Lineaire algebra/Kwadratische vorm

Bij een symmetrische bilineare vorm op de vectorruimte kan een afbeelding gedefinieerd worden door:

Daarvoor geldt dan:

Dit lijkt veel op de uitwerking van een kwadraat, en heet dan ook een kwadratische vorm.

Definitie 22.1Bewerken

Zij   een lineaire ruimte over een lichaam  . Een kwadratische vorm op   is een afbeelding   van   naar   waarvoor een symmetrische bilineaire vorm   op   bestaat, zodanig dat:

 


Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm   die bij   bestaat:

 

Als de karakteristiek van   verschilt van 2, is deze bilineaire vorm uniek.

Definitie 22.2Bewerken

Zij   een lineaire ruimte over een lichaam   waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en   een kwadratische vorm op  . De bilineaire vorm

 

heet de met   geassocieerde bilineaire vorm.

Stelling 22.1Bewerken

Zij   een lineaire ruimte over een lichaam   waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en   een kwadratische vorm op  . De met   geassocieerde bilineaire vorm   is eenduidig bepaald.

Stelling 22.2Bewerken

Een kwadratische vorm   is een homogene afbeelding van de tweede graad, want:

 


Laat   een geordende basis van de vectorruimte   zijn. Dan is

 ,

waarin   de matrix van   is t.o.v. de basis  .

Omdat   symmetrisch is, is ook de matrix   symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.

Stelling van SylvesterBewerken

Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met   geassocieerde bilineaire vorm   diagonaal is, kan   als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten geschreven worden. Voor de vector   met coordinaten   t.o.v. deze basis geldt:

 

Stel dat het lichaam van scalairen   is, dan kunnen we van alle   de wortel nemen en kunnen we schrijven:

 

met  .

Als de scalairen reële getallen zijn, dus  , doen we iets soortgelijks. We schrijven:

 

met

 
 

Aangezien we maar   termen opnemen en niet alle   termen kunnen we veronderstellen dat   is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste   coëfficiënten positief zijn en de laatste   negatief:

  voor  
  voor  

Dan bestaat er een basis zodat   met

 
 

Hieruit volgt de stelling van Sylvester:

Het aantal termen   en de signatuur   van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.

Bewijs

We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.

Stel dat   en ook   met  . We kunnen veronderstellen dat  . Neem nu

 

In die verzameling hebben we   voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu  , dan is   (t.o.v. de eerste basis) en   (t.o.v. de tweede basis). Dus is   en is   dus is   wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat  .

Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als   of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan   en het is definiet als daarenboven  . Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.