Overleg:Klassieke Mechanica/Statica/Virtuele arbeid

Ik probeer te begrijpen:

Systeem van één puntmassa

De methode van de virtuele arbeid vertrekt van de energie-beschouwing van het systeem. In differentiaalvorm wordt dit voor 1 puntmassa:

$dW={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=m{\vec {a}}\cdot d{\vec {r}}$

met W de arbeid en F de resultante van de krachten.

Integreren van deze uitdrukking tussen twee posities geeft de arbeid die nodig is voor deze overgang.

$\Delta W(x)=\int _{0}^{x}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$

Een nulpunt van de integrand is een stationair punt (niet noodzakelijk een extremum) van deze integraal. In zo'n punt hoeft de versnelling niet 0 te zijn, maar het inproduct van versnelling en verplaatsing. Zulke punten vormen evenwichtspunten van het systeem. Daarvoor geldt dus:

${\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\,dt=0$

Deze differentiaal heeft nog altijd de dimensie van een arbeid. (Wat zou dat?) De evenwichtsvoorwaarde kan dus ook geformuleerd waorden als:

${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=0$

Dus er is geen resulterende kracht, of de snelheid is 0, of de resulterende kracht staat loodrecht op de snelheid. Dit is o.a. het geval bij krachten in sommige ideale verbindingen met de omgeving. Deze krachten wisselen geen arbeid uit met het systeem of omdat hun aangrijpingspunt stilstaat of omdat de verplaatsing steeds loodrecht staat op de kracht. Ze kunnen dus weggelaten worden in bovenstaande som. Meer algemeen: bij de methode van de virtuele arbeid hoeven (beter dan moeten) we geen rekening houden met de ideale verbindingen maar alleen met de actieve krachten, d.i. de krachten die energie uitwisselen met het systeem bij een verplaatsing van dit systeem.

De dimensie van bovenstaande formule is echter geen arbeid meer maar vermogen. In sommige Franse werken zal men bij deze aanpak spreken van "Le théorème des puissances virtuelles". (Waarom deze opmerking?) We zullen verder terugkomen op formules waarvan de dimensie wel een arbeid is. Nijdam 13 aug 2007 17:57 (CEST)

Ik weet dat dit sterk afwijkt van wat de meeste handboeken zeggen. Het Franse citaat heeft als doel om toch even te laten weten dat ik het niet allemaal uit mijn duim zuig. De redenering achter deze tekst werd naar het tijdschrift "Engineering Education" van de ASEE (American Society for Egineering Education) gestuurd en er zeer goed bevonden. Ik reken niet alleen op mijn inzicht maar laat mijn ideeën ook wel eens controleren. Huibc 13 aug 2007 18:28 (CEST)

Blijft in elk geval het punt dat een nulpunt van ${\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$ niet een nulpunt voor de versnelling is zoals je schrijft.Nijdam 13 aug 2007 21:39 (CEST)

Verder is toch de virtuele arbeid bij een willekeurig kleine verplaatsing dr in een mogelijke richting , juist:

$dW={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=m{\vec {a}}\cdot d{\vec {r}}$

En er is een evenwichtstoestand als deze virtuele arbeid voor elke toegelaten dr gelijk is aan 0. Dat mis ik nog in het verhaal.Nijdam 13 aug 2007 21:56 (CEST)

Dat zul je blijven missen. Zoals ik reeds zei: dit verhaal wijkt sterk af van de meest frequente behandeling. Maar die behandeling stond me reeds in mijn studententijd niet aan. Het is differentiaalrekenen van 200 jaar geleden gebleven. Ik verwacht niet dat je mijn verhaal begrijpt, want je hebt het duidelijk zeer moeilijk om je los te maken van wat je zelf in je opleiding gezien hebt. Maar hoe meer men een onderwerp bestudeert, hoe meer men weet dat er voor elk onderwerp veel verschillende goede benaderingen mogelijk zijn.Huibc 14 aug 2007 09:51 (CEST)

Het lijkt me het zinvolste (gezien toch al een behoorlijk overleg werd gepleegd) dat de auteur zijn cursus eerst vervolmaakt, zodat de gehele visie en benadering kan gevat worden. Het lijkt me aangewezen om daarna, dus na de vervolmaking van deze cursus, opnieuw in grondig overleg te gaan over die dingen die alsnog een misverstand of misvatting kunnen oproepen. Misschien dienen er naar aanleiding van die einddiscussies wel verduidelijkingen te komen, eventueel in functie van deze benadering ten opzichte van de aantal andere gangbare benaderingen. Inge Habex 14 aug 2007 10:42 (CEST)

Ik beperk me al tot lezen en eventueel commentaar op de overlegpagina. Dat heeft al geleid tot de correctie van extremum in stationair punt. Ik neem aan dat de schrijver geinteresseerd is in eventuele fouten. Welke schrijver zou dat niet zijn? Nu staat er nog een fout, zoals ik boven opmerkte. Wat is er problematisch aan om die recht te zetten. In ieder geval voorkom je zo dat je verkeerde conclusies zou trekken.Nijdam 14 aug 2007 20:27 (CEST)

Ik ben om die redenen ook absoluut pro overleg en vind het om precies die redenen nuttig. Het leek hierboven echter een hele poos om een verschil in benadering te gaan die bovendien goed onderbouwd leek. Het was vooral daarop dat ik verdere "discussie" niet meer constructief vond. Wiki laat de ruimte om samen tot een beter resultaat te komen. Samen weet men meer. Hopelijk ervaren jullie de samenwerking ook als positief en constructief. Inge Habex 15 aug 2007 20:43 (CEST)

01

Deze differentiaal heeft nog altijd de dimensie van een arbeid. Het nulpunt moet nog steeds komen van een nulpunt van de integrand:

$\sum {\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {v}}=0$

Deze integrand

Hier staat geen integrand. maar een vergelijkingNijdam 15 aug 2007 17:22 (CEST)

Snelheden zijn iets waar we vrij duidelijk zicht op hebben. Het tijdelijk overschakelen op snelheden i.p.v.δr heeft als bedoeling om duidelijk te maken dat het gewicht van elke term bepaald wordt door de projectie van de kracht op de raaklijn aan de parameterkromme en door de verhouding van de verplaatsingen/snelheden. Voor de rest is het inderdaad misschien beter om dat woord "integrand" zo snel mogelijk te laten vallen. Huibc 15 aug 2007 17:38 (CEST)

Het punt is niet dat je overschakelt op snelheid, maar dat

$\sum {\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {v}}$

de bedoelde integrand is, en

$\sum {\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {v}}=0$

een vergelijking waarin de integrand 0 gesteld wordt.

Overigens staat nog steeds in de tekst: nulpunt van de versnelling, wat niet correct is.Nijdam 15 aug 2007 18:01 (CEST)

Knap werk

Even uit mijn pols een losse opmerking: dat ik het werk van HuibC niet zou (kunnen) nadoen, en derhalve appreciëer. Groet in achting: D.A. Borgdorff \ 86.83.155.44 20 jan 2009 04:25 (CET)

Bedankt voor de waardering! --Huibc 22 jan 2009 11:31 (CET)