Toevalsprocessen/Poissonverdeling

De Poissonverdeling is een discrete kansverdeling die met name van toepassing is voor stochastische variabelen die het voorkomen van bepaalde voorvallen tellen gedurende een gegeven tijdsinterval, afstand, oppervlakte, volumen etc.

De Poissonverdeling is genoemd naar Siméon Poisson die deze kansverdeling ontdekte en samen met zijn statistische theorie in 1838 publiceerde in zijn werk Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile.

Als X de stochastische variabele is die het aantal voorvallen telt, dan is volgens de Poissonverdeling de kans dat er precies k voorvallen plaatsvinden (met k een natuurlijk getal; 0, 1, 2, ...):

$P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}.$

Hierin is:

• e het grondtal van de natuurlijke logaritme $(\mathrm {e} =2{,}71828...)$ ,
• ${k!}$ k-faculteit,
• λ een positief reëel getal, gelijk aan het verwachte aantal voorvallen in het tijdsinterval. Als er bijvoorbeeld 1 voorval elke 2 minuten wordt verwacht, en het tijdsinterval is 10 minuten, dan zou een Poissonverdeling met ${\lambda }=5$ moeten worden gebruikt.

Poissonproces

Soms wordt ${\lambda }$ iets anders gebruikt, namelijk als het verwachte aantal voorvallen per tijdseenheid. In dat geval is, met N_t het aantal voorvallen dat optreedt vóór tijdstip t:

$P(N_{t}=k)=f(k;\lambda t)={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}},$

en de wachttijd T tot het eerste voorval is een continue willekeurige variabele met een exponentiële verdeling. Deze verdeling kan worden afgeleid uit het feit dat

$P(T>t)=P(N_{t}=0)=e^{-\lambda t}\ .$

Wanneer men de tijd erbij betrekt, dan heeft men een 1-dimensionaal Poissonproces, waarin men zowel de discrete Poissongedistribueerde toevalsgrootheden heeft die het aantal aankomsten in elk tijdsinterval tellen, als de continue Erlang-gedistribueerde wachttijden. Er bestaan ook Poissonprocessen met een graad groter dan een.

Voorkomen in de praktijk

De Poissonverdeling komt voor in relatie met zogenaamde Poissonprocessen. Hij is van toepassing op diverse fenomenen die een discrete natuur hebben (dat wil zeggen dat ze 0, 1, 2, 3... keer voorkomen gedurende een gegeven tijdsinterval of in een bepaald gebied), wanneer de kans op het evenement constant is in de tijd of in de ruimte. Voorbeelden van toevalsprocessen die kunnen worden gemodelleerd als Poissonproces zijn:

• het aantal binnen een bepaalde tijd vervallen radio-actieve atoomkernen in een stuk radio-actief materiaal;
• het aantal auto's die gedurende een zekere tijd een bepaald punt van een weg passeren gegeven vrij verkeer (vrij inhalen, geen 'volggedrag' en geen verstoring door verkeerslichten);
• het aantal typefouten dat een secretaresse maakt bij het typen van een enkele pagina;
• het aantal telefoontjes dat iemand op een dag krijgt.
• het aantal keren in een minuut dat een webserver wordt benaderd.
• het aantal op een vierkante mijl van Londen gevallen bommen gedurende een Duitse luchtaanval in het begin van de Tweede Wereldoorlog.

Verband met de binomiale verdeling

De Poissonverdeling kan afgeleid worden als limietgeval van een binomiale verdeling met parameters n en λ/n, wanneer n naar oneindig gaat. Dat is de kansverdeling van het aantal gelukte pogingen uit n, met als kans λ/n op succes voor elke poging.

Eigenschappen

De verwachtingswaarde voor een Poisson-verdeelde stochastische variabele is gelijk aan λ, en de variantie ook.

De meest waarschijnlijke waarde (modus) van een Poisson-verdeelde stochastische variabele is gelijk aan het grootste gehele getal kleiner dan λ

Voor grote λ (zeg λ > 1000) is de normale verdeling met verwachting λ en standaarddeviatie √ λ een zeer goede benadering van de Poissonverdeling. Als λ > ongeveer 10, dan is de normale verdeling een goede benadering als een continuïteitscorrectie wordt gedaan: P(X ≤ x), voor Poisson-verdeelde X, wordt berekend als P(Y ≤ x + 0.5), met Y N(λ,λ)-verdeeld.

Als N en M twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn die beide een Poissonverdeling hebben met respectievelijk parameters λ en μ, dan geldt dat N + M een Poissonverdeling heeft met parameter λ + μ.