Men kan de fourierreeks zoals gedefinieerd in het vorige hoofdstuk op elegante wijze weergeven mbv. complexe e-machten. Er geldt immers:
,
waarin:
,
![{\displaystyle \,\alpha _{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}+b_{n}i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b130a15a65d69c6ce4c0aa863bdf8b444f19e105)
en
![{\displaystyle \,\alpha _{-n}={\overline {\alpha _{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1f6cb1b3b4b800d1dda65c1ca663c5ca41b50a)
In plaats van sinussen en cosinussen treden hier de complexe e-machten op als orthogonaal stelsel. Er geldt:
- .
Het stelsel is dus zelfs orthonormaal m.b.t. het inproduct:
- .
Voor de coëfficiënten geldt dus:
-