Verzamelingen/Basisbewerkingen

Na het bestuderen van dit hoofdstuk:

Weet je wat doorsnede van twee verzamelingen is

Weet je wat de vereniging van twee verzamelingen is

Weet je wat het complement van een verzameling is.

Weet je hoe je twee verzamelingen kunt aftrekken.

Basisbewerkingen van / Operaties op verzamelingen

In het vorige hoofdstuk hebben we gezien wat een deelverzameling is en wat we er mee kunnen doen. In dit hoofdstuk kijken we naar 3 bewerkingen op verzamelingen: De doorsnede, de vereniging en het complement. We gebruiken Venn-diagrammen als illustratie.

Doorsnede

Doorsnede van verzamelingen $A$ en $B$

De doorsnede van twee verzamelingen is een verzameling met de elementen die in beide verzamelingen voorkomen. We noteren de doorsnede met het ∩ teken.

Voorbeeld:

Als A={1,2,3,4,5} en B={4,5,6,7,8}, dan bestaat de doorsnede A$\cap$ B = {4,5}

Definitie:

$A\cap B=\{x\mid x\in A{\text{ en }}x\in B\}$

Andere voorbeelden zijn:

• Als B={de kleuren van de Belgische vlag}={Geel, Rood, Zwart} en D={de kleuren van de Duitse vlag} dan B$\cap$D = B=D.
• Als A={a,b,c} en B={ x,y,z} dan A$\cap$B = $\phi$
• Als $A=\{x\mid x\in \mathbb {N} ,x>0\}$ en $B=\{x\mid x\in \mathbb {N} ,x<=0\}$, dan $A\cap B=\{0\}$
• Laat $A=\{f(x)\mid \ x\in \mathbb {N} {\text{ en }}f(x)=3x+2\}$. Laat $B=\{f(x)\mid \ x\in \mathbb {N} {\text{ en }}f(x)=-4x+3\}$. Dan bestaat $A\cap B=\{0\}$ uit het kruispunt van de twee lijnen.

De Doorsnede heeft een aantal overeenkomsten met het optellen bij gewoon rekenen in $\mathbb {R}$:

Eigenschap	Rekenen	Doorsnede
Gesloten	Als a en b natuurlijke, gehele, rationele of reële getallen zijn, dan is a+b een natuurlijk, geheel, rationaal of reëel getal	Als A en B verzamelingen zijn, dan is A ∩ B ook een verzameling.
Commutatief	a + b = b+a	A ∩ B = B ∩ A
Associatief	a + (b + c) = (a +b ) + c	A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Neutraal element of 0-element	a + 0 = a voor alle a	A ∩ U = A voor alle A
Inverse bewerking	Voor alle a is er een invers element b zodat a+b = 0	Voor deze eigenschap kent de doorsnede geen overeenkomst

In de tak van wiskunde die w:Groep (wiskunde):Groepentheorie genoemd wordt, wordt een set verzamelingen met de doorsnede bewerking als een (abelse) semi-groep gezien.

Vereniging

Vereniging van 2 verzamelingen A ∪ B

De tegenhanger van de doorsnede is de Vereniging. Wanneer we 2 verzamelingen A en B hebben, dan bevat de vereniging A ∪ B van die twee verzamelingen alle elementen die in A zitten, en daarbij alle elementen die in B zitten, en natuurlijk dus ook alle elementen die in de doorsnede A

Voorbeelden:

• Als A={a, b, c} en B={c, d, e}.

Dan is A ∪ B = {a, b, c, d, e}

• Als A={y(x):y(x)=ax+b} en B={f(y):x(y)=c}, dan bevat A alle lijnen in het platte vlak met uitzondering van de vertikale lijn, en B bevat alle vertikale lijnen. De vereniging bevat dan alle lijnen in het platte vlak.

Definitie

A ∪ B = {x:x $\in$ A of x $\in$ B}

We kunnen hier een zelfde tabel opstellen als bij de doorsnede.

Eigenschap	Rekenen	Vereniging
Gesloten	Als a en b natuurlijke, gehele, rationele of reële getallen zijn, dan is a+b een natuurlijk, geheel, rationaal of reëel getal	Als A en B verzamelingen zijn, dan is A ∩ B ook een verzameling.
Commutatief	a + b = b+a	A ∪ B = B ∪ A
Associatief	a + (b + c) = (a +b ) + c	A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Neutraal element of 0-element	a + 0 = a voor alle a	A ∪ $\phi$ = A voor alle A
Inverse bewerking	Voor alle a is er een invers element b (namelijk -a) zodat a+b = 0	Voor deze eigenschap kent de vereniging geen overeenkomst

Complement

De derde basisbewerking is het complement.

Definitie: Het Complement van een verzameling A bestaat uit alle elementen uit het Universele verzameling U die niet in de verzameling A zitten.. We noteren het complement als :$A^{c}$ of ${\bar {A}}$. Er is geen verschil in betekenis tussen $A^{c}$ en ${\bar {A}}$, het zijn gewoon twee verschillende notaties voor een en hetzelfde begrip.

Meer wiskundig geformuleerd:

$A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}$

Voorbeelden:

U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, oftewel de verzameling van alle cijfers. Stel A={1, 2, 3}. Dan $A^{c}$ = {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}

In een Venndiagram:

Het complement $A^{c}$ van de deelverzameling $A$ van $U$:
$A^{c}=U\setminus A$.

Eigenschappen

Het complement van het complement van een verzameling is de verzameling zelf:

$(A^{c})^{c}=A$ (stelling 3.1)

Samen met het complement vormt een verzameling de hele universele verzameling:

$A^{c}\cup A=U$ (stelling 3.2)

Een verzameling heeft geen gemeenschappelijk element met zijn complement:

$A^{c}\cap A=\emptyset$ (stelling 3.3)

'Buiten' de universele verzameling is niets:

$U^{c}=\emptyset$ (stelling 3.4)

$\emptyset ^{c}=U$ (stelling 3.5)

Verschil

De Vereniging van verzamelingen lijkt ogenschijnlijk wel wat op optellen, al is het duidelijk dat er verschillen zijn. Zo is bijvoorbeeld het aantal elementen in A ∪ B niet per definitie hetzelfde als de som van het aantal elementen in A + het aantal elementen in B.

Toch bestaat er een operatie die we 'aftrekking' noemen.

B-A is het rood gekleurde deel

Definitie

B-A=(x:x$\in$B en x$\notin$A}

Voorbeelden

• Laat A={1, 2, 3, 4, 5} en B={4 , 5, 6, 7, 8, 9}. Dan is B-A={1, 2, 3}
• Laat A={(x,y): y=ax^2+bx+c} en B={(x,y):y=dx=e}. Dan bestaat A-B uit de verzameling 'echte' parabolen, A-B={(x,y): y=ax^2+bx+c met a ongelijk 0}

Deelverzamelingen - enkele hulpstellingen

• Als D₁ en D₂ deelverzamelingen van V zijn, dus D₁ ⊆ V en D₂ ⊆ V, dan is (D₁$\cap$D₂) ⊆ (D₁ ∪ D₂)(propositie 3.1)
• Als D₁ en D₂ deelverzamelingen van V zijn, dus D₁ ⊆ V en D₂ ⊆ V, dan D₁$\cap$D₂⊆ V (propositie 3.2)
• Als D₁ en D₂ deelverzamelingen van V zijn, dus D₁ ⊆ V en D₂ ⊆ V, dan D₁ ∪ D₂⊆ V (propositie 3.3)

Bewijs:

propositie 3.1: als x een element van de doorsnede van D₁ en D₂ is, dan is x een element van D1. Omdat D₁ een deelverzameling is van de vereniging van D₁ en D₂, is x een element van de vereniging.

Propositie 3.2 volgt direct uit propositie 3.1 en 3.3D₁, We bewijzen daarom propositie 3.3:

Laat x een willekeurig element van de vereniging van D₁ en D₂ zijn. Dan is x een element van D₁ en/of van D₂. Stel het is een element van D₁. Omdat dit een deelverzameling van V is, is x een element van V. Idem als x een element van D₂ zou zijn. q.e.d.

Toepassingen

De Engelse wiskundig Charles Ludwig Dodgson, beter bekend als w:Lewis Carroll, schreef behalve verrukkelijke kinderboeken ook wiskundige boeken. Hij verzamelde een groot aantal problemen in boeken als "Symbolic Logic" en "The game of Logic". We zullen er hier enkele beschrijven, omdat deze met verzamelingen kunnen worden opgelost.

Voorbeeld
a. Geen vette dieren rennen goed
b. Sommige hazewindhonden rennen goed
Wat kunnen we hier uit concluderen?

Hoe pakken we dit aan?
We zien 3 verzamelingen, die we hierbij gelijk met een letter aangeven. V=Vette dieren, G=Goede renners, H=hazewindhonden. De eerste bewering (a.) zegt dat de verzamelingen V en G disjunct zijn, dus een lege doorsnede hebben. De tweede bewering (b.) zegt dat de doorsnede van G en H niet leeg is. Laat x een element van de doorsnede van G en H zijn. Omdat x dan element van G is, en G en V geen gemeenschappelijke elementen hebben, is x dus geen element van V. Terugvertaald naar onze vraag: Sommige hazewindhonden zijn niet vet.

Zie de opgaven voor meer van zijn problemen.

Engels

• Doorsnede: Intersection
• Vereniging: Union
• Complement: Complement
• Verschil: Difference

Opgaven

III.1 Geef van de volgende beweringen aan of ze waar of niet waar zijn:

III.1.i) De Universele verzameling U heeft complement $\phi$

III.1.ii) De Universele verzameling U heeft geen complement

III.1.iii) De leger verzameling $\phi$ is zijn eigen complement

III.1.iv) Als twee verzamelingen A en B disjunct zijn, is de doorsnede $\phi$

III.1.v) Als een element e geen element is van A, die deel is van Universele verzameling U, dan is e $\in$ A^c

III.2 Schrijf de volgende verzamelingen uit in de vorm {element 1, ... , element n}

III.2.i) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A ⋂ B?

III.2.ii) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A ⋃ B?

III.2.iii) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A-B?

III.2.iv) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A\B?

III.2.v) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en de Universele verzameling is $\mathbb {N}$, wat is dan A^c?

III.3) Schrijf minstens 3 deelverzamelingen van {Geit, Varken, Koe, Kip} op.

III.4) Wat is de vereniging van {do, re, mi} en (bas, tenor}?

III,5) Wat zijn de elementen van {Koe, kip, kat, kariboe, krokodil} - {kip, kariboe, kat, koala, kolibri}?

III.6

Sommige vakanties zijn regenachtig.
Regenachtige dagen zijn vermoeiend.
Wat kun je hieruit concluderen?

III.7

Geen oude konijnen zijn egoïstisch
Alle zwarte konijnen zijn egoïstisch
Wat kun je hieruit concluderen?

III.8

Babies zijn onlogisch
Niemand die een krokodil aankan, wordt veracht
Onlogische personen worden veracht
Wat kun je hieruit concluderen?

III.9

Onder de spijskaart in een chique restaurant stond:
"Goed voedsel is niet goedkoop - Goedkoop voedsel in niet goed"

Zijn dit twee verschillende beweringen, of komen ze op hetzelfde neer?
(Dit probleem komt o.a. voor in "A beginners guide to Mathematical Logic", geschreven door de Amerikaanse wiskundige Raymond Smullyan. Mogelijk is dit probleem eerder door anderen al geformuleerd).

Samenvatting: In dit hoofdstuk heb je geleerd dat:

de doorsnede van twee verzamelingen (A ∩ B) bestaat uit de elementen die in zowel A als B voorkomen

de vereniging van twee verzamelingen (A ∪ B) bestaat uit de elementen die in minstens 1 van de twee verzamelingen voorkomen.

het Complement van een verzameling bestaat uit de elementen die niet in verzameling A voorkomen. We noteren het Complement als A^C

Het verschil van 2 verzamelingen A-B bestaat uit de elementen die wel in A maar niet in B zitten.