Is er een systematische manier om een periodieke functie f (voor het gemak kiezen we de periode 2π) te benaderen door een goniometrische reeks, dwz. een reeks van de vorm:
f
~
(
x
)
=
a
0
+
a
1
cos
(
x
)
+
b
1
sin
(
x
)
+
a
2
cos
(
2
x
)
+
b
2
sin
(
2
x
)
+
.
.
.
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
n
x
)
)
{\displaystyle \,{\tilde {f}}(x)=a_{0}+a_{1}\cos(x)+b_{1}\sin(x)+a_{2}\cos(2x)+b_{2}\sin(2x)+...=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))}
We zullen ervan uitgaan dat de functie f integreerbaar is.
De coëfficiënten zijn bepaald door de eis dat de afstand
‖
f
−
f
~
‖
=
1
2
π
∫
−
π
π
(
f
(
x
)
−
f
~
(
x
)
)
2
d
x
{\displaystyle \,\|f-{\tilde {f}}\|={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(f(x)-{\tilde {f}}(x))^{2}dx}}}
tussen f en de reeks zo klein mogelijk is.
Deze norm is geïnduceerd door het inproduct:
⟨
f
,
g
⟩
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx\,}
Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.
Voor m, n = 1, 2, ... geldt:
(de constante functie is orthogonaal met sinussen en cosinussen)
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
m
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)dx=0\,}
1
2
π
∫
−
π
π
cos
(
m
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)dx=0\,}
(verschillende sinussen zijn onderling orthogonaal)
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
m
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
=
1
2
δ
m
n
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\sin(nx)dx={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\delta _{mn}\,}
(verschillende cosinussen zijn onderling orthogonaal)
1
2
π
∫
−
π
π
cos
(
m
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
=
1
2
δ
m
n
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\cos(nx)dx={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\delta _{mn}\,}
(sinussen en cosinussen zijn onderling orthogonaal)
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
m
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\cos(nx)dx=0\,}
Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:
a
0
=
⟨
f
,
1
⟩
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle a_{0}=\langle f,1\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx\,}
en voor n>0:
a
n
=
⟨
f
,
cos
(
n
x
)
⟩
⟨
cos
(
n
x
)
,
cos
(
n
x
)
⟩
=
2
⟨
f
,
cos
(
n
x
)
⟩
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
{\displaystyle a_{n}={\frac {\langle f,\cos(nx)\rangle }{\langle \cos(nx),\cos(nx)\rangle }}=2\langle f,\cos(nx)\rangle ={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx}
en analoog:
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx\,}
De reeks met boven gedefinieerde coëfficiënten heet de fourierreeks van de functie f .
