Fysica/Trillingen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 50:
Zoals je ziet lijkt de vorm van de snelheid en de versnelling sterk op die van de verplaatsing. Ze bezitten ook dezelfde frequentie. De verplaatsing en de versnelling zijn met elkaar in tegenfase (dat wil zeggen dat als de versnelling positief is, de verplaatsing negatief is en omgekeerd. De snelheid en de verplaatsing zijn 90 graden uit fase. De snelheid bereikt zijn maximum als de verplaatsing nul is.
Dit is te aanschouwelijk te maken aan de trillingsbeweging van een slinger, zoals een schommel. De snelheid van de schommel is maximaal als de schommel door de middenpositie gaat (de uitwijking is daar nul). De snelheid is echter gelijk aan nul als de schommel in een uiteinde staat (de uitwijking is daar maximaal). Op dat punt keert de snelheid ook van teken om (de grafiek van de snelheid gaat door nul).
===De veer===
Een massa hangt aan een veer en wordt in beweging gebracht. Uit de tweede wet van Newton kunnen we nu afleiden dat de versnelling van de veer gegeven wordt door:
:<math>a=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F}{m}=-\frac{kx}{m}</math>
Een vergelijking van dit type is een '''differentiaalvergelijking'''. Differentiaalvergelijkingen zijn moeilijk op te lossen, omdat er geen eenduidige manier bestaat om deze vergelijkingen op te lossen.
Er bestaan manieren om differentiaalvergelijkingen als deze op te lossen. Bij dit probleem zullen we onze kennis van het systeem (een massa aan een veer) gebruiken om de oplossing te vinden zonder de differentiaalvergelijking te moeten oplossen.
We weten dat de massa heen en weer beweegt met een periode die onafhankelijk is van de amplitude van het systeem. Een functie die voldoet aan deze eisen is de sinusfunctie. We vervangen x in onze differentiaal vergelijking door de functie
:<math>x=A\, \sin \omega t</math>
met ω een constante.
Indien we de functie in de differentiaalvergelijking invullen vinden we
:<math>-\omega^2 A\, \sin \omega t = -A \frac{k}{m}\, \sin \omega t</math>
Merk op dat de sinusfunctie wegvalt. We houden ω<sup>2</sup>=''k''/''m'' over.
:<math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math>
ω is de hoeksnelheid van het trillend systeem. Uit ω kunnen we de periode afleiden:
:<math>T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>
De periode hangt niet af van de amplitude A.
===De slinger===
Een slinger bestaat uit een massa aan het uiteinde van een staaf, die aan de bovenzijde draaiend is opgehangen. Een slinger werkt alleen in een zwaartekrachtsveld. Als de massa opzij getrokken wordt en daarna losgelaten, zal de massa heen en weer bewegen onder de invloed van de zwaartekracht.
| |||