Elektrodynamica/Vector Calculus

Scalaire velden en vectorvelden

De onderstaande lijst met feiten uit de vectormeetkunde wordt bekend verondersteld.

• $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =scalair=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$
• $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =vector$

$\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{x}=A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}$

$\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{y}=A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}$

$\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{z}=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}$

• $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =0$
• $\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=0$
• $\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C}$
• $\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)-\mathbf {C} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)$

En uit de gewone calculus:

• $\Delta f\left(x,y,z\right)={\dfrac {\partial f}{\partial x}}\Delta x+{\dfrac {\partial f}{\partial y}}\Delta y+{\dfrac {\partial f}{\partial z}}\Delta z$
• ${\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$

Operator Δ

We introduceren de vector-operator $\nabla$ (nabla, ook wel del genoemd):

• $\nabla =\left({\dfrac {\partial }{\partial x}},{\dfrac {\partial }{\partial y}},{\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)$

Waarmee we bedoelen:

• $\nabla _{x}={\dfrac {\partial }{\partial x}},\;\nabla _{y}={\dfrac {\partial }{\partial y}},\;\nabla _{z}={\dfrac {\partial }{\partial z}}$

Gradient

De gradient van een scalair veld is de operator $\nabla$ op een scalair veld:

• $\nabla T$ = grad T = een vector

Divergentie

De divergentie van een vectorveld is het inproduct van $\nabla$ en het veld.

• $\nabla \cdot \mathbf {h}$ = div h = een scalair

Rotatie

De rotatie van een vectorveld is het uitproduct van $\nabla$ en het veld.

• $\nabla \times \mathbf {h}$ = curl h = een vector

Tweede orde afgeleiden van vector velden

In de voorgaande paragraaf hebben wij ons beperkt tot eerste orde afgeleiden. Uiteraard zijn er ook tweede orde afgeleiden. Mogelijke combinaties zijn:

• a) $\nabla \cdot \left(\nabla T\right)$
• b) $\nabla \times \left(\nabla T\right)$
• c) $\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {h} \right)$
• d) $\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {h} \right)$
• e) $\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {h} \right)$