Fysica/Meerdimensionale kinematica

Kinematica in één dimensie

Herhaling

Beknopt overzicht van de meest gebruikte formules van de kinematica in 1 dimensie.

begrip	formule
snelheid	$v=v_{0}+at$
snelheid (met tijd onbekend)	$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0})$
afstand	$x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

Kinematica in twee dimensies

Vectorrekening

• Om 2 vectoren op te tellen zet je de aangrijpingspunten van de vectoren op elkaar. Dan teken je de parallellogram met de twee vectoren als twee van de vier zijden. De diagonaal vanaf de aangrijpingspunten tot de overstaande hoek van de parallellogram is de som van de twee vectoren.

• Om het verschil van 2 vectoren te tekenen neem je de andere diagonaal van de parallellogram, en dit is het verschil. Wel opletten in welke volgorde je het verschil neemt (tekenfouten!). Het uiteinde waar je de diagonaal naartoe trekt is hetgeen waar je de andere vector van aftrekt.

• Wanneer in een assenstelsel een vector is getekend, die niet evenwijdig is aan één van de assen, dan kan je die opsplitsen in componenten. Een deel van de vector kan getekend worden op de x-as (het "horizontale" deel van de vector), het andere deel op de y-as (het "verticale" deel van de vector).

De grootte van die componenten: $V_{x}=V\cos {\theta }$

$V_{y}=V\sin {\theta }$

We kunnen die twee componenten delen door elkaar. Dan krijgt men:

${\frac {V_{y}}{V_{x}}}={\frac {\sin {\theta }}{\cos {\theta }}}=\tan {\theta }$

Met $V$ de grootte van de originele vector, $\theta$ de grootte van de hoek tussen de x-as en de vector V.

V is gemakkelijk te berekenen m.b.v. de stelling van Pythagoras.

$V={\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}}$.

Toepassing

Een postbode rijdt 22,0km in noordelijke richting, en rijdt dan 47,0km naar het zuidoosten onder een hoek van 60,0°. Wat is zijn totale verplaatsing vanaf het postkantoor?

Antwoord: We nemen $V_{1}$ als eerste verplaatsing.

$V_{1x}=0;V_{1y}=22,0km$

$V_{2}$ als tweede verplaatsing.

$V_{2x}=47,0km.\cos {({\frac {\pi }{3}})}=23,5km$

$V_{2y}=-47,0km.\sin {({\frac {\pi }{3}})}=-40,7km$ (gericht langs negatieve y-as!)

$V_{x}=V_{1x}+V_{2x}=0km+23,5km=23,5km$

$V_{y}=V_{1y}+V_{2y}=22,Okm-40,7km=-18,7km$

$V={\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}}={\sqrt {(23,5km)^{2}+(-18,7km)^{2}}}=30,0km$

Hij heeft zich dus 30,0km verplaatst ten opzichte van het postkantoor.

Vectorkinematica

Definities

We maken gebruik van een vector (meestal ${\vec {r}}$) om de positie van een massa aan te duiden in een xy-stelsel, vanaf de oorsprong O. De verplaatsing van het deeltje wordt dan het verschil van de twee vectoren die de twee posities aangeven.

We krijgen dan: $\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}$.

Voor de gemiddelde snelheid en versnelling en momentane snelheid en versnelling is het analoog met kinematica in 1 dimensie.

$<{\vec {v}}>={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$

$<{\vec {a}}>={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

Kinematische vergelijkingen

x-component	y-component
$v_{x}=v_{x0}+a_{x}t$	$v_{y}=v_{y0}+a_{y}t$
$v_{x}^{2}=v_{x0}^{2}+2a_{x}(x-x_{0})$	$v_{y}^{2}=v_{y0}^{2}+2a_{y}(y-y_{0})$
$x=x_{0}+v_{x0}t+{\frac {1}{2}}a_{x}t^{2}$	$y=y_{0}+v_{y0}t+{\frac {1}{2}}a_{y}t^{2}$

De vergelijkingen kunnen ook in vectorvorm worden geschreven:

${\vec {v}}={\vec {v_{0}}}+{\vec {a}}t$

${\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}$

Kinematica in n dimensies

Voor n-dimensionale kinematica mogen dezelfde (uiteraard uitgebreide) formules gebruikt worden als in de tweedimensionale kinematica.

bron

Douglas C. Giancoli, Natuurkunde deel 1: Mechanica en thermodynamica