Op een mooie lentemiddag kwam de sluwe schildpad op bezoek bij zijn goede vriend, de held Achilles. Hij was gekomen om hem uit te dagen tot een vriendschappelijke hardloopwedstrijd. De schildpad beweerde dat hij zeker zou winnen, als Achilles hem maar een kleine voorsprong zou geven. Hier moest Achilles nogal vrolijk om lachen, want hijzelf was befaamd om zijn snelheid, terwijl de schildpad als loom en traag bekend stond.

"Ach vriend", zei Achilles, "zo'n wedstrijd zou je zeker verliezen, maar als ik jou een plezier ermee doe, zal ik wel met je racen."

"Je vergist je", zei de schildpad, "Ik zal de wedstrijd winnen, en ik zal je precies uitleggen waarom."

Hierop begon Achilles zich ongemakkelijk te voelen, want hoewel hij een groot atleet was (en dat wist hij maar al te goed), had de schildpad hem al herhaaldelijk verslagen in moeilijke debatten. Qua slimheid moest hij in de schildpad dan ook zijn meerdere erkennen.

"Welnu", zei de schildpad, "we hebben al afgesproken dat ik een kleine voorsprong krijg, van laten we zeggen tien meter. Jij zou die kleine afstand in een heel korte tijd kunnen afleggen. Hoever denk je dat ik in dezelfde tijd zou kunnen rennen?"

Achilles dacht zorgvuldig na, en antwoordde vol vertrouwen: "Niet meer dan een meter".

"En dat betekent dat jij dan ook nog die ene meter moet afleggen." Achilles knikte instemmend. "En in de tussentijd ben ik ook weer wat verder gelopen." Achilles knikt wat onzeker. "In feite, hoe dicht jij me ook nadert, ik zal je altijd iets voorblijven."

Treurig liet Achilles zijn hoofd zakken. "Vriend schildpad, je hebt gelijk. Je beschrijft precies wat er zou gebeuren en ik kan er geen speld tussen krijgen. Waarom zouden we nog de moeite doen om de wedstrijd te houden. Jij bent de winnaar."

Het probleem waarvoor Achilles zich zag gesteld, en dat bekend is geworden als de Paradox van Zeno, is dat hij geen goede manier had om te beschrijven wat er zou gebeuren in de wedstrijd, en daarom de redenatie van de schildpad geloofde. De paradox in de redenatie is natuurlijk dat de ervaring leert dat een snelle renner wel degelijk een langzame schildpad zal inhalen. Sommige filosofen, zoals ook Zeno zelf, hadden zo'n groot probleem met de paradox dat ze zelfs begonnen te geloven dat beweging niet meer dan een illusie kon zijn.

Het heeft honderden jaren geduurd voordat de paradox werd opgelost. Niet voor de ontdekking van de wiskundige limiet en de wiskundige analyse, waarvan deze een basiselement vormt, slaagde men daarin.

Introductie van limiet

In de wiskunde worden limieten onder meer gebruikt om het grensgedrag van functies te beschrijven in punten waar zij niet gedefinieerd zijn of waar zij een discontinuïteit vertonen. Hoewel bij de meeste functies duidelijk is wat ze op dat gebied doen, zijn er ook vele functies waarbij het niet inzichtelijk is wat er in bepaalde omstandigheden mee gebeurt.

Als voorbeeld om dit te verduidelijken gebruiken we een van Zeno's andere paradoxen, de paradox van de pijl: Een pijl die afgeschoten wordt legt een baan af door de lucht van het begin (de boogschutter) tot het eind (het doel). Eerst legt de pijl de helft van de afstand af. Dan legt hij de helft af van de overgebleven afstand, dus een kwart. Dan legt hij weer de helft af van de overgebleven afstand, nu een achtste. Er zijn oneindig veel helften, steeds kleiner en kleiner, die de pijl moet afleggen. Aangezien er oneindig veel, steeds kleiner wordende, afstanden zijn die de pijl moet overbruggen, moet de pijl een oneindige afstand afleggen, en kan hij met zijn beperkte snelheid nooit het doel bereiken.

Deze redenatie heeft een probleem. Niet alleen zal de pijl in werkelijkheid zijn doel vrij snel bereiken, maar je kan ook een meetlint leggen langs de afgelegde weg en duidelijk zien dat deze niet oneindig groot is. De vraag die dus gesteld wordt luidt: Hoe kan het dat de optelling (of sommatie) van oneindig veel afstanden een eindig getal oplevert? Of specifieker: Wat is de afstand die de pijl aflegt?

fig.1 De afstand die Zeno's pijl aflegt bij iedere nieuwe halvering.

Dit vraagstuk kunnen we omschrijven met de volgende functie:

$f(n)=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}$

Deze functie stelt de partiële som voor van de reeks

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\ldots +$

Als we de notatie $\lim _{n\to \infty }$ gebruiken om aan te geven dat de waarde van n onbegrensd toeneemt, vinden we dat de totaal afgelegde afstand A gelijk is aan

$A=\lim _{n\to \infty }f(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}$

In de grafiek van figuur 1 is de grootte van de stappen weergegeven voor een toenemend aantal halveringen. Als je deze bekijkt zal je niet snel veel wijzer worden dan dat je al was. Hoewel het duidelijk is dat de hoogte van iedere stap snel afneemt, geeft je dat nog geen oplossing van het vraagstuk hoe groot de totale afstand (en dus de waarde van A) is.

fig.2 De som van de oneindige reeks

Laten we het echter anders bekijken. Teken voor jezelf een vierkant; Trek nu midden door het vierkant een rechte streep, zodat je het vierkant in twee gelijke helften deelt. Trek midden door een van de resulterende rechthoeken een lijn zodat hij wordt verdeeld in twee kleine vierkanten. Halveer een van deze vierkanten weer. Je kan oneindig lang doorgaan met het verder halveren van de nieuw ontstane helften, en de oppervlakte van iedere nde nieuwe helft komt precies overeen met de stap $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$. Zoals je kan zien in figuur 2 is de totale oppervlakte echter gelijk gebleven: De oppervlakte van het originele vierkant. Het antwoord op ons vraagstuk: Welke afstand legt een pijl af die een pad moet overbruggen dat uit oneindig veel helften bestaat is dan ook, zoals je zou verwachten, de hele afstand.

$A=\lim _{n\to \infty }f(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}=1$

De limiet van een functie in een bepaald punt geeft aan tot welke waarde de functie nadert naarmate we dichter bij dat punt komen. Limieten worden over het algemeen gebruikt om te bekijken wat er met functies gebeurt in vreemde punten, zoals in oneindig of waar de functie niet gedefinieerd is, bijvoorbeeld bij delen door nul. In de rest van dit hoofdstuk zullen we het begrip limiet verder uitwerken en dit gebruiken om het gedrag van functies te bestuderen.

Definitie limiet

Laten we nog eens kijken naar de functie

$f(x)={\frac {x^{2}(x-2)}{x-2}}$

We willen weten wat er gebeurt in het punt x = 2, maar hoe kunnen we dat doen als de functie in dat punt niet gedefinieerd is? Bij eerste benadering zouden we kunnen kijken wat rondom dat punt gebeurt met de functie. Als we bijvoorbeeld kijken in de punten x = 1,99 en x = 2,01 zien we dat de waarden van de functie erg dicht bij 4 liggen. Dat maakt het echter nog niet zeker dat bij het naderen van het punt 2 de functie de waarde 4 nadert. Het zou kunnen dat als je nog dichter in de buurt van 2 komt, er ineens iets geks gebeurt, dat tegen de verwachtingen ingaat.

We zouden natuurlijk nog dichter bij het punt x = 2 kunnen kijken, maar dat lost het fundamentele probleem niet op, dat er altijd nog wat vreemds kan gebeuren als je nog weer dichter bij 2 in de buurt gaat kijken. De oplossing voor dit probleem is om willekeurig dicht in de buurt van het probleempunt te kijken. Daarvoor gebruiken we limieten. Echter, voordat we deze kunnen gebruiken, moeten we wel weten wat een limiet eigenlijk is.

Definitie: (formele definitie van limiet van een functie) Stel $f:D\to \mathbb {R}$ is een reële functie gedefinieerd op D. We zeggen dat $f$ in het punt p de limiet A heeft en schrijven: $\lim _{x\to p}f(x)=A$ als bij elk (willekeurig klein) getal $\epsilon >0$ een getal $\delta >0$ gevonden kan worden, zodat voor alle punten $x\in D,x\neq p$ die minder dan $\delta$ van p af liggen, dus met $0<|x-p|<\delta ,\,$ geldt dat de functiewaarden $f(x)$ minder dan $\epsilon$ van het getal A verwijderd zijn, dus: $|f(x)-A|<\epsilon .\,$

De definitie houdt in dat hoe klein ik ook een omgeving van A kies, er altijd een omgeving van p te vinden is die helemaal door f binnen de gekozen omgeving van A wordt afgebeeld.

De volgende twee uitdrukkingen zijn aan elkaar gelijk:

$\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{h\to 0}f(p+h)$

Linkerlimiet

Wanneer men de afstand van x tot a willekeurig laat afnemen, maar men houdt x steeds kleiner dan a, spreekt men van linkerlimiet. Men schrijft dit als

$\lim _{x\uparrow a}f(x)$ of $\lim _{x\to a^{-}}f(x)$

Rechterlimiet

Wanneer men de afstand van x tot a willekeurig laat afnemen, maar men houdt x steeds groter dan a, spreekt men van een rechterlimiet. Men schrijft dit als

$\lim _{x\downarrow a}f(x)$ of $\lim _{x\to a^{+}}f(x)$

Waar gebruiken we limieten

Gaten

$f(x)={\frac {\sin {x}}{x}}$

Onderbrekingen

$f(x)={\sqrt {x^{2}-16}}$

Sprongen

$f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}}$

Asymptoten

Delen door nul

functie ${\frac {1}{x^{2}}}$

Waarschijnlijk ben je ermee bekend dat je niet mag delen door nul, ook al weet je misschien niet waarom dat zo is. Laten we daar nu eens naar gaan kijken.

Stel je hebt een functie $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ op het domein van de reële getallen $\left(x\in \mathbb {R} \right)$.

In ieder punt van het domein is deze functie gedefinieerd, behalve in het punt $x=0$. Laten we eens kijken wat er gebeurt als we proberen de limiet te bepalen van deze functie in het punt $x=0$:

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}$

Wanneer je nu de grafiek van de functie bekijkt, zie je dat deze asymptotisch is langs de lijn x = 0, wat in dit geval betekent dat f(x) steeds groter wordt, naarmate x dichter bij 0 komt te liggen, maar de f(x) raakt de lijn x = 0 niet. Er wordt bij een asymptotische functie wel gezegd: "De functie raakt de asymptoot in het oneindige." We kunnen dus stellen dat een voor een x willekeurig dicht bij 0, f(x) nadert tot $+\infty$.

Conclusie:

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

We zeggen nu, dat de limiet niet bestaat.

Er geldt ook:

$\lim _{x\to 0}-{\frac {1}{x^{2}}}=-\infty$

We kunnen een getal, voor het gemak 1, delen door 5, 4, 3, 2, 1, 1/2, 1/3, 1/4 , enz. We lijken steeds dichter bij het resultaat van delen door 0 te komen:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\mathrm {?}$

Als we 0 van boven naderen, wordt de uitkomst steeds groter en stijgt boven iedere grens. We geven dit aan door:

$\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty .$

Naderen we 0 echter van onderen dan is de uitkomst steeds negatief en daalt onder iedere grens:

$\lim _{x\uparrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty .$

De limiet naar 0 bestaat dus niet en het heeft geen zin om over delen door 0 te spreken.

Rekenregels

Onder de veronderstelling dat de genoemde limieten bestaan gelden de regels:

$\lim _{x\to c}kf(x)$ = $k\cdot \lim _{x\to c}f(x)$ $\lim _{x\to c}\left(f(x)+g(x)\right)$ = $\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)$ $\lim _{x\to c}\left(f(x)g(x)\right)$ = $\lim _{x\to c}g(x)\cdot \lim _{x\to c}f(x)$ $\lim _{x\to c}\left(g(x)/f(x)\right)$ = $\lim _{x\to c}g(x)/\lim _{x\to c}f(x)als\lim _{x\to c}f(x)\not =0$

Werken met limieten

Nu we de definitie van een limiet hebben gezien willen we natuurlijk weten hoe we ook daadwerkelijk een limiet kunnen uitrekenen. Een van de handigste methoden om limieten uit te rekenen volgt direct uit de rekenregels:

Inklemming

$\lim _{x\to \infty }{\frac {sin(x)}{x}}$

$-1\leq sin(x)\leq 1$

${\frac {-1}{x}}\leq {\frac {sin(x)}{x}}\leq {\frac {1}{x}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {-1}{x}}=0$

${\displaystyle }$

Stel, je wilt de limiet uitrekenen van de functie $f(x)=x\sin {\frac {1}{x}}$ We kunnen dit uitwerken door de functie te splitsen in twee delen

$f(x)=g(x)h(x)$

waarbij

$g(x)=x$ en $h(x)=\sin {\frac {1}{x}}$

De limiet van $h$ is niet goed bepaald, maar we weten dat deze tussen -1 en 1 ligt:

$-1\leq \lim _{x\to \infty }h(x)\leq 1$

$-1\leq f(x)\leq {\frac {1}{x}}$

Voorbeelden

De limiet van een constante functie.

Stel $f(x)=c$ voor $x\in \mathbb {R}$, dan is:

$\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\to p}c=c$

De limiet van de identiteitsfunctie.

Stel $f(x)=x$ voor $x\in \mathbb {R}$, dan is:

$\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\to p}x=p$

We proberen aan te tonen dat voor een gegeven $\epsilon$ er een $\delta$ bestaat, zodanig dat:

$0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-p|=|x-p|<\epsilon$

Neem $\delta =\epsilon$, dan volgt het gevraagde direct.

De limiet van

$\lim _{x\to 0}x\sin {\frac {1}{x}}$

$|\sin {y}|\leq 1$
$-1\leq \lim _{x\to 0}\sin {\frac {1}{x}}\leq 1$
$\lim _{x\to 0}x=0$
$\lim _{x\to 0}x\sin {\frac {1}{x}}=\lim _{x\to 0}x*\lim _{x\to 0}\sin {\frac {1}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}\sin x=0$

De limiet van

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$

We herschrijven de sinus in de vorm van een machtreeks

$\sin {x}=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {{(-1)}^{n}}{{(2n+1)}!}}x^{2n+1}}$

${\frac {\sin {x}}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {{(-1)}^{n}}{{(2n+1)}!}}x^{2n}}$

${\frac {\sin {x}}{x}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {{(-1)}^{n}}{{(2n+1)}!}}x^{2n}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1+\lim _{x\to 0}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {{(-1)}^{n}}{{(2n+1)}!}}x^{2n}}\right)=1+0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

$\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0$

$\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty$

$\lim _{x\uparrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }e^{-x}=0$

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{n+1}}\right)=1$

De limiet van de integraal van de dichtheid van de standaardnormale verdeling.

$\,\int _{-\infty }^{\infty }\,{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\end{matrix}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}{\rm {d}}x=2\lim _{a\to \infty }\int _{0}^{a}\,{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\end{matrix}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}{\rm {d}}x=1$

Definities

Bronnen

• Calculus Tom M. Apostol ISBN: 0471000051