Klassieke Mechanica/Voorwerpendynamica: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Inleiding: correctie link |
|||
Regel 369:
'''--- Einde tegenvoorbeeld ---'''
===
Men kan ook een '''arbeid''' W berekenen die een moment levert bij verdraaiing van het voorwerp:
: <math> W = \int M.d\theta</math>
Regel 405:
Men ziet dat er een perfect parallellisme is tussen de formules van translatie en rotatie. Samen met de hoger gegeven parallellen, ziet men dat de rol van massa overgenomen wordt door het traagheidsmoment, de rol van de kracht door het moment van de kracht.
==Rotatie versus translatie==
Er is een eenvoudige proef die op een duidelijk manier het verschil aantoont tussen een translerend en een roterend voorwerp. Bij deze proef wordt een fietswiel bevestigd in een vork die kan slingeren rond een as evenwijdig aan de as van het fietswiel en ongeveer boven het wiel.
Als het fietswiel vrij kan draaien tijdens het slingeren, dan zal het wiel een translatie uitvoeren. Er is immers geen enkel moment dat het wiel een rotatie kan geven. Bij de translatie blijft het onderste punt dus altijd onderaan. Zorgt men dat het wiel niet kan draaien t.o.v. de vork (door een pin tussen de spaken te steken bv.), dan zal het wiel roteren rond het ophangpunt. Bij de rotatie blijft het onderste punt in het verlengde van de vork.
[[Afbeelding:BikeWheelPendulumTranslating.jpg|left]]
[[Afbeelding:BikeWheelPendulumTRotating.jpg|right]]
Bij een translatie wordt de beweging beschreven als de beweging van het massacentrum, waaraan het totale gewicht van het voorwerp wordt toegekend. Als het gewicht van de vork verwaarloosbaar is, dan valt dit slingerende wiel in feite onder de formule van de mathematische slinger. Men heeft dus:
:<math>\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math>
Bij de rotatie is het een fysische slinger en moet de bewegingsvergelijking voor een roterend voorwerp gebruikt worden:
:<math> I \frac{d^2\theta}{dt^2}=-r_Cmg\,\sin\theta</math><br \>
Met:
:I = het traagheidsmoment van de slinger t.o.v.het ophangpunt (eventueel formule van Steiner gebruiken)
: r<sub>C</sub> = de afstand van het massacentrum tot het ophangpunt<br />
Met de klassieke benadering voor kleine hoeken, waarbij men sin θ = θ stelt, krijgt men een eenvoudige differentiaalvergelijking, die een harmonische beweging voorstelt met
:<math>\omega = \sqrt{\frac{mgr_C}{I}}</math> ...en dat is normaal een grotere waarde.
Men kan beide periodes opmeten en op die manier duidelijk het verschil tussen de translatie- en de rotatiebeweging vaststellen.
Op de foto's is het wiel opgehangen in een vork die gemaakt is uit dunne repen aluminium, in een L-vorm geplooid voor een grotere stijfheid. Deze repen hebben maar een gewicht van 48 g. Dit is verwaarloosbaar t.o.v. 1,935 g van het wiel zelf, vooral omdat men, voor het geval van een translerend wiel, het traagheidsmoment van deze stroken moet vergelijken met het traagheidsmoment van de totale massa van het wiel beschouwd als geconcentreerd op de as. Dan is de bijdrage van deze stroken minden dan 1%.
Gewicht van het wiel: 1,935 ± 0,003 kg<br />
Afstand tussen as van het wiel en het ophangpunt: 41,0 ± 0,1 cm.
Voor de nauwkeurigheid wordt over verscheidene periodes gemeten (hier 6) en worden de metingen enkele malen herhaald. Dit leverde in dit geval een periode van:
: voor de translatie: 1,28 ± 0,01 s <br />
: voor de rotatie: 1,53 ± 0,01 s<br />
Dat is een zeer duidelijk verschil!.
De theoretische waarde voor de translatie is:
:<math>\sqrt{9,81/0,41} = 1,28</math> s, pal op de gemeten waarde.<br />
Een theoretische berekening voor de rotatie is niet mogelijk omdat het traagheidsmoment van het wiel t.o.v. de as niet gekend is en niet eenvoudig te bepalen is. De gevonden waarde betekent een traagheidsmoment van het wiel dat kan beschreven worden als een massa van 1,4 kg verspreid over de velg van het wiel. Als men het gewicht van de as (met kogellagers) aftrekt van het gewicht van het wiel, dan moet men inderdaad in de buurt van deze waarde komen.
=Gevalstudie: het dynamisch gedrag van een auto=
| |||