Fourieranalyse/Fourierreeks

Is er een systematische manier om een periodieke functie f (voor het gemak kiezen we de periode 2π) te benaderen door een goniometrische reeks, dwz. een reeks van de vorm:

.

We zullen ervan uitgaan dat de functie f integreerbaar is.

De coëfficiënten zijn bepaald door de eis dat de afstand

tussen f en de reeks zo klein mogelijk is.

Deze norm is geïnduceerd door het inproduct:

.

Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.

OrthogonaliteitBewerken

Voor m, n = 1, 2, ... geldt:

(de constante functie is orthogonaal met sinussen en cosinussen)

 
 

(verschillende sinussen zijn onderling orthogonaal)

 

(verschillende cosinussen zijn onderling orthogonaal)

 

(sinussen en cosinussen zijn onderling orthogonaal)

 

Orthogonale projectieBewerken

Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:

 

en voor n>0:

 

en analoog:

 

FourierreeksBewerken

De reeks met boven gedefinieerde coëfficiënten heet de fourierreeks van de functie f.

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.