Dynamica van de rotatiebeweging

Dynamica

In het algemeen geeft de dynamica een verklaring waarom voorwerpen bewegen. Die verklaring is "kracht". Wanneer een kracht op een massa aangrijpt zal die massa een snelheidsverandering ondergaan. Althans, als die kracht groot genoeg is om de wrijvingskracht die op de massa inwerkt te overwinnen. Newton vatte dit samen als: Om een massa te versnellen is er een nettokracht nodig. Hij goot dit in de formule:

${\vec {F}}_{net}=m{\vec {a}}$

Eenparige cirkelvormige beweging (ECB)

Definities en benamingen (kinematica)

De eenparige cirkelvormige beweging is een term om aan te geven dat een bepaalde massa een cirkelvormige beweging beschrijft die geen verandering van lineaire snelheid heeft. Dit wil zeggen dat er geen tangentiële versnelling is. Er is echter wel een centripetale versnelling, die altijd naar het middelpunt van de cirkel gericht is.

Hoeksnelheid: De mate waarin de hoek verandert in een bepaalde tijdsspanne.
Lineaire snelheid: Hoeveel afstand de massa aflegt in een bepaalde tijdsspanne.

De hoeksnelheid in een ECB is op elk punt van de straal gelijk, maar de lineaire snelheid wordt groter naarmate je verder op de straal zit.

Periode: De tijd dat een massa nodig heeft om een volledige omwenteling te maken.
Frequentie: Het aantal omwentelingen per seconde.

Formules en eenheden (kinematica)

Centripetale versnelling.
- $a_{R}={\frac {v^{2}}{r}}{\hbox{ met }}v{\hbox{ de lineaire snelheid van de massa en }}r{\hbox{ de afstand van de massa tot het middelpunt}}$ .
- Eenheid: ${\frac {m}{s^{2}}}$ .
Hoeksnelheid $\omega$ .
- $\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}$ . Met $T$ de periode.
- Eenheid: ${\frac {rad}{s}}$
- $v={\frac {2\pi r}{T}}$
- Eenheid: ${\frac {m}{s}}$
Periode
- $T={\frac {1}{f}}$
- eenheid: $s$
Frequentie
- $f={\frac {1}{T}}$
- Eenheid: Hz (Herz)

Dynamica van de ECB

De tweede wet van Newton mag gebruikt worden. (zie Dynamica algemeen).

Dit wordt:

${\vec {F}}=m{\vec {a_{R}}}$

${\vec {F}}=m{\frac {v^{2}}{r}}$

Rotatie

Dit mag eigenlijk opgevat worden als een ECB, maar dan met een tangentiële versnelling. Om concreet de rotatie om een vaste as op te bouwen volstaat het om de translatiebeweging om te zetten naar de rotatiebeweging. Alle wetten van de translatie gelden ook voor de rotatie.

Dynamica van de rotatie

Simpel gezegd: De formule ${\vec {F}}=m.{\vec {a}}$ omzetten.

Hiervoor hebben we 3 nieuwe begrippen nodig:

Krachtmoment $\tau$ : Dit vervangt kracht F.
Traagheidsmoment $I$ : Dit vervangt de traagheid (of massa) m.
Hoekversnelling $\alpha$ : Dit vervangt de lineaire versnelling a.

Het krachtmoment moet dus gelijk zijn aan het traagheidsmoment maal de hoekversnelling.

$\displaystyle \tau =I\alpha$

Algemeen overzicht translatie <-> rotatie

Translatie	Rotatie
$x$	$\theta .R$
$v$	$R.\omega$
$a$	$R.\alpha$
$m$ (traagheid)	$I$ (traagheidsmoment)
$F$ (kracht)	$\tau$ (krachtmoment)
$F_{net}=ma$	$\tau _{net}=I\alpha$
$p=mv$ (impuls)	$L=I\omega$ (impulsmoment/angulairmoment)
$E_{kin}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ (kinetische energie)	$E_{kin}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$
$E_{tot}=E_{kin}+E_{pot}$	$E_{tot}={\frac {1}{2}}mv^{2}+E_{pot}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$