Klassieke Mechanica/Lagrange: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Speciale gevallen: schrijffout |
|||
Regel 52:
De term die men nodig heeft wordt dus:
:<math>\sum_i m_i\frac{d\vec v_i}{dt}\cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}=
\sum_i\left[\frac{d}{dt}(m_i\vec v_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j})\right] - m_i\vec v_i \cdot \frac {d}{dt} (\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j})</math> (III) <br />
Wanneer men naar de uitdrukking II voor de snelheid kijkt, dan blijkt dat
:<math>\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}=\frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j}</math>
Hiermede word de eerste term in III:
:<math>\sum_i \frac{d}{dt}(m_i\vec v_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}) = \sum_i \frac{d}{dt}(m_i\vec v_i \cdot \frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j}) = \sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot q_j}(m_i.v_i^2/2)\right)=\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j})</math> met T = de kinetische energie van het systeem.
Regel 69:
Alles invullen in I
:<math>\sum_j\left[(\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}) - \frac{\partial T}{\partial q_j}) - Q_j \right]\delta q_j = 0 </math>
Daar de q<sub>j</sub> onafhankelijk zijn van elkaar, moet de coëffciënt van elke δq<sub>j</sub> gelijk zijn aan nul. Men krijgt dus een stelsel van vergelijkingen van de vorm:
| |||