Verzamelingen/Oplossingen opgaven

Hoofdstuk I Verzamelingen

I.1

I.1.i Niet juist, een verzameling bevat elementen, en een element kan een verzameling zijn, maar dat hoeft niet.

I.1.ii Niet juist, de lege verzameling heeft geen element.

I.1.iii Correct

I.1.iv Juist. Als een een element in een universum is, dan is {x} een verzameling die x als element heeft.

I.1.v Correct.

I.1.vi Niet juist, de negatieve breuken ontbreken.

I.2

Mogelijke manieren zijn:

• K={x $\in$|x is een klinker}
• K={a,e,i,o,u}

I.3

Kleuren van de Belgische vlag = {Geel, Rood, Zwart} Een andere volgorde mag ook.

I.4

Belangrijke verzamelingen zie tekst

• $\mathbb {N}$= natuurlijke getallen
• $\mathbb {Z}$= gehele getallen
• $\mathbb {Q}$=Rationele getallen
• $\mathbb {A}$=Algebraïsche getallen
• $\mathbb {R}$=Reele getallen
• $\mathbb {C}$=Complexe getallen

I.5

Enkele manieren om de verzameling even getallen te definiëren zijn:

• {x$\in$N| x is te schrijven als x=2k voor een k$\in \mathbb {N}$}
• {2k|k$\in$N}
• {0, 2, 4, 6, 8, ….}

De eerste twee manieren zijn wat exacter dan de derde, maar de derde is minstens zo duidelijk, al suggereert het dan alleen de positieve even getallen worden bedoeld, gterwijl de eerste twee schrijfwijzen ook de negatieve even getallen meenemen.

I.6

Het aantal elementen is 5, dus de kardinaliteit is 5.

I.7

De verzameling complexe getallen heeft overaftelbaar veel elementen. De verzameling reële getallen heeft al overaftelbaar elementen, en de verzameling complexe getallen omvat de verzameling reële getallen.

I.8

1. {Blauw, Rood, Wit}
2. {Blauw, Wit, Rood}
3. {Rood, Blauw, Wit}
4. {Rood, Wit, Blauw}
5. {{Wit, Blauw, Rood}
6. {Wit, Rood, Blauw}
7. {Kleuren: Kleur komt voor in de Nederlandse vlag}
8. {Kleuren| Kleur komt voor in de Nederlandse vlag}
9. {Kleuren: Kleur komt voor in de Russische vlag}
10. {Kleuren| Kleur komt voor in de Russische vlag}

Hoofdstuk II Deelverzamelingen

II.1

II.1.i) Correct

II.1.ii) Niet juist. De lege verzameling is leeg en heeft dus geen elementen

II.1.iii) Correct.

II.1.iv) Correct

II.2

Als Betsy een koe is, en alle koeien in de wei staan, waar staat Betsy dan?

Laat K de verzameling koeien zijn.

Omdat Betsy een koe is, kunnen we schrijven: Betsy $\in$ K.

Omdat alle elementen van K in de wij staan, staat Betsy ook in de wei.

II.3

Als Jan een loodgieter is, en alle loodgieters verantwoordelijk werk doen, wat kunnen we dan over Jan zeggen?

Dit probleem heeft dezelfde struktuur als de vorige.

Laat L de verzameling loodgieters zijn. We weten dat alle loodgieters verantwoordelijk werk doen.

Omdat Jan $\in$ L, heeft ook Jan deze eigenschap.

II.4

Dagpauwogen zijn vlindersoorten. Alle vlindersoorten zijn insecten. Wat kunnen we zeggen over dagpauwogen?

Laat V de verzameling vlindersoorten zijn

Laat I de verzameling soorten insecten zijn.

We weten dat dagpauwoog $\in$ V.

We weten dat V ⊆ I.

Dus dagpauwoog $\in$ V.

II.5

Als a ∈ A en A ⊆ B, dan a ∈ B. Omdat a $\in$ is a dus een element van A.

A ⊆ B wil zeggen dat alle elementen van A in B zitten, dus is a een element van B.

II.6

Als A ⊆ B en B ⊆ C, dan A ⊆ C.

A ⊆ B wil zeggen dat alle elementen van A in B zitten.

B ⊆ C wil zeggen dat alle elementen van B in zitten, dus ook de elementen van A.

III Basis operaties

III.1

III.1 Geef van de volgende beweringen aan of ze waar of niet waar zijn:

III.1.i) De Universele verzameling U heeft complement $\phi$: Juist

III.1.ii) De Universele verzameling U heeft geen complement: Niet juist

III.1.iii) De leger verzameling $\phi$ is zijn eigen complement: Niet juist. De universele verzameling U is het complement van $\phi$

III.1.iv) Als twee verzamelingen A en B disjunct zijn, is de doorsnede $\phi$: juist. Disjunct wil zeggen dat ze geen element gemeenschappelijk hebben, dus dat is de lege verzameling.

III.1.v) Als een element e geen element is van A, die deel is van Universele verzameling U, dan is e $\in$ A^c: Juist

III.2

III.2.i) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A ⋂ B?

A ⋂ B = {2, 4}

III.2.ii) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A ⋃ B?

A ⋃ B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

III.2.iii) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A-B?

A-B = {1, 3, 5}

III.2.iv) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A\B?

"A-B" en "A\B" zijn twee verschillende schrijfwijzen voor hetzelfde, dus ook hier is het antwoord a\B={1, 3, 5}

III.2.v) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en de Universele verzameling is , wat is dan A^c?

A^c = {n|N$\in \mathbb {N}$ en n>=6} = {6, 7, 8, 9, ...}

II.3

• II.2) Schrijf minstens 3 deelverzamelingen van {Geit, Varken, Koe, Kip} op.

Mogelijke deelverzamelingen zijn {}, {Geit}, {Varken}, {Koe}, {Kip}, {Geit, Varken}, {Koe, Kip}, {Geit, koe} {geit, kip}, {varken, koe}, {varken, kip}, {Geit, Varken, Koe} , {Geit, Varken, Kip}, {Geit, Koe, Kip}, {Varken, Koe, Kip}, {Geit, Varken, Koe, Kip}

II.4

• II.3) Wat is de vereniging van {do, re, mi} en (bas, tenor}?

{do, re, mi, bas, tenor}

II.5

• II,4) Wat zijn de elementen van {Koe, kip, kat, kariboe, krokodil} - {kip, kariboe, kat, koala, kolibri}?

{krokodil}

III.6

III.3 Sommige vakanties zijn regenachtig.
Regenachtige dagen zijn vermoeiend.
Wat kun je hieruit concluderen?

V=Vakanties. R=Regenachtige dagen.
T=Vermoeiende dagen
Doorsnede V en R is niet leeg
R is deelverzameling van T
Conclusie: Doorsnee van V en T is niet leeg ==> Sommige vakantiedagen zijn vermoeiend.

III.7

Geen oude konijnen zijn egoïstisch.
Alle zwarte konijnen zijn egoïstisch.
Wat kun je hieruit concluderen?

Laat O=oude konijnen, E=Egoistische konijnen, Z=zwarte konijnen.
Doorsnede O en E is leeg.
Z is deelverzameling van E.
==> doorsnede O en Z is leeg. ==> Er zijn geen oude zwarte konijnen.

III.8

Babies zijn onlogisch.
Niemand die een krokodil aankan, wordt veracht.
Onlogische personen worden veracht.
Wat kun je hieruit concluderen?

Laat B=verzameling BabiesLaat V=verzameling verachte mensen.
Laat K=verzameling mensen die krokodil aankunnen.
Laat O=verzameling Onlogische personen.
Dan:
B is deelverzameling van O.
K heeft lege doorsnede met V.
O is deelverzameling van V.
B is deelverzameling van O is deelverzameling van V ==> B is deelverzameling van V.
Dus B heeft lege doorsnede met K ==> Er zijn geen Babies die een Krokodil aankunnen.

III.9 De spijskaart

"Goed voedsel is niet goedkoop - Goedkoop voedsel in niet goed" We onderscheiden twee verzamelingen:

• Goed voedsel
• Goedkoop voedsel

De eerste bewering kunnen we lezen als "Er is geen goed voedsel dat goedkoop voedsel is". In termen van verzamelingen: Er is geen element van de verzameling "goed voedsel" dat in de verzameling "goedkoop voedsel" valt. De doorsnede van deze twee verzamelingen is dus leeg.
De tweede bewering betekent eveneens dat er geen element van "Goedkoop voedsel" is, dat ook een element van "Goed voedsel" is. Oftewel beide beweringen komen er op neer dat de doorsnede leeg is.

IV Carthesisch product

IV.1

IV.1.i) Onwaar.

IV.1.ii) Waar.

IV.1.iii) Onwaar. Als A={1} en B={a,b} dan is het Cartesisch product A X B = {(1,a), (1,b)}

IV.2

Als A={a, b} en B={3,4}, dan A X B ={ (a,3), (a,4), (b,3), (b,4)}
Als A={a, b} en B={3,4}, dan B X A ={ (3,a), (3,b), (4,a), (4,b)}

IV.3

a. Als A={Waar, onwaar} en we korten Waar en Onwaar af als W en O, dan is AxA = {(W, W), (W, O), (O, W), (O, O)}

b. De kardinaliteit van A² = A X A is dus 4.

c. De kardinaliteit van A³ = {(W,W,W), (W,W,O),(W,O,W, (O,W,W), (W,O,O), (O,W,O), (O,O,W), (O,O,O)} dus de kardinaliteit =8.

d. De kardinaliteit van Aⁿ is 2ⁿ. Voor de eerste plek zijn 2 mogelijkheden, voor 2 plekken zijn dus 2x2=4 mogelijkheden, en met elke extra plek verdubbelt dit aantal weer.

IV.4

{O,O,O}
{1,O,O}
{O,1,O}
{O,O,1}
{1,1,0}
{1,0,1}
{0,1,1}
{1,1,1}

V Relaties en afbeeldingen

Relaties: V.1 Waar of niet waar

V.1.a Een relatie tussen elementen van verzameling V en verzameling W is een deelverzameling van het Cartesisch product V X W. Antwoord: Correct

V.1.b Een relatie tussen elementen van een verzameling V raakt altijd alle elementen van die verzameling. Antwoord: Niet juist. Zo si bijvoorbeeld delen een een relatie tussen $\mathbb {N}$ X $\mathbb {N}$ en $\mathbb {N}$, terwijl delen door 0 niet is toegestaan.

V.2 Relaties

V.2: schets een derde relatie tussen A en B in het voorbeeld van relaties.

De twee getekende relaties zijn op vorm (cirkel met cirkel etc) en op vulling (geel met geel etc). Een derde relatie kan zijn op de dikte van de rand.

V11. Afbeeldingen waar of niet waar

V.11.a elke afbeelding van A in B is een relatie tussen A en B. Antwoord: Correct

V.11.b elke relatie tussen 2 verzamelingen A en B is een functie van A naar B. Antwoord: Niet juist. Een functie of afbeelding of afbeelding heeft een richting, een relatie kan die hebben maar hoeft die niet te hebben.

V.11.c Afbeeldingen kunnen alleen op eindige verzamelingen gedefinieerd worden. Antwoord: Onjuist. Het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in de opgaven 1c t/m 1f zijn voorbeelden van operatoren en dus afbeeldingen op oneindige verzamelingen.

V.11.d Het Domein van een afbeelding is altijd gelijk aan het codomein. Antwoord: niet juist. We kunnen een afbeelding van verzameling A naar verzameling B definiëren, terwijl A en B heel verschillende verzamelingen zijn.

V21 Operaties waar of niet waar

V.21.a Optellen is een operatie op de verzameling Natuurlijke getallen.$\mathbb {N}$. Antwoord: Juist. Binnen alle getallen verzamelingen $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ en $\mathbb {C}$ kunnen we optellen en vermenigvuldigen.

V.1.b Vermenigvuldigen is een operatie op de verzameling Gehele getallen$\mathbb {Z}$. Antwoord: Juist, zie antwoord bij a.

V.1.c Optellen is geen operatie op de verzameling rationele getallen $\mathbb {R}$. Antwoord: Onjuist. zie antwoord a.

V.1.d Een operatie is altijd gedefinieerd voor elk element van zijn domein. Antwoord: Onjuist. Delen is een operatie en niet gedefinieerd voor de waarde delen door 0.

V22 Operaties

V.22 In de automatiseringen plakken programmeurs vaak teksten achter elkaar met een operatie die ze concatenatie noemen. Twee teksten (in de automatisering meestal "strings" genoemd) worden dan achter elkaar geplaatst. Als operatie symbool wordt meestal "&" gebruikt. "Plein" & " 2" levert dan "Plein 2". Geef aan wat "Abc " & "cbA" oplevert.

Antwoord: "Abc cbA".

V23 Operaties

V.23a Is deze concatenatie operatie associatief?

Antwoord: Ja, bijv ("ab" & "cd") & "ef" = "abcd" & "ef" = "abcdef" en "ab" & ("cd" & "ef") = "ab" & "cdef" = "abcdef"

V23.b Is deze operatie commutatief?

Antwoord: Nee. Bijvoorbeeld "a" & "b" = "ab" terwijl "b" & "a" = "ba".

V31 Equivalentieklassen waar of niet waar

V.31.a Binnen een equivalentieklasse is elke element equivalent met zichzelf. Antwoord: Correct. Zie de definitie van een equivalentieklasse.

V.31.b Congruente driehoeken zijn een voorbeeld van een equivalentieklasse. Antwoord: Correct. Om dit aan te tonen lopen we definitie van een equivalentie klasse langs:

Als twee driehoeken congruent zijn, is elk van de twee driehoeken congruent met zichzelf.

Als driehoek A congruent is met driehoek B, dan is driehoek B congruent met driehoek A.

Als driehoek A congruent is met driehoek B, en driehoek B is congruent met driehoek C, dan is driehoek A ook congruent met driehoek C.

V.31.c Je kunt rode bloemen als equivalentieklasse definiëren. Antwoord: correct. Het valt makkelijk aan te tonen door de drie eigenschappen op dezelfde manier te controleren als bij de vorige opgave.

V.31.d $\phi$ is een element in een equivalentieklasse. Antwoord: Onjuist. De lege verzameling is nooit deel van een partitie en evenmin van een equivalentieklasse. Het heeft namelijk geen enkel element dat zelfs maar met zichzelf equivalent is.

V32 Equivalentieklassen

V.32 Geef twee mogelijke equivalentieklasse indelingen van {a, b, c}
Mogelijke indelingen in equivalentie klassen zijn:

• (a,b,c}
• (a,b} {c}
• (a} {b,c}
• (a}, (b}, {c}

V33 Equivalentieklassen

V.33 Welke deelverzamelingen zijn mogelijke equivalentieklassen van {a, b}?

• {a, b}
• {a}, {b}

V34

V.34 De volgende relatie is gedefinieerd op {a, b, c}: {(a,a), (b,b), (a,c), (c,c)}. Welke equivalentieklassen horen hier bij?

{a,c} {b}

V41 Ordeningen Waar of niet waar

V.41.a Elke partiele ordening is een afbeelding. Antwoord: Correct. Een partiele ordening op een verzameling V is een deelverzameling van het Cartesisch product V X V, en dus een afbeelding.

V.1.b Elke partiele of volledige ordening op verzameling A is een deelverzameling van A X A. Antwoord: correct.

V.41.c Een partiele ordening kan alleen op eindige verzamelingen worden gedefinieerd. Antwoord: Niet juist. Zo is de ordening op deelbaarheid een partiele ordening op de Natuurlijke getallen.

V.1.d Een verzameling met een partiele ordening kan een grootste element hebben, maar hoeft dat niet. Antwoord: Correct.

V.1.e Een eindige verzameling heeft altijd maar 1 grootste element. Antwoord: correct. Zie theorie.

V42 Ordeningen

V.42: Laat zien dat voorbeeld 3, de partiele ordening van plaatsen en gebieden, een ordeningsrelatie is

elk gebied is bevat in zichzelf. Dus de relatie is reflectief

als een gebied A bevat is in gebied B, en gebied B is bevat in gebied A, dan hebben we het over hetzelfde geografische gebied. Dus de antisymetrie geldt.

als gebied A bevat is in gebied B, en gebied B is bevat in gebied C, dan ligt gebied A duidelijk in gebied C. Dus de relatie is transitief.

V43 Ordeningen

V.43: Laat zien dat de partiele ordening van P(A) door inclusie een partiele ordening is.

Laat P(A) de machtsverzameling van verzameling A zijn. Noem de ordening door inclusie R. Dan geldt:

• Elke deelverzameling B ⊆ A bevat zichzelf, dus BRB. De relatie is dus reflectief.
• Laat X, Y ⊆ A. Als X ⊆ Y en Y ⊆ X, dan geldt X=Y, dus de verzameling is asymmetrisch.
• Als X, Y en Z ⊆ A, en X⊆Y, en Y⊆Z, laat dan x$\in$X. Omdat X⊆Y, is x$\in$Y. Omdat Y⊆Z, geldt ook x$\in$Z. Kortom, X⊆Z.

Ergo, de inclusie relatie is transitief.
We hebben in de theorie al laten zien dat de ordening strikt partieel is.

V44 Ordeningen

V.44: Teken een Hassediagram van alle elementen waarbij de ordeningsrelatie a|b (a deelt b) is voor de getallen 1 t/m 9.

VI Opgave Booleaanse Logica

VI.1

Als gegeven is dat:

Rusland tussen de eerste en de twee wereldoorlog een communistische regering had

Er in Rusland tussen de eerste en de tweede wereldoorlog een periode van honger was,

Welke van de volgende beweringen zijn dan waar:

1.a Tussen de eerste en tweede wereldoorlog had Rusland een communistische regering en er was een periode van honger.

1.b Tussen de eerste en tweede wereldoorlog had Rusland een communistische regering of er was een periode van honger.

1.c Tussen de eerste en tweede wereldoorlog had Rusland een communistische regering dus was er een periode van honger.

Antwoord:

1.a Tussen de eerste en tweede wereldoorlog had Rusland een communistische regering en er was een periode van honger. We weten dat de linker bewering waar is en dat de rechter bewering waar is, dus is de EN ook waar.

1.b Tussen de eerste en tweede wereldoorlog had Rusland een communistische regering of er was een periode van honger. We weten dat de linker bewering waar is en dat de rechter bewering waar is, dus is de OF ook waar.

1.c Tussen de eerste en tweede wereldoorlog had Rusland een communistische regering dus was er een periode van honger. Hoewel we in de waarheidstabel bij p=Waar en q=Waar zien dat p==>q waar is, is dit een te snelle conclusie. Er zijn een aantal verschillen / valkuilen / paradoxen tussen 'uit p volgt q' in het dagelijks spraakgebruik, en de logische implicatie in de 'materiele implicatie'. Zie de opmerkingen 1, 2 en 3 bij de implicatie in de theorie.

VI.2

Als gegeven is dat:

Het (fictieve) land Buzuruni een streng kapitalistisch land is

De lonen in Buzuruni laag zijn

Welke van de volgende beweringen zijn dan waar:

2a. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land en de lonen in Buzuruni zijn laag.

2b. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land of de lonen in Buzuruni zijn laag.

2c. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land dus de lonen in Buzuruni zijn laag.

2d. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land, en daardoor zijn de lonen in Buzuruni laag.

2a. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land en de lonen in Buzuruni zijn laag. Antwoord: Deze bewering is waar.

2b. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land of de lonen in Buzuruni zijn laag. Antwoord: Deze bewering is waar.

2c. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land dus de lonen in Buzuruni zijn laag. Antwoord: Deze conclusie mogen we niet trekken. Zie de opmerkingen 1, 2 n 3 bij de implicatie in de theorie.

2d. Het (fictieve) land Buzuruni is een streng kapitalistisch land, en daardoor zijn de lonen in Buzuruni laag. Antwoord: Dit is een iets andere verwoording, maar komt op hetzelfde neer als bij c. Ook dit is dus niet juist.

VI.3. Het Linda probleem

Linda is 31 jaar oud, single, extravert, goed opgeleid en scherp. Ze is afgestudeerd in filosofie. Als student hield ze zich bezig met voorvallen van discriminatie en sociale armoede. Ze nam ook deel aan anti-kernoorlog demonstraties.

Welke van de twee is waarschijnlijker: a) "Linda is bankemployee" b) "Linda is bankemployee en actief in de feministische beweging"

Daniel Kahneman formuleerde dit probleem in zijn boek "Thinking, Fast and Slow", en er zijn veel mensen die voor optie b) kiezen.

Antwoord:
Laten we optie b) bekijken. Optie b) is waar als optie a) waar is, EN Linda daarnaast ook in de feministische beweging actief is. er geldt voor b) dus nog een extra voorwaarde, dus optie b) is minder waarschijnlijk.

VI.4.1. Een inwoner

Als de inwoner een knight is, zal deze waarheidsgetrouw 'ja' antwoorden. Als de inwoner een knave is, zal deze daar over liegen en ook 'ja' zeggen. De ontdekkingsreiziger wordt uit de antwoorden dus niets wijzer.

VI.4.2. Twee inwoners

Noem de twee inwoners S (van Spreker) en Z van zwijger. Als S een knight zou zijn, zou deze nooit "we zijn allebei knaves" naar waraheid kunnen antwoorden. Dus S moet een knave zijn. Omdat de uitspraak dus niet waar kan zijn, moet de tweede inwoner (Z) dus een knight zijn.

VI.4.3. Twee andere inwoners

Noem de twee inwoners opnieuw S (van spreker) en Z van zwijger. Stel dat S een knight is, dan is de bewering waar en is de ander een knave. Als S een knave is, dan is de bewering niet waar, en moet de ander ook een knave zijn. Dus in beide gevallen is de Zwijger een knave. Over S kunnen we niets zeggen.

Samenvatting: In dit hoofdstuk heb je geleerd dat:

wat de logische operatoren zijn

hoe je er mee kunt rekenen

VII Wetten van de Morgan

VII.1

De opgave is: bewijs dat $\neg (p\land q)\iff (\neg p)\lor (\neg q)$. We doen dit door de waarheidstabel van beide kanten op te stellen voor de 4 mogelijke combinaties.

p	q	p$\land$q	$\lnot (p\land q)$
W	W	W	O
W	O	O	W
O	W	O	W
O	O	O	W

en de andere kant:

p	q	$\lnot$p	$\lnot$q	$\lnot$p $\lor$ $\lnot$q
W	W	O	O	O
W	O	O	W	W
O	W	O	O	W
O	O	W	W	W

VII.2

Laat a$\in$ ((C-A) ∪ (C-B)). ==>
a$\in$(C-A) $\lor$ a$\in$(C-B) ==>
(a$\in$C $\land$a$\notin$A) $\lor$ (a$\in$C $\land$a$\notin$B)==>
a$\in$C $\land$ (a$\notin$A $\lor$ a$\notin$B) ==>
a$\in$C $\land$ ($\lnot$a$\in$A $\lor$ $\lnot$a$\in$B) ==> (de Morgan logica 2)
a$\in$C $\land$ $\lnot$(a$\in$A $\land$) a$\in$B) ==>
a$\in$C $\land$ $\lnot$ a$\in$(A ∩ B) ==>
a$\in$C $\land$ $\notin$ (A ∩ B) ==>
a$\in$(C-(A ∩ B)).