Sjabloon:Rekenen in de techniek/Logaritme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 89:
| Formule = <math>(10^{- \, 3})^2 \ = \ \left( \frac{1}{10 \, \times \, 10 \, \times \, 10 \, \times \, 10 \, \times \, 10 \, \times \, 10} \right) \ = \ \frac{1}{10^6} \ = \ 10^{-6}</math>
| Nummer = Verg. 13
}}{{Kolommen2 (variabel)▼
▲{{Kolommen2 (variabel)
| Footer = 2▼
| Kol1 = Ook als het minteken bij de macht staat, en de oorspronkelijke exponent positief is, werkt de regel.
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kop = Worteltrekken met exponenten
| KopLevel = 1
| Kol1 = Zoals de tegenovergestelde bewerking van optellen aftrekken, is hoort bij vermenigvuldigen het uitvoeren van een deling. Bij machtsverheffen hoort op deze manier worteltrekken. Bij worteltrekken moet je het getal uitrekenen dat met zichzelf vermenigvudigd het uitgangsgetal oplevert.
Zo is de wortel van 9 gelijk aan 3, want 3 * 3 = 9 en is de wortel van 121 gelijk aan 11, want 11<sup>2</sup> = 121.
Voor het uitrekenen van de wortel van een getal wordt de term '''worteltrekken''' gebruikt. En je trekt de wortel '''uit''' een getal: in de wiskunde wordt dit vaak gezegd als: "de wortel uit 25 is 5".
In wiskundige notatie ziet het er als volgt uit:
| Formule = <math>\sqrt{25} \ = \ 5</math>
| Nummer = Verg. 14
| Kol2 = Worteltrekken
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = Net als bij exponenten het aantal keren dat een getal met zichzelf vermenigvuldigd kan worden groter is dan 2, kunnen we dat ook bij worteltrekken toepassen. Zo kun je het getal uitreken dat 3 keer met zichzelf vermenigvuldigd 27 oplevert:
| Formule = <math>\sqrt[3]{27} \ = \ 3</math>
| Nummer = Verg. 15
| Kol2 = derdemachts wortel
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = Je ziet dat het aantal keren dat het getal met zichzelf vermenigvuldigd moet worden in het wortelteken genoteerd wordt. Als onderscheid tussen deze wortel en de "gewone" wortel wordt gezegd: "de <b>derdemachtswortel</b> uit 27 is 3". En dit is uiteraard niet tot 2 of drie beperkt. Je kunt op dezelfde manier denken over de vijfdemachts wortel of de honderdste machts wortel.
| Kol2 = Hogere machten
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = Om verwarring te voorkomen wordt de gewone wortel, zeker als we het hebben over de wortels met verschillende machten, soms aangeduid met <b>tweedemachts wortel</b> of <b>vierkantswortel</b>. Ook in de wiskundige notatie wordt dat aangegeven: de macht, 2 dus, wordt in het wortelteken weergegeven:
| Formule = <math>\sqrt[2]{81} \ = \ 9</math>
| Nummer = Verg. 16
| Kol2 = Tweedemachts wortel<br />Vierkantswortel
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kop = Exponenten
| KopLevel = 2
| Kol1 = Om te zien hoe worteltrekken met exponenten werkt, eerst een voorbeeld: trek de derdemachts wortel uit <math>2^6</math> of <math>64</math>. <math>64</math> kunnen we schrijven als:
| Formule = <math>64\ \ = \ 2 \ \times \ 2 \ \times \ 2 \ \times \ 2 \ \times \ 2 \ \times \ 2</math>
| Nummer = Verg. 17
| Kol2 = stap 1
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = Om het getal te vinden dat drie keer met zicgzelf vermenigvuldigd 64 oplevert, maken we van de factoren 3 groepjes. Er zijn 6 factoren, dus kunnen we drie groepjes maken:
| Formule = <math>64\ \ = \ (2 \ \times \ 2) \ \times \ (2 \ \times \ 2) \ \times \ (2 \times \ 2)</math>
| Nummer = Verg. 18
| Kol2 = Stap 2
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = Voor elk van de groepjes geldt dat als je ze drie keer met zichzelf vermenigvuldigd, het antwoord 64 is. Elk groepje factoren is ds een derdemachts wortel uit 64. Je kan dus schrijven:
| Formule = <math>\sqrt[3]{64} = (2 \ \times \ 2) \ = \ 4</math>
| Nummer = Verg. 19
| Kol2 = Stap 3
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = De regel is dus blijkbaar:
Bij delen met exponenten deel je de exponent door de macht van de wortel.
| Kol2 = Regel
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kop = Gevolgen van de regel
| KopLevel = 2
| Kol1 = Net als bij de [[#regel bij delen met exponenten]] heeft deze regel ook gevolgen als de exponent en de macht van de wortel niet een net heel getal opleveren. Als voorbeeld de vierkants- of gewone wortel uit 2. Als we 2 met een exponent schrijven vinden we 2<sup>1</sup>, en dus voor de wortel:
| Formule = <math>\sqrt{2} \ = \ \sqrt{2^1} \ = 2^{\frac{1}{2}} \ = \ 2^{0.5}</math>
| Nummer = Verg. 20
| Kol2 = Gebroken exponent
}}{{Kolommen2 (variabel)
| Kol1 = Wat we bij "2 een halve keer met zichzelf vermenigvuldigen", wat toch de oorspronkelijke betekenis is van de exponent, moeten voorstellen is niet echt belangrijk. Belangrijker is de vraag: "Past dit in het geheel van de regels die we al hebben?" We kunnen hiervoor kijken naar de regels voor [[#vermenigvuldigen]], [[#delen]] en [[#machtsverheffen]].
| Kol2 = Werkt wel
}}{{Kolommen2 (variabel)
▲| Footer = 2
| Kol1 = Bij vermenigvuldigen mogen we de exponenten optellen (als de grondtallen gelijk zijn). De eenvoudigste vermenigvuldiging is die waar je de uitkomst al van weet: de wortel is het getal dat met zichzelf vermenigvuldigd, het uigangsgetal oplevert:
|Formule = <math>\sqrt2 \ \times \ \sqrt2 \ = \ 2^{0.5} \ \times \ 2^{0.5} \ = \ 2^{0.5 + 0.5} \ = \ 2^1 \ = \ 2</math>
| Nummer = Verg. 21
| Kol2 = Vermenigvuldigen
}}
| |||