Vectormeetkunde/Coördinaten en vectoren

Analytische ruimtemeetkunde heeft als eerste doelstelling de plaatsbepaling van punten, lijnen en vlakken in een driedimensionale ruimte. Daarna kunnen relaties tussen die elementen analytisch uitgedrukt worden. Om dit doel te bereiken zullen we veel gebruik maken van vectoren. Op deze pagina worden basisbegrippen omtrent plaatsbepaling en vectoren kort uiteengezet.

Plaatsbepaling en vectoren

Het coördinatenstelsel

Het gebruikelijke assenstelsel met onderling loodrechte x-, y- en z-as wordt een cartesisch coördinatenstelsel genoemd. Tenzij anders vermeld veronderstellen we verder dat de drie assen punt O als snijpunt hebben ('het nulpunt' of 'de oorsprong') en dat de lengte-eenheden op de drie assen even groot zijn.

Punten en coördinaten

De coördinaten van punt P zijn (2,3,4)

Zodra het coördinatenstelsel gekozen is, kan de ligging van een willekeurig punt P ondubbelzinnig worden vastgelegd door middel van een geordend drietal getallen. Die drie getallen heten de coördinaten van het punt P.
In de figuur zien we hoe het punt P wordt vastgelegd door middel van de coördinaten (2,3,4): P= (2,3,4). We noteren dit ook wel kort als P(2,3,4). Met elk punt correspondeert een uniek stel coördinaten in het gegeven assenstelsel. Het nulpunt O heeft de coördinaten (0,0,0).

Lijnstukken

Het lijnstuk dat punt A met punt B verbindt, kan worden genoteerd als [AB]. Het gaat hier om het stukje lijn tussen punt A en punt B. De plaats van het lijnstuk is volledig bepaald door de coördinaten van de eindpunten A en B.

Plaatsvector

Plaatsvector OP = P

Een vector (zie voor meer informatie over vectoren [1]) is een georiënteerd lijnstuk, een zogenaamd gericht lijnstuk met een beginpunt en een eindpunt. Een plaatsvector dient om een vaste plaats in de ruimte ondubbelzinnig aan te duiden, dit vertrekkend vanuit het nulpunt van het assenstelsel. De plaatsvector vanuit het nulpunt naar een welbepaald punt P noteren we als: OP of kortweg P.

OP is de plaatsvector vanuit O naar P. De plaats van punt P is volledig bepaald door de vector.

Daar het beginpunt bij een plaatsvector altijd de oorsprong is, is de vector ondubbelzinnig bepaald door de coördinaten (x,y,z) van het eindpunt. We noteren dit zo :

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

of in beknopte vorm als P(x,y,z).

Vrije vector

Een vrije vector legt ondubbelzinnig een translatie (zuivere verschuiving zonder rotatie) vast maar ook niet meer dan dit. Neem punt B(2,1,3) en punt C(3,3,6). We gaan nu de vrije vector van B naar C bepalen. Deze vector kan genoteerd worden als BC. Die vrije vector beschrijft een translatie van B naar C. De weg van punt B naar C kan in drie stappen gebeuren.

• 3 - 2 = 1 eenheid volgens de x-as
• 3 - 1 = 2 eenheden volgens de y as
• 6 - 3 = 3 eenheden volgens de z-as

Als het enkel om de translatie gaat, is het startpunt eigenlijk niet van belang. De translatie van O naar V(1,2,3) is dezelfde als van B naar C. Dat verklaart de naam "vrije vector". Het beginpunt kan men vrij kiezen, enkel de verschuiving is van belang. Daarom noteert men de vector soms zonder beginpunt of eindpunt te vermelden of met een naam bestaande uit een kleine letter.

${\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\,\,{\mbox{ of }}\,\,\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\,\,{\mbox{ of }}\,\,\mathbf {v} (1,2,3)$

Neem als voorbeeld de punten: O(0,0,0); A(2,2,2); B(2,1,3); C(3,3,6). We geven vier voorbeelden van vrije vectoren.

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}3\\3\\6\end{bmatrix}}\,\,\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}}\,\,\mathbf {BA} ={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}}\,\,\mathbf {AC} ={\begin{bmatrix}1\\1\\4\end{bmatrix}}$

Als een vector in O begint kan men soms niet merken of een vrije vector of een plaatsvector bedoeld wordt. Gewoonlijk is het zo dat vectoren startend in O beschouwd worden als vrije vectoren tenzij het vermeld wordt, of uit de context duidelijk is, dat het gaat over een plaatsvector of een plaatsaanduiding.

Vectoren als AB en BA heten tegengestelde vectoren. men schrijft AB = – BA

Som en verschil van vectoren

De som van twee vectoren correspondeert met het na elkaar uitvoeren van twee translaties.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix}}$

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}3\\4\\-6\end{bmatrix}}$

$\mathbf {A} +\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3\\4\\-6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2+3\\1+4\\4-6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\5\\-2\end{bmatrix}}$

Het verschil van twee vectoren A en B wordt gedefinieerd als de som van A en de tegengestelde vector van B.

$\mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +\mathbf {-B} ={\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}3\\4\\-6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2-3\\1-4\\4+6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-5\\-3\\10\end{bmatrix}}$

Algemeen:

${\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a+d\\b+e\\c+f\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a-d\\b-e\\c-f\end{bmatrix}}$

De som van twee tegengestelde vectoren is de vector 0, de 0-vector. $\mathbf {AB} +\mathbf {BA} =0$

Neem twee willekeurige punten $\mathrm {A} (a_{1},a_{2},a_{3})$ en $\mathrm {B} (b_{1},b_{2},b_{3})$ en de vectoren A, B en AB.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\end{bmatrix}}$

Hieruit volgt de algemene formule : AB = B – A

Veelvoud van een vector

Met een veelvoud van een vector bedoelt men dat de vector wordt vermenigvuldigd met een getal. Bijvoorbeeld: vector A(-2,1,4) wordt vermenigvuldigd met het getal 5.

$5{\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot (-2)\\5\cdot 1\\5\cdot 4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-10\\5\\20\end{bmatrix}}$

Algemeen geldt:

$r{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}rx\\ry\\rz\end{bmatrix}}$

Eigenschappen omtrent som en veelvouden van vectoren

Voor alle vectoren $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ en $\mathbf {C}$ en alle getallen $r$ en $s$ geldt:

• $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} =\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )$
• $\mathbf {A} +\mathbf {O} =\mathbf {A}$
• $\mathbf {A} +(\mathbf {-A} )=\mathbf {O}$
• $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$
• $r(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=r\mathbf {A} +r\mathbf {B}$
• $(r+s)\mathbf {A} =r\mathbf {A} +s\mathbf {A}$
• $r(s\mathbf {A} )=(rs)\mathbf {A}$

Midden en Zwaartepunt

Midden van een lijnstuk

Noem punt M het midden van een lijnstuk [AB]. Dan is

${\begin{array}{llll}&\mathbf {AM} &=&\mathbf {MB} \\\Leftrightarrow &\mathbf {M} -\mathbf {A} &=&\mathbf {B} -\mathbf {M} \\\Leftrightarrow &2\mathbf {M} &=&\mathbf {A} +\mathbf {B} \\\Leftrightarrow &\mathbf {M} &=&{\cfrac {\mathbf {A} +\mathbf {B} }{2}}\\\end{array}}$

Voorbeeld:
Neem de punten A(2,5,0) en B(4,3,2).

$\mathbf {M} ={\frac {1}{2}}\left({\begin{bmatrix}2\\5\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}4\\3\\2\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}3\\4\\1\end{bmatrix}}$

Het midden M van [AB] is punt M(3,4,1).

Zwaartepunt van driehoek

Noem Z het zwaartepunt van de driehoek ABC en M = het midden van [AB]. Het zwaartepunt Z verdeelt de zwaartelijn [CM] zo dat |CZ| = 2.|ZM|. Er geldt:

CZ = 2.ZM

$\Leftrightarrow$ Z - C = 2.(M - Z)

$\Leftrightarrow$ 3.Z = 2.M + C

$\Leftrightarrow$ 3.Z = A + B + C

$\Leftrightarrow$ Z = (A + B + C)/3

Voorbeeld:
Neem A(2,5,0) , B(4,3,2) en C(3,4,7).Het zwaartepunt van driehoek ABC is punt Z(3,4,3).

Zwaartepunt van een viervlak ABCD

Z is zwaartepunt van viervlak ABCD

Noem $\mathrm {Z'}$ het zwaartepunt van driehoek ABC. Dan is $\mathbf {Z'} ={\frac {\mathbf {A} +\mathbf {B} +\mathbf {C} }{3}}$. Het zwaartepunt Z verdeelt $[\mathrm {DZ'} ]$ zo dat

${\begin{array}{lll}&\mathbf {DZ} &=3\cdot \mathbf {ZZ'} \\\Leftrightarrow &\mathbf {Z} -\mathbf {D} &=3\cdot (\mathbf {Z'} -\mathbf {Z} )\\\Leftrightarrow &4\cdot \mathbf {Z} &=3\cdot \mathbf {Z'} +\mathbf {D} =\mathbf {A} +\mathbf {B} +\mathbf {C} +\mathbf {D} \\\Leftrightarrow &\mathbf {Z} &={\cfrac {\mathbf {A} +\mathbf {B} +\mathbf {C} +\mathbf {D} }{4}}\end{array}}$

Lengte of Norm van een vector

Neem de vector

$\mathbf {P} =\mathbf {OP} ={\begin{bmatrix}3\\3\\6\end{bmatrix}}$.

Om aan te duiden dat het om de 'lengte van een vector' gaat, plaatsen we aan beide zijden van de vector een rechte streep, of een dubbele streep. De lengte of norm van P is

$\mid \mathbf {OP} \mid =\parallel \mathbf {OP} \parallel =\parallel \mathbf {P} \parallel$

Om deze lengte te bepalen moet er tweemaal pythagoras worden toegepast.

${\parallel \mathbf {P} \parallel }={\sqrt {3^{2}+3^{2}+6^{2}}}=7,35$.

De norm van P vindt men door tweemaal pythagoras toepassen in gepaste rechthoekige driehoeken

Algemeen geldt:

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

De lengte of de norm van die vector is : ${\parallel \mathbf {P} \parallel }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Als P(x₁,y₁,z₁) en Q(x₂,y₂,z₂) twee punten zijn dan is de norm van de vector PQ gelijk aan ||PQ|| = ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$

Eigenschappen :

• Deelt men een vector door zijn norm dan is het resultaat een vector met norm 1. Een vector met norm 1 heet een eenheidsvector of genormeerde vector.
• Voor elke vector V en elk getal r geldt: ||r V|| = |r| ||V||

Inproduct

Het "inproduct" of "scalair product" van 2 plaatsvectoren A en B is bepaald door ||OA||.||OB||.cos(t). Hierin is t de hoek ingesloten tussen de twee vectoren. Dit scalair product wordt genoteerd als A . B. Merk op dat het inproduct van twee vectoren een getal is.

Men kan aantonen dat het scalair product van $\mathbf {A} {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}$ en $\mathbf {B} {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}$ gelijk is aan $a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$.

Eigenschappen

Voor alle vectoren A, B en C en alle getallen r en s geldt

• A . B = B . A
• (r A).(s B) = r.s (A.B)
• A.(B+C) = A.B + A.C
• A . A = A² = ||A||²

Orthogonale vectoren

Uit het voorgaande volgt dat twee vectoren A en B loodrecht op elkaar staan of orthogonaal zijn als hun inproduct nul is.

Voorbeeld: De vectoren A(2,3,-1) en B(3,1,9) zijn orthogonale vectoren.

Loodrechte projectie van een vector op een vector

De projectie van P op Q is P'

De loodrechte projectie van een vector P op een vector Q is een vector P' waarbij punt P' de loodrechte projectie is van het punt P op de rechte OQ. Definieer de eenheidsvector E als de genormeerde vector Q. Dus E = Q / ||Q||. Dan geldt:

P.E = P' . E

$\Rightarrow$ (P.E) E = ( P'.E ) E

Nu is ' P'.E = ||P' ||.||E||.cos(0) = ||P' ||.1.1

$\Rightarrow$ (P.E) E = || P' || E

Daar E = Q / ||Q||

$\Rightarrow$ ( P . (Q / || Q ||) ) ( Q / || Q || ) = P'

Eigenschap : A.(B/r) = A.(B.(1/r)) = (A.B).(1/r) = (A.B)/r

$\Rightarrow$ ( P.Q / || Q ||) ( Q / || Q || ) = P'

Eigenschap : (A/r).(B/r) = (A.B)/r²

$\Rightarrow$ ( ( P.Q ) Q ) / ||Q||² = P'

Eigenschap : ||A||² = A²

$\Rightarrow$ ( ( P.Q ) Q ) / Q² = P'

Besluit:

De loodrechte projectie van een vector P op een vector Q is ( ( P.Q ) Q ) / Q²

Voorbeeld

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}4\\-1\\-10\end{bmatrix}}$ en $\mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}}$

We berekenen de projectie van vector P op vector Q

P . Q = 4 - 2 + 10 = 12 en Q² = 1 + 4 + 1 = 6

De projectie van vector P op vector Q is dan 12 Q/6 = 2 Q = ${\begin{bmatrix}2\\4\\-2\end{bmatrix}}$

Kruisproduct

Het vectorieel of kruisproduct a × b van twee vectoren a en b wordt gedefinieerd als een vector welke voldoet aan de volgende 3 regels:

• De vector a × b is orthogonaal met a en met b
• a, b en a × b vormen in die volgorde een rechtshandig assenstelsel.
• ||a × b|| = ||a||.||b|| sin(t), waarin t de hoek tussen de vectoren a en b is.

Practische berekening van a × b :

Als:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ en $\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}$,

geldt:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{bmatrix}yz'-y'z\\-(xz'-x'z)\\xy'-x'y\end{bmatrix}}$

De lezer kan meer informatie vinden over het kruisproduct via [2].