Basiswiskunde/Prealgebra/Rekenen met natuurlijke getallen

We hebben nu gezien wat natuurlijke getallen juist zijn. We kunnen nu eens gaan kijken naar wat we allemaal met die getallen kunnen gaan doen.

De hoofdbewerkingen

We kennen vier hoofdbewerkingen in de wiskunde:

• De optelling
• De aftrekking
• De vermenigvuldiging
• De deling

Hoofdrekenen

Hoofdrekenen wil zeggen dat je tijdens het rekenen zo weinig mogelijk te noteren (hoogstens een paar tussen tussenstappen). Als je ingewikkelde wiskunde wil gaan doen, is een stevige vaardigheid in het hoofdrekenen vereist.

De optelling en aftrekking

Over de optelling en aftrekking valt niet veel uit te leggen, je moet vooral veel oefenen.

In een optelling worden de twee getallen die je optelt termen genoemd en de uitkomst de som

In een aftrekking wordt het eerste getal het aftrektal genoemd, het tweede getal de aftrekker en de uitkomst het verschil.

Om optellingen met overschrijding van tientallen of honderdtallen te doen, kan je gebruik maken van de optellingswip:

bv. 56  +  39 = ?        (56 en 39 zijn termen)
   (+4)   (-4) 
    60  +  35 = 95       (95 is de som)

Je kan hetzelfde doen voor aftrekkingen met de zogenaamde aftrekkingshalter:

bv. 95  -  68 = ?        (95 = aftrektal; 68 = aftrekker)
   (+2)   (+2)
    97  -  70 = 27       (27 = verschil)

Vermenigvuldigen en delen

In een vermenigvuldiging worden de twee getallen die je vermenigvuldigt de factoren genoemd en de uitkomst het product. In een deling wordt het eerste getal het deeltal' genoemd, het tweede getal de deler en de uitkomst het quotiënt.

Om handig te kunnen vermenigvuldigen en delen is het essentieel om de tafels van vermenigvuldiging en deling goed te kennen.

de tafels van vermenigvuldiging

Je kan via dezelfde principes van de optellingswip en de aftrekkingshalter ook de vermenigvuldigingswip en de deelhalter gebruiken. Let dan wel op dat je alleen met vermenigvuldigingen en delingen mag werken.

Als je deelt door of vermenigvuldigt met een getal dat op een aantal nullen eindigt, moet je gewoon het aantal nullen bij deling wegnemen of bij vermenigvuldiging bijtellen

bv. 56 * 10 = 560

Cijferen

Een andere manier om zonder rekentoestel hoofdbewerkingen uit te voeren is door middel van cijferen.

Optellen

Als je cijferend optelt, tel je de cijfers die onder elkaar staan op. Als je op een getal uitkomt van meer dan een cijfer, schrijf je het laatste cijfer op en de andere plaats je boven de kolom links van diegene waar je mee bezig bent, we noemen dit onthouden.

bv.

     1
   2 5 6
  +5 2 8
   7 8 4

Aftrekken

Als je cijferend aftrekt, trek je de cijfers die onder elkaar staan af van elkaar. Als een aftrekking niet uitkomt (lager dan 0 zou gaan, zie volgend hoofdstuk), trek je van het bovenste cijfer links van de kolom waar je bezig bent 1 af en tel je 10 op bij het bovenste cijfer van de kolom waarmee je bezig bent, we noemen dit lenen.

bv.

     5 10
   5  6  0
  -2  4  8
   3  1  2

Vermenigvuldigen

Cijferend vermenigvuldigen is iets ingewikkelder: als je bijvoorbeeld 56 * 49 wil uitrekenen moet je eigenlijk 56 * 9 + 56 * 40 doen (dit is een eigenschap die we later nog zullen bespreken). Bij elk nieuwe lijn vanaf het tweede getal zet je eerst een aantal nullen. (geen bij het eerste cijfer, een bij het tweede cijfers, twee bij het derde cijfer,...)

Als je vermenigvuldiging op een getal van meer dan een cijfer uitkomt, ga je ook onthouden, behalve dan dat je het cijfer dat je onthouden hebt optelt bij het product van de andere twee.

goed voorbeeld van een cijferoefening

<-- 364 * 2

<-- 364 * 30 (merk de 0 helemaal rechts op)

<-- opgeteld resultaat

Delen

Staartdelen is de ingewikkeldste cijfermethode, vooral omdat ze delen, vermenigvuldigen en aftrekken combineert.

De staartdeling is eigenlijk een algoritme (herhaald patroon) met de volgende stappen:

1. Delen
2. Vermenigvuldigen
3. Aftrekken
4. Laten zakken

Laten we nu een voorbeeld uitwerken. We beginnen met de deling zo te noteren.

448|8
   | ---

We hebben hier links van de streep het deeltal en rechts van de streep de deler. Onder de stippellijn zal het antwoord komen.

We beginnen nu van de eerste twee cijfers het dichtstbijzijnde getal kleiner dan 44 (Opmerking: normaal doen we enkel het eerste cijfer, maar omdat het eerste cijfer hier kleiner is dan de deler, nemen we meteen de eerste twee cijfers). Hier is het ook belangrijk om je deeltafels goed te kennen, zodat je weet welk getal het dichtste bij ligt.

 448|8
    |-----
    |5

We doen nu het getal dat je hebt opgeschreven terug maal 8 en zetten de uitkomst onder 44.

 448|8
 40 |-----
    |5

De volgende stap is het aftrekken van het bekomen getal van het origineel getal.

 448|8
 40 |-----
 -- |5
  4 |

Nu laten we de acht zakken.

 448|8
 40 |-----
 -- |5
  48|

Zo herhalen we het algoritme tot we geen cijfers meer overhebben.

 448|8
 40 |-----
 -- |56
  48|
  48|
  --|
   0|

Opmerking: Als je geen cijfers meer overhebt is het getal dat vanonder overblijft de rest.

Deelbaarheid in $\mathbb {N}$

Inleidende begrippen: Wat is deelbaarheid?

We nemen enkele definities door:

• De Euclidische deling: De euclidische deling is een formule om de relatie tussen, eeltal, deler , rest en quotiënt weer te geven. Ze is als volgt:

D = d * q + r

Hierin is:

D: het deeltal d: de deler q: het quotiënt r: de rest

Een voorbeeld:  57/8: We weten van deeltafels dat 56/8 gelijk is aan 7 en dat 56 + 1 gelijk is aan 57
                      dus: 57 = 8 * 7 + 1

• Opgaande en niet opgaande deling

Opgaande en niet-opgaande deling

• Een opgaande deling is een deling waarbij de rest gelijk is aan 0, een niet-opgaande deling is een deling waarbij de rest niet gelijk is aan 0.

• Deelbaarheid

Deelbaarheid

• Een getal is deelbaar door een ander getal als en slechts als de deling van dat getal door het andere getal een opgaande deling is. We noemen het andere getal ook wel een deler van het eerste getal

• Veelvoud

Veelvoud

• Een getal is een veelvoud van een bepaald getal als en slechts als dat getal het product is van dat bepaald getal met elk ander getal.

Deelbaarheidskenmerken

Deelbaarheidskenmerken zijn kenmerken waarmee we snel kunnen achterhalen of een getal deelbaar is door een bepaald getal.

• 10, 100, 1000, ...

Deelbaarheid door 10, 100, 1000, ...

• Een getal is deelbaar door 10, 100, 1000 enzovoorts als en slechts als het laatste cijfer, de twee laatste cijfers enz. van dat getal 0 zijn.

• 2, 5

Deelbaarheid door 2 en 5

• Een getal is deelbaar door 2 of 5 als en slechts als het laatste cijfer van dat getal deelbaar is door respectievelijk 2 of 5.

• 4, 25

Deelbaarheid door 4 en 25

• Een getal is deelbaar door 4 of 25 als en slechts als de twee laatste cijfers van dat getal deelbaar zijn door respectievelijk 4 of 25.

• 3, 9

Deelbaarheid door 3 en 9

• Een getal is deelbaar door 3 of 9 als en slechts als de som van alle cijfers van dat getal deelbaar is door respectievelijk 3 of 9.

Eigenschappen van delers

Eigenschap 1

• Een deler van twee getallen is ook een deler van hun som

dus bijvoorbeeld: 8 is een deler van 24 en ook van 16, dus 8 is ook een deler van 40.

Eigenschap 2

• Een deler van een getal is ook een deler van elk veelvoud van dat getal

dus bijvoorbeeld: 2 is een deler van 14, dus ook van 28, 42 enz.

Machtsverheffing en vierkantsworteltrekking

Soms kan het zijn dat je heel lange producten tegenkomt:

bv. 2*2*2*2*2*2*2

Dat kan heel onhandig worden om te noteren, dus is er een kortere manier voor.

We noteren 2*2*2*2*2*2*2 nog als $2^{7}$. Hierbij is 2 het grondtal en 7 de exponent.

Dit is het principe van de machtsverheffing. We kunnen het ook in een mooie definitie algemeen voorstellen:

Machtsverheffing

• $a^{n}$ = a*a*a*...*a => n factoren met n $>$1

      $a^{1}$ = a
      $a^{0}$ = 1 (met a $\neq$)

Het kan handig zijn om ongeveer de eerste 20 kwadraten (tweedemachten) van buiten te kennen. Je vindt ze hier tot en met 100: https://www.beterrekenen.nl/website/mob.php?pag=252

De worteltrekking is de omgekeerde bewerking van de machtsverheffing. De meest gebruikte is de vierkantswortel (omgekeerde van het kwadraat).

Dus: ${\sqrt {4}}$ = 2 want $2^{2}$ = 4.