Rekenen/Machtsverheffen

Zoals we vermenigvuldigen opgevat hebben als herhaald optellen, zo kunnen we ook herhaald vermenigvuldigen:

3 × 3 × 3 × 3 

åç We kunnen dit gewoon uitrekenen door inderdaad herhaald te vermenigvuldigen:

3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 3 × 3 = 27 × 3 = 81

Het is wat omslachtig en ook nogal lastig te lezen. Neem bijvoorbeeld

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 

Hoeveel keer staat hier nu een 3? Door tellen zien we dat er 9 keer een 3 staat. We schrijven dit overzichtelijker op als:

$3^{9}$ (drie tot de negende, of drie tot de macht negen),

waarin we meteen zien dat het om 9 3-en gaat die met elkaar vermenigvuldigd moeten worden. We spreken van machtsverheffing: het getal 3 is verheven tot de macht 9. We lezen: drie tot de negende (macht) of drie tot de macht negen. Het getal 3 heet het grondtal en het getal 9 de macht of e×ponent. De uitkomst van een machtsverheffing is al gauw erg groot, althans bij getallen groter dan 1:

$3^{9}=19683$

$2^{10}=1024$

$2^{16}=65536$

$5^{16}=152.587.890.625$

Kwadraat

De tweede macht van een getal wordt meestal kwadraat genoemd. We zeggen dus meestal niet zeven tot de tweede (macht) voor 7², maar zeven kwadraat. De term kwadraat betekent vierkant en hangt samen met de oppervlakte van een vierkant die gelijk is aan het kwadraat van de lengte van een zijde.

Regels

Het is gemakkelijk in te zien dat:

$3^{4}3^{5}=3^{4+5}=3^{9}$

$(3^{4})^{5}=3^{4\times 5}=3^{20}$

$3^{4}7^{4}=(3\times 7)^{4}=21^{4}$

${\frac {5^{36}}{5^{5}}}=5^{36-5}=5^{31}$

Deze regels gelden algemeen.

Ook machten van negatieve getallen kunnen we uitrekenen: Bij een even macht is het resultaat positief:

$(-3)^{4}=3^{4}$

Bij een oneven macht is het resultaat negatief:

$(-3)^{5}=-3^{5}$

We kunnen ook machten uitrekenen van andere dan gehele getallen.

$\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}={\tfrac {1}{4}}\times {\tfrac {1}{4}}\times {\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{64}}$

$0{,}21^{3}=0{,}21\times 0{,}21\times 0{,}21=0{,}009261$