Verzamelingen/Wat is een verzameling

Na het bestuderen van dit hoofdstuk:

Heb je een idee van wat verzamelingen in de wiskunde voorstellen

weet je hoe je een verzameling definieert

ken je twee bijzondere verzamelingen

weet je wat de kardinaliteit van een verzameling is

Wat is een verzameling?

Wat is een verzameling? Het begrip Verzameling is de basis waarop het hele gebouw van de wiskunde gebouwd is. Omdat het aan de basis staat, is het niet gedefinieerd uit meer elementaire onderdelen.

De betekenis van het woord verzameling in de wiskunde leunt dicht aan tegen de betekenis van het woord verzameling in het normale spraakgebruik. In gewone taal hebben we het bijvoorbeeld over iemands Lego verzameling of zijn strip-verzameling. We hebben het dan over alle Lego blokjes die iemand heeft of over zijn collectie stripverhalen.

Laten we beginnen met wat voorbeelden van verzamelingen van het soort die we in dit boek tegenkomen:

• de kleuren van de Nederlandse vlag.
• Alle diersoorten van nu levende diersoorten
• Alle nu levende zoogdierdiersoorten
• Alle regelmatige veelhoeken
• de letters van het alfabet

Tot zo ver voorbeelden uit het dagelijks leven. Maar als wiskundigen zijn we natuurlijk meer geïnteresseerd in voorbeelden met wiskundige zaken zoals getallen:

• Gelijkzijdige driehoek, vierkant, regelmatige vijfhoek, regelmatige zeshoek
• de Natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, …
• De gehele getallen … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
• De rationale getallen 0, 1, 2, ½, 3, 1/3, 2/3 , …
• de reële getallen, dus ook wortel(2), wortel(3), 5 x wortel(2) etc.
• de even getallen
• de waarden Waar en Onwaar
• alle vergelijkingen van de vorm y=ax+b

Definitie
De Duitse wiskundige Georg Cantor definieerde een verzameling als "een collectie van elementen, die volgens een bepaalde definitie bij elkaar horen, en daardoor één geheel vormen". En als je denkt: "Dat is toch geen lekkere definitie", dan klopt dat helemaal. Want het woord "collectie" is gewoon een synoniem voor het woord "verzameling". Het intuïtieve benaderen van Verzamelingen leidde later tot problemen, wat bleek uit een aantal paradoxen die hierop gebaseerd werden. Als je daar meer over wilt weten, zoek dan eens op internet naar "paradox de Barbier van Sevilla" en de "paradox bibliotheek met catalogussen. Dit probleem werd opgelost door een aantal axioma's te definiëren. De meest gebruikelijke set van axioma's is die Zermelo-Fraenkel, uitgebreid met het zogenaamde keuze axioma'. Deze is opgenomen als Bijlage I.

Notatie
Verzamelingen geven we aan met een Hoofdletter, bijv. A. Voor de elementen in een verzameling gebruiken we een kleine letter, bijvoorbeeld a. Dat een element in een verzameling zit, geven we aan als a $\in$ A. We spreken dat uit als “a is een element van A” of “a zit in A”.

We noteren een verzameling door de elementen tussen accolades te vermelden. Zolang een verzameling weinig elementen heeft, kunnen we ze gewoon opsommen. Bijvoorbeeld de verzameling van de kleuren van de Nederlandse vlag kunnen we weergeven als {rood, wit, blauw}.

Zoals je ziet worden de elementen van de verzameling gescheiden door een komma.

Wanneer het aantal elementen groot wordt, werkt dat natuurlijk niet meer. Bij A={a, b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z} is dat nog te doen, maar in het voorbeeld van de zoogdiersoorten wordt het te groot. En dat is nog afgezien van de vraag of alle soorten zoogdieren bekend zijn, of dat er nog onbekende zoogdiersoorten op onze planeet bestaan.

In een aantal gevallen kunnen we dat oplossen door met puntjes te werken. Met {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...} geven we aan dat de serie oneindig doorloopt. We kunnen dat ook doen als de serie beperkt is. Bijvoorbeeld de letters van het alfabet V={a, b, c, ..., y, z}.

Voor echt grote verzamelingen kunnen we een verkorte notatie gebruiken:

A = {alle diersoorten x : waarvoor geldt dat x is levendbarend en de jongen worden gezoogd}

We spreken dit uit als: A is de verzameling van alle diersoorten x, waarvoor geldt dat x levendbarend en de jongen worden gezoogd.

Alternatieve notatie: In plaats van ":" wordt ook "|" gebruikt.

Als we willen zeggen dat a en b elementen van de verzameling L = letters zijn, noteren we dat als $a\in$ L en $b\in$ L Of een wiskundig voorbeeld:

V={x:x is een driehoek} is de verzameling driehoeken

2 restricties

• De volgorde waarin elementen worden opgesomd is niet belangrijk. Een verzameling bestaat uit zijn elementen en niets anders. Als een verzameling A bestaat uit de elementen 1, 2 en 4 en verzameling B bestaat uit de elementen 4, 2 en 1, dan zijn beide verzamelingen hetzelfde. We schrijven dan A = B. Het is wel de gewoonte om elementen, als het getallen zijn, van klein naar groot te noteren.
  
• We noemen elementen ook maar 1 maal bij de definitie van een verzameling, een verzameling bevat dus nooit twee identieke elementen. Dus een verzameling met de elementen {1, 2, 2, 3, 3} schrijven we gewoon als {1, 2, 3}.

Bekende verzamelingen

Voorbeelden van getallenverzamelingen zijn:

1. De natuurlijke getallen stellen gewoon aantallen voor: 0, 1, 2,3 etc. Deze verzameling wordt aangegeven met de letter $\mathbb {N}$.
2. De gehele getallen bevatten naast de natuurlijke getallen ook de negatieve getallen”: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Deze verzameling wordt weergegeven met de letter $\mathbb {Z}$. De Z is afkomstig van het Duitse woord 'Zahlen' (getallen)
3. De rationale getallen, die bestaan uit de gehele getallen en de breuken. Deze verzameling geven we aan met de letter $\mathbb {Q}$.
4. De Algebraische getallen, die bevatten behalve de breuken ook de oplossingen van polynomen zoals: ax+b=0, ax²+bx+c=0, a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄=0, etc. Dit soort vergelijkingen bevatten alle wortels. Notatie: $\mathbb {A}$.
5. De reële getallen, waaronder ook de transcendente getallen vallen. Deze verzameling geven we aan met de letter $\mathbb {R}$
6. De complexe getallen verschijnen als oplossing van vergelijkingen als $x^{2}+1=0$. Deze verzameling geven we aan met de letter $\mathbb {C}$. We schrijven een complex getal als a+bi, waarbij i staat voor ${\sqrt {(}}-1)$.

De reëele getallen zijn een onderdeel van de complexe getallen.

Let op de dubbele streep in de letters die de naam aangeven.

De Universele verzameling

Voor we aan de bewerking gaan beginnen die Vereniging genoemd wordt, is het nuttig eerst iets te definiëren dat we Universele verzameling noemen. Wanneer we over verzamelingen praten, doen we dat meestal in een bepaalde context. Die context, dat verband noemen we in de verzamelingenleer de Universele verzameling en geven we aan met de letter U.

Laten we het verduidelijken met een aantal voorbeelden.

• Wanneer we het hebben over een verzameling letters, doen we dat meestal in het verband van de letters van het alfabet. Onze Universele verzameling is dan U={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}.

Het is goed om de Universele verzameling altijd duidelijk te benoemen. Voor de letters kun je ook kiezen voor alle letters die in de Arial tekenset zitten. Die verzameling is uitgebreider dan de 26 letters van het alfabet.

• Wanneer we praten over rechte lijnen, kunnen we als onze Universele verzameling de verzameling van alle rechte lijnen kiezen. Definitie: U={(x,y): y=ax+b , met a, x en b reële getallen}. Deze verzameling bestaat dus uit alle getallen paren (x,y) die voor bepaalde getallen a en b aan de vergelijking voldoen. Dus bijvoorbeeld y=3x+4, y=2x-3, y=2/3 x -2${\sqrt {(}}2)$, enzovoorts.

De Universele verzameling is zelf een verzameling, en net als de lege verzameling (zie kopje hieronder) is het een bijzondere verzameling die we vaak zullen tegenkomen.

De Lege Verzameling

Een bijzondere verzameling is de verzameling $\phi$={}: de lege verzameling. De lege verzameling heeft geen elementen. Spreek de naam uit als 'fie'. Nu denk je misschien: wat kan ik met die lege verzameling? Maar dat is heel wat. Toen de wiskundigen Whitehead en Russell aan het begin van de 290e eeuw de wiskunde opnieuw vanuit verzamelingen opbouwden, deden ze dat door met de lege verzameling aan de slag te gaan. In de volgende sectie van dit hoofdstuk gaan we zien hoe ze dat deden.

Kardinaliteit

Definitie: De kardinaliteit is het aantal elementen in een verzameling.
De kardinaliteit van $\phi$ is 0. De kardinaliteit van {Zwart, Geel, Rood} is 3.

Notatie: We noteren de kardinaliteit van een verzameling A als : |A|.

Hierboven hadden we het over de lege verzameling $\phi$. Die kunnen we gebruiken om andere verzamelingen met te bouwen.

• $\phi$ is gewoon de lege verzameling
• {$\phi$} is een verzameling met 1 element, namelijk de lege verzameling. We hebben dus een verzameling met als element een andere verzameling!
• {{$\phi$}} is een verzameling met 1 element, namelijk de verzameling met als enige element de lege verzameling. We halen dus eigenlijk bovenstaande trucje nog een keer uit en krijgen zo een tweede verzameling.
• {{{$\phi$}}} is een verzameling met 1 element, namelijk de verzameling hierboven.

In de inleiding schreven we dat in de wiskunde de getallen gedefinieerd konden worden aan de hand van verzamelingen. Dat werkt ruwweg als volgt:

• 0 = de kardinaliteit van de lege verzameling $\phi$ = |$\phi$|.
• 1 = de kardinaliteit van de verzameling {$\phi$} (dus de verzameling met als enige element de lege verzameling $\phi$) = |{$\phi$}|
• 2 = de kardinaliteit van {$\phi$, {$\phi$}} = |{$\phi$, {$\phi$}}|
• 3 = de kardinaliteit van {$\phi$, {$\phi$}, {{$\phi$}}} = |{$\phi$, {$\phi$}, {{$\phi$}}}|

etc.

Oneindig

We hebben gezien hoe de kardinaliteit van een verzameling bepaald wordt. Maar we hebben dat alleen gezien voor verzamelingen met een eindig aantal elementen. Hoe zit dat met verzamelingen met oneindig veel elementen?

Wat is de kardinaliteit van $\mathbb {N}$? We noemen die oneindig. Maar wat is oneindig? Is oneindig altijd hetzelfde of zijn daar nog gradaties in? Daarover gaat dit stukje. We zagen hierboven dat er behalve de natuurlijke getallen $\mathbb {N}$={1, 2, 3, 4,5 5, ...} ook een verzameling voor de gehele getallen $\mathbb {Z}$ is. Heeft $\mathbb {Z}$ meer getallen dan $\mathbb {N}$?

Aftelbaar oneindig

Het hangt er een beetje vanaf hoe je telt, maar we noemen twee verzamelingen gelijkmachtig als we er een 1:1 afbeelding tussen kunnen definiëren. We noemen de kardinaliteit van N $\aleph _{0}$ (alef nul).

we kunnen eenvoudig een 1:1 afbeelding tussen $\mathbb {N}$ en $\mathbb {Z}$ definiëren.
Namelijk:

0-->0

1-->1

-1-->2

2-->3

-2-->4

etc.

Het blijkt dat we ook een 1:1 afbeelding tussen $\mathbb {N}$ en $\mathbb {Q}$ kunnen definiëren.
Dat kan als volgt:

$0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {-1}{1}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {-2}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {-1}{2}},{\tfrac {3}{1}},{\tfrac {-3}{1}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {-1}{3}},{\tfrac {4}{1}},{\tfrac {-4}{1}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {-3}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {-2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {-1}{4}},{\tfrac {5}{1}},{\tfrac {-5}{1}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {-1}{5}},{\tfrac {6}{1}},{\tfrac {-6}{1}},{\tfrac {5}{2}},\cdots$

Maar het kan ook meer visueel:

Dit geldt ook voor de algebraïsche getallen $\mathbb {A}$, als is dat wat lastiger te illustreren.
We noemen zowel $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$ als $\mathbb {R}$ aftelbaar oneindig.

Oneindig is echt heel veel

Elke lezer zal op de basisschool (of lagere school) breuken hebben geleerd. En ja, we hebben zonet gezien dat dat er veel zijn. Dat geldt ook voor een heel klein interval. Ookk tussen 1/100 en 1/101 zitten oneindig veel breuken. Want tussen 1/100 en 1/101 ligt het gemiddelde tussen die twee: (1/100 + 1/101)/2. En tussen 1/100 en dit gemiddelde ligt weer een ander gemiddelde. Enzovoorts enzovoorts.

Overaftelbaar oneindig

Pas bij de reëel getallen $\mathbb {R}$ gaat dit niet meer op. Die heeft een andere graad van oneindig, en die noemen we overaftelbaar oneindig. Cantor vond ook een mooie en eenvoudige manier om aan te tonen dat er meer dan aftelbaar oneindig veel getallen zijn.
Stel namelijk dat er 'maar' aftelbaar oneindig veel getallen zijn. Dan kunnen we die op een rij zetten:
c₁₁ c₁₂ c₁₃ ....
c₂₁ c₂₂ c₂₃ ....
c₃₁ c₃₂ c₃₃ ....
c₄₁ c₄₂ c₄₃ ....
etc.
Maar dan is er een getal dat niet in dit lijstje staat: Verhoog namelijk in de eerste regel het eerste cijfer met 1, verander in de tweede regel het tweede cijfer, etc. Dat getal staat niet in de lijst, dus zijn er meer dan aftelbaar oneindig veel getallen.

Engelse namen

• Verzameling: Set of Class
• Element: Element
• Natuurlijke getallen: Natural numbers
• Gehele getallen: Integers
• Reële getallen: Real Numbers
• Complexe getallen: Complex numbers
• Kardinaliteit: Cardinality
• Universele verzameling: Universe (soms Universe of Discourse genoemd). Omdat de universele verzameling in het Engels Universe wordt genoemd, en ook omdat Universum korter is, gebruiken we in het Nederlands ook wel het woord Universum in plaats van Universele verzameling.

Opgaven

• I.1) Geef van de volgende beweringen aan of ze goed of fout zijn:
  • i) Verzamelingen en elementen zijn hetzelfde
  • ii) Een verzameling heeft altijd minstens 1 element
  • iii) Een verzameling kan andere verzamelingen als element bevatten
  • iv) Bij elk element in een Universele verzameling is een verzameling te bedenken waar dit element in zit
  • v) A={x: x$\in \mathbb {N}$ en x is even} bevat alle even getallen
  • vi) A={x:x=a/b met a,b$\in \mathbb {N}$} bevat alle breuken
• I.2) Schrijf op twee manieren de verzameling klinkers
• I.3) Schrijf de kleuren van de Belgische vlag als verzamelingen
• I.4) Zonder in de stof hierboven te spieken, schrijf de namen van de belangrijkste verzamelingen van getallen op.
• I.5) Hoe zou je de verzameling even getallen definiëren?
• I.6) Wat is de kardinaliteit van de verzameling {0, 1, 2, 3, 4}?
• I.7) Wat is de kardinaliteit van de complexe getallen?
• I.8) Schrijf de verzameling met de kleuren Blauw, Rood en Wit op zo veel mogelijk verschillende manieren.

Samenvatting: Wat heb je geleerd?

Je weet wat verzamelingen voorstellen.

Je weet dat je een verzameling noteert als {x:voorwaarde(n) waaraan x voldoet} of als {opsomming van elementen}

Je kent twee bijzondere verzamelingen, $\phi$ en de Universele verzameling U.

Je weet dat de kardinaliteit het aantal elementen van een verzameling is en dat je die noteert als |V|