Fourieranalyse/Complexe Fourierreeks

Men kan de fourierreeks zoals gedefinieerd in het vorige hoofdstuk op elegante wijze weergeven mbv. complexe e-machten. Er geldt immers:

$\,{\tilde {f}}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+ib_{n}\sin(nx))=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\alpha _{n}e^{-inx}$,

waarin:

$\,\alpha _{0}=a_{0}$,

$\,\alpha _{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}+b_{n}i)$

en

$\,\alpha _{-n}={\overline {\alpha _{n}}}$

Orthonormale functies

In plaats van sinussen en cosinussen treden hier de complexe e-machten $\,e^{inx}$ op als orthogonaal stelsel. Er geldt:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{imx}e^{inx}dx=\delta _{mn}$.

Het stelsel is dus zelfs orthonormaal m.b.t. het inproduct:

$\langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx$.

Voor de coëfficiënten geldt dus:

$\,\alpha _{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{inx}dx$