Lineaire algebra/Kwadratische vorm

Bij een symmetrische bilineare vorm $B$ op de vectorruimte $V$ kan een afbeelding $Q:V\to \mathbb {R}$ gedefinieerd worden door:

$Q(v)=B(v,v)$

Daarvoor geldt dan:

$Q(v+v')=B(v+v',v+v')=B(v,v)+B(v,v')+B(v',v)+B(v',v')=Q(v)+2B(v,v')+Q(v').$

Dit lijkt veel op de uitwerking van een kwadraat, en $Q$ heet dan ook een kwadratische vorm.

Definitie 22.1

Zij $V$ een lineaire ruimte over een lichaam $K$. Een kwadratische vorm op $V$ is een afbeelding $Q:V\to K$ van $V$ naar $K$ waarvoor een symmetrische bilineaire vorm $B$ op $V$ bestaat, zodanig dat:

$Q(v)=B(v,v)$

Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm $B$ die bij $Q$ bestaat:

$Q(v+v')=2B(v,v')+Q(v)+Q(v')$

Als de karakteristiek van $K$ verschilt van 2, is deze bilineaire vorm uniek.

Definitie 22.2

Zij $V$ een lineaire ruimte over een lichaam $K$ waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en $Q$ een kwadratische vorm op $V$. De bilineaire vorm

$B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))$

heet de met $Q$ geassocieerde bilineaire vorm.

Stelling 22.1

Zij $V$ een lineaire ruimte over een lichaam $K$ waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en $Q$ een kwadratische vorm op $V$. De met $Q$ geassocieerde bilineaire vorm $B$ is eenduidig bepaald.

Stelling 22.2

Een kwadratische vorm $Q$ is een homogene afbeelding van de tweede graad, want:

$Q(\lambda v)=\lambda ^{2}Q(v)$

Laat $b=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ een geordende basis van de vectorruimte $V$ zijn. Dan is

$Q(v)=B(v,v)=\sum v_{i}v_{j}\beta _{ij}$,

waarin $\beta$ de matrix van $B$ is t.o.v. de basis $b$.

Omdat $B$ symmetrisch is, is ook de matrix $\beta$ symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.

Stelling van Sylvester

Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met $Q$ geassocieerde bilineaire vorm $B$ diagonaal is, kan $Q$ als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten geschreven worden. Voor de vector $v$ met coordinaten $\xi$ t.o.v. deze basis geldt:

$Q(v)=a_{1}\xi _{1}^{2}+\ldots +a_{r}\xi _{n}^{2}$

Stel dat het lichaam van scalairen $\mathbb {C}$ is, dan kunnen we van alle $a_{i}$ de wortel nemen en kunnen we schrijven:

$Q(v)=\xi _{1}^{'2}+\ldots +\xi _{n}^{'2}$

met $\xi '_{i}={\sqrt {a_{i}}}\,\xi _{i}$.

Als de scalairen reële getallen zijn, dus $K=\mathbb {R}$, doen we iets soortgelijks. We schrijven:

$Q(v)=\xi _{1}^{'2}+\ldots +\xi _{p}^{'2}-\xi _{p+1}^{'2}-\ldots -\xi _{r}^{'2}$

met

$\xi '_{i}={\sqrt {a_{i}}}\,\xi _{i}{\text{ als }}a_{i}>0$

$\xi '_{i}={\sqrt {-a_{i}}}\,\xi _{i}{\text{ als }}a_{i}<0$

Aangezien we maar $r$ termen opnemen en niet alle $n$ termen kunnen we veronderstellen dat $a_{i}\neq 0$ is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste $p$ coëfficiënten positief zijn en de laatste $r-p$ negatief:

$a_{i}>0$ voor $i\leq p$

$a_{i}<0$ voor $i>p$

Dan bestaat er een basis zodat $q(v)=x_{1}'^{2}+\ldots +x_{p}'^{2}-x_{p+1}'^{2}-\ldots -x_{r}'^{2}$ met

$x_{i}'={\sqrt {a_{i}}}{\text{ als }}i\leq p$

$x_{i}'={\sqrt {-a_{i}}}{\text{ als }}i>p$

Hieruit volgt de stelling van Sylvester:

Het aantal termen $r$ en de signatuur $p-(r-p)$ van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.

Bewijs

We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.

Stel dat $q(v)=x_{1}^{'2}+\ldots +x_{p}^{'2}-x_{p+1}^{'2}-\ldots -x_{r}^{'2}$ en ook $q(v)=y_{1}^{'2}+\ldots +y_{q}^{'2}-y_{q+1}^{'2}-\ldots -y_{r}^{'2}$ met $p\neq q$. We kunnen veronderstellen dat $p<q$. Neem nu

$V_{1}=\{v\in V|x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{p}=0=y_{q+1}=y_{q+2}=\ldots =y_{n}\}$

In die verzameling hebben we $p+(n-q)=n+(p-q)<n$ voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu $v\neq 0\in V$, dan is $q(v)\leq 0$ (t.o.v. de eerste basis) en $q(v)\geq 0$ (t.o.v. de tweede basis). Dus is $q(v)=0$ en is $y_{1}=y_{2}=\ldots =y_{q}=0$ dus is $v=0$ wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat $p=q$.

Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als $p=r$ of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan $r$ en het is definiet als daarenboven $r=n$. Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.