Lineaire algebra/Duale afbeelding
Als L een lineaire afbeelding is van de lineaire ruimte V in de lineaire ruimte W, beide over hetzelfde lichaam, dan wordt door L op natuurlijke wijze een lineaire afbeelding L* geïnduceerd van de duale ruimte van W in de duale ruimte van V. Deze afbeelding heet de duale afbeelding van L.
Definitie 17.1Bewerken
Zij een lineaire afbeelding van de lineaire ruimte V in de lineaire ruimte W, beide over het lichaam K. De afbeelding gedefinieerd door
heet de duale afbeeldig van L.
Stelling 17.1Bewerken
De duale afbeelding L* van de lineaire afbeelding is lineair.
BewijsBewerken
Voor x en y ∈ W*, en λ ∈ K geldt:
Matrix van de duale afbeeldingBewerken
Vanwege de samenhang tussen een lineaire afbeelding en zijn duale, mogen we verwachten dat er een verband is tussen de matrices van beide. Mits natuurlijk de verschillende bases ook elkaars duale zijn. De matrices blijken elkaars getransoponeerden te zijn. Dit is waarschijnlijk een veel eenvoudiger verband dan men zou verwachten. De duale afbeelding wordt bijgevolg ook vaak de getransponeerde afbeelding genoemd.
Stelling 17.2Bewerken
De matrices van een lineaire afbeelding en z'n duale t.o.v. de duale bases, zijn elkaars getransponeerden.
BewijsBewerken
Laat en bases zijn van resp. V en W, en noem de matrix van L t.o.v. deze basis. Dan geldt dus:
Voor de matrix van L* t.o.v. de duale bases geldt:
Nu geldt enerzijds voor het k-de element van de duale basis:
en anderzijds:
We zien dus dat en dus dat A en B elkaars getrasponeerden zijn: .
Biduale ruimteBewerken
TODO: Biduale ruimte is isomorf met de oorspronkelijke ruimte