Transmissielijnen/Impedantietransformatie

We hebben gezien dat een lijn die belast is met een bepaalde impedantie, aan het begin vervangen kan worden door zijn ingangsimpedantie. De belasting aan het einde van de lijn wordt als het ware getransformeerd naar de ingangsimpedantie aan het begin. De vervangingsimpedantie is ook de getransformeerde van de impedantie die hij vervangt. Soms wordt deze mogelijkheid om met een transmissielijn een impedantie te transformeren ook direct toegepast (zie stub).

Voorbeeld

We bepalen de lengte L van een verliesvrije lijn zo, dat de ingangsimpedantie zuiver ohms is. De karakteristieke impedantie is 50Ω en de gedistribueerde capaciteit c = 10pF/m. De lijn is aangesloten op een bron met cirkelfrequentie ω = 100MHz en belast met een parallelkring bestaande uit een capaciteit C_L van 1,2nF, een inductantie L_L van 0,5µH en een weerstand R_L van 10Ω. De relatieve belastingsimpedantie is dus:

$\,z_{L}={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}={\frac {1}{Z_{0}(j\omega C_{L}+{\frac {1}{j\omega L_{L}}}+{\frac {1}{R_{L}}})}}={\frac {1}{6j+{\frac {1}{j}}+5}}={\frac {1}{5-5j}}=0{,}1+0{,}1j.$

Voor een verliesvrije lijn is

$\,Z_{0}={\sqrt {\frac {l}{c}}}$,

zodat de voortplantingscoëfficiënt is:

$\,\gamma =j\beta =j\omega {\sqrt {lc}}=j\omega Z_{0}c=0{,}05j$.

De ingangsimpedantie is:

$z_{in}={\frac {z_{L}+\tanh(\gamma L)}{1+z_{L}\tanh(\gamma L)}}={\frac {0{,}1+0{,}1j+\tanh(0{,}05jL)}{1+(0{,}1+0{,}1j)\tanh(0{,}05jL)}}$.

Deze is zuiver ohms als het imaginaire deel 0 is. Voor het gemak stellen we

$\,t=\tan(\beta L)=\tan(0{,}05L)$,

dan is dus:

$0=\operatorname {Im} (z_{in})=\operatorname {Im} \left({\frac {0{,}1+0{,}1j-tj}{1-(0{,}1+0{,}1j)tj}}\right)=\operatorname {Im} \left({\frac {0{,}1+(0{,}1-t)j}{1+0{,}1t-0{,}1jt}}\right)$.

zodat

$\,0=\operatorname {Im} ((0{,}1+(0{,}1-t)j)(1+0{,}1t+0{,}1jt))=0{,}1+0{,}98t-0{,}1t^{2}$,

met oplossingen:

$\,t_{1}=-0{,}101,\ t_{2}=9{,}901$.

M.b.v. t₂ vinden we:

$\,L={\frac {1}{0{,}05}}\arctan(t_{2})=29{,}40m$.

Met Smith-kaart

De bovenstaande berekening kan gedeeltelijk vervangen worden door het gebruik van een Smith-kaart.

Figuur 4. Impedantietransformatie

In de Smith-kaart van figuur 4 is de relatieve impedantie $z_{L}=0{,}1+0{,}1j$ uitgezet. Voor de bijbehorende reflectiecoëfficiënt lezen we een argument af van ca. 168°. Door terugdraaien over deze hoek ontstaat een reële reflectiecoëfficiënt en dus ook een reële impedantie. Over de gevraagde (minimale) lengte van de lijn moet dus een fasedraaiing van 168/2 = 84° plaatsvinden. De fasedraaiingscoëfficiënt is boven berekend: β = 0,05, dus:

$\,L\approx {\frac {1}{0{,}05}}{\frac {84}{180}}\pi =29{,}3m$.