Verzamelingen/Geschiedenis van de verzamelingenleer

Axioma's

De Griekse wiskundige Euclides beschreef in het begin van de derde eeuw voor Christus zijn boek de elementen. Hij poneerde hier 5 axioma's, die volgens hem de basis van de meetkunde vormden. In zijn 13-delige boek vatte hij de meetkundige kennis uit die tijd samen en leidde deze af uit deze 5 axioma's Deze vijf postulaten zijn:

Door twee punten kan altijd een rechte lijn getrokken worden.
Elke rechte lijn kan eindeloos als rechte lijn uitgebreid worden.
Elk lijnstuk kan de straal zijn van een cirkel met een van de uiteinden van dat lijnstuk als middelpunt.
Alle rechte hoeken zijn congruent.
Als twee lijnen een derde lijn zo snijden dat de som van de binnenhoeken aan een kant kleiner is dan twee rechte hoeken, dan moeten deze twee lijnen elkaar onvermijdelijk snijden als ze genoeg verlengd worden.

Kunnen we dat trucje doen voor alle wiskunde?

Veel wiskundigen vonden het mooi als de hele wiskunde op een beperkt aantal axioma's terug gebaseerd konden worden. Daarvoor kwamen in de 19e eeuw de verzamelingen in beeld.

De onderbouwing van het hele wiskunde bouwwerk vanuit een beperkt aantal axioma's was overigens niet de enige aanleiding voor de verzamelingentheorie. Er was in de 19e eeuw ook een diepe discussie over wat nu een functie was, tekortkomingen in de behandeling van oneindige reeksen, en uitzonderingspunten waarvoor convergentie niet wordt aangenomen. Aan het eind van de 19 eeuw legden Cantor en anderen het fundament van de theorie van verzamelingen. Toen Cantor met de verzamelingentheorie een aantal vragen over de uitzonderingspunten bij convergentie kon analyseren, bleek de waarde van de verzamelingentheorie.

In het eerste hoofdstuk van dit boek zagen we dat de losse definitie van verzamelingen tot problemen leidde. Deze problemen hadden te maken met zelf-referentie.
Voorbeeld 1: de barbier van Sevilla.
In het middeleeuwse Sevilla was maar 1 barbier, en deze had een bord voor zijn kapperszaak waarop stond: “Ik scheer alle mannen in Sevilla die niet zichzelf scheren.” Dat leek heel duidelijk, tot er iemand voorbijkwam die vroeg: En hoe zit dat met u? Scheert u uzelf of niet? Als hij zich zelf niet scheerde, zou hij volgens het bord zichzelf moeten scheren. Maar als hij zichzelf wel scheerde, viel hij volgens het bord niet onder de groep mannen die zdoor hem geschoren werd.
Voorbeeld 2: De catalogus van bibliotheken.
Voor de opkomst van de automatisering hadden veel bibliotheken een catalogus waar alle boeken in stonden die de bibliotheek aan het begin van dat jaar bezat. Sommige van die catalogi vermelden zichzelf, anderen deden dat niet. Toen kwam er een gespecialiseerde bibliotheek die alle catalogi van bibliotheken verzamelde. Waar de catalogus niet zichzelf vermelde. Als die bibliotheek een catalogus maakt, moet die catalogus dan zichzelf vermelden of niet? Als de catalogus zichzelf niet vermeldt, hoort de catalogus in deze gespecialiseerde bibliotheek thuis, en is dus een boek in de bibliotheek, en moet als boek in de bibliotheek zichzelf vermelden. Andersom, als de catalogus zichzelf wel vermeldt, hoort de catalogus niet in deze speciale bibliotheek thuis. Whitehead en Russell losten in hun Principa Mathematica (3 delen, 1910, 1912 en 1913) op door alleen met geconstrueerde verzamelingen te werken, zoals we dat in Hoofdstuk 2 gezien hebben. Het nadeel van hun stelsel, hoewel mooi geconstrueerd, bleek dat het niet krachtig genoeg was om alle verzamelingen te ondersteunen die we wilden.

ZFC

Het axioma stelsel van Zermelo-Fraenkel was een stelsel van 8 axioma's dat wel krachtig genoeg leek. Aangevuld met het zogenoemde Keuze axioma, werd het aan het begin van de 20e eeuw het leidende axioma stelsel voor de theorie van verzamelingen. Dit axioma stelsel wordt ZFC genoemd. De C staat daarbij voor het Axiom of Choice. In het midden van de 20e eeuw publiceerde Ernst Gödel een tweetal bewijzen, waarvan de eerste er op neerkomt dat elk axioma stelsel dat voldoende krachtig is om het rekenen te ondersteunen, onvolledig is. Daarmee bedoelde hij dat er altijd stellingen te bedenken zijn, waarvan we niet op basis van de axioma's kunnen bewijzen dat ze waar zijn, maar waarvan we ook niet kunnen bewijzen dat ze niet waar zijn.

Helaas

Aan het begin van de 21e eeuw ontdekten de theoretici die zich met de verzamelingenleer bezig houden, dat er een groot aantal belangrijke stellingen zijn, die onafhankelijk zijn van het ZFC axioma stelsel. Dat wil zeggen dat ze er niet mee strijdig zijn, maar er ook niet uit bewezen kunnen worden. Onder theoretici staat dit bekend als het Independence-problem, het onafhankelijkheidsprobleem.
Anno 2022 zijn er een aantal technieken ontwikkeld waarmee stellingen op Independence onderzocht kunnen worden.