Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies

Belangrijk is dat men bij het aanduiden van de krachten tussen de onderdelen erop let dat '''de actie-reactiewet gerespecteerd wordt'''. Als balk A een kracht uitoefent op balk B, dan zal balk B een gelijke maar tegengesteld gerichte kracht uitoefenen op balk A. EenEén van die krachten zal men een minteken meegeven, de andere zou in theorie een plusteken moeten krijgen, maar dat wordt normaal niet geschreven. Op die manier worden er dus geen 2 onbekende krachten ingevoerd, maar slechts eenéén. Ook voor de projecties geldt dat elke projectie eenmaal als positief en eenmaal als negatief zal moeten voorkomen in de vergelijkingen. Als men de som maakt over het geheel, moeten de inwendige krachten immers tegen elkaar wegvallen.

Voor elk onderdeel moeten de evenwichtsvergelijkingen opgeschreven worden. Voor dit tweedimensionaal voorbeeld met 2 onderdelen levert dit 2x3 verglijkingenvergelijkingen = 6 vergelijkingen. Wanneer het systeem in zijn geheel onvervormbaar is, kan men ook op het geheel de evenwichtsvoorwaarden toepassen. Als krachten heeft men dan alleen de gewichten en de 2 verticale reacties in de steunpunten onderaan de ladder (zolang de ladder op een horizontaal vlak staat, anders moet er een zijdelingse reactie bijkomen in minstens eenéén van de steunpunten). Als men het stelsel van vergelijkingen met de hand moet oplossen, biedt dit evenwicht van het geheel een mogelijkheid om het stelsel op te splitsen in een reeks kleinere stelsels, die met de hand veel gemakkelijker op te lossen zijn dan het grote stelsel. Hier zou men twee stelsel van drie vergelijkingen bekomen. De vergelijkingen voor het evenwicht van het geheel vormen een stelsel afhankelijke vergelijkingen. Ze kunnen rechtstreeks opgeschreven worden of gevonden worden door de de projecties volgens elke as lid aan lid op te tellen. Na het invullen van de gevonden oplossingen in het grote stelsel heeft men dan een stelsel met drie onafhankelijke vergelijkingen minder. Hier kan men uit het evenwicht van het geheel de reactiekrachten in de steunpunten met de grond berekenen. Er blijven dan nog 3 onbekenden, X_AB, X_C ,Y_C, waarvoor nog juist 3 vergelijkingen nodig zijn. De vergelijkingen voor eenéén der delen kunnen hiervoor dienen.

Dit vorm een stelsel van 3 verglijkingenvergelijkingen in 4 onbekenden. Dus nog niet oplosbaar.

Dit vorm ook een stelsel van 3 verglijkingenvergelijkingen in 4 onbekenden, ook niet afzonderlijk oplosbaar.

Alle vergelijkingen samen vormen echter een stelsel van 6 vergelijkingen in 5 onbekenden: Y_A, X_AB, X_C ,Y_C, Y_B. De ontbrekende onbekende is een zijdelingse reactie in eenéén van de steunpunten, die hier niet nodig is.

Dit vorm een stelsel van 2 verglijkingenvergelijkingen in 2 onbekenden: Y_A en Y_B. Deze laatste kan ogenblikkelijk uit de momentenvergelijking gehaald worden als:

Men kan de vergelijkingen voor het linkerlinkse en rechterrechtse deel ook lid aan lid optellen om het evenwicht van het geheel te bekomen. Voor de momentenvergelijking is er echter een probleem omdat de momenten t.o.v. verschillende punten opgeschreven werden. Als men de momentenvergelijking voor het rechterrechtse deel ook opschrijft t.o.v. A krijgt men:

Neemt men bij vorig voorbeeld de staaf tussen de treden weg, dan bekomt men een systeem dat op zijn geheel vervormbaar is. Er zijn nu in de steunpunten zijdelingse reacties nodig om te beletten dat die zouden wegschuiven. Het grote verschil is nu dat men bij het toepassen van de evenwichtsvoorwaarden voor het geheel, niet meer een stelsel heeft dat op zichzelf oplosbaar is. In dit geval zit men met 3 vergelijkingen in 4 onbekenden: X_A, Y_A, X_B en Y_B (zie figuur hieronder). In vele gevallen kan men echter toch nog de momentenvergelijking voor het geheel opschrijven als een vergelijking in één onbekende, die ogenblikkelijk op te lossen is en zo een vertrekpunt kan vormen voor het handmatig oplossen van het stelsel. In dit geval kan men bv. de momentenvergelijking voor het geheel opschrijven t.o.v. het punt A of B. Dat zal een vergelijking leveren waarin resp. alleen Y_B of alleen Y_A voorkomt als onbekende. Als men zo bv. Y_B bepaald heeft, vormen de vergelijkingen voor het rechterrechtse deel een stelsel van 3 vergelijkingen in 3 onbekenden dat op zich op te lossen is. Dan heeft men uiteindelijk nog 2 vergelijkingen nodig van het linkerlinkse deel om X_A en Y_A te bepalen. Als men alles in de computer kan steken, is dit geval niet moeilijker dan het vorige.

Deze vergelijking is dezelfde als in het vorige geval, daar X_A en X_B geen moment hebben t.o.v. A. Ze bevat slechts 1 onbekende, nl. Y_B, en deze kan dus onmiddellijk uitgerekend worden. De oplossing invoeren in de vergelijkingen voor het rechter deel leidt tot een stelsel van 3 vergelijkingen in 3 onbekenden dat afzonderlijk oplosbaar is. Daarna moeten nog 2 vergelijkingen van het linkerlinkse deel gebruikt worden voor de reacties in A. Men vindt dezelfde oplossingen voor de Y-componenten. Voor de X-componenten vindt men nu X_A = X_B = X_C = 91,66 N, iets minder dus dan de kracht in de staaf omdat de afstand tussen deze componenten groter is.