Vloeistofmechanica

Fluïdumstatica

Hydrostatica is dat deel van de theorie waarbij ervan uitgegaan wordt dat de toestand waarin een object zich bevindt, constant blijft in de tijd, dan wel dat de veranderingen zo langzaam gaan, dat die geen invloed hebben op het gedrag van het object. Voor de scheepsbouw kijkt men vooral naar de intacte stabiliteit van schepen.

Belangrijke principes

In de hydrostatica gelden enkele belangrijke principes, waarvan sommige werden voorgesteld door de Franse wiskundige Blaise Pascal in 1647:

Wet van Pascal

• de wet van Pascal: de druk is in elk punt gelijk in alle richtingen;

• alle vloeistofdruk staat op elk oppervlak loodrecht, er zijn dus geen schuifspanningen. Een gevolg hiervan is dat de viscositeit van de vloeistof geen rol speelt, er treden namelijk geen schuifspanningen op.

De volgende principes kunnen afgeleid worden:

• de hydrostatische wet

$\rho {\vec {a}}=\nabla {\vec {P}}$, met ${\vec {a}}$ de versnelling die de vloeistof ondergaat. In het meest voorkomende geval dat enkel de zwaartekracht aangrijpt, wordt deze wet $\rho g={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} h}}$, of:

$P=\rho gh$

De druk in a,b en c is gelijk

De paradox zoals Stevin die schetste: de druk in DC is gelijk, of je het nu langs A of E bekijkt

• De Hydrostatische paradox, voorgesteld door Simon Stevin:

dat den bodem des waters [...] duer een grooter water (d'hoochde de selfde blijuende) niet meer beswaert en wort dan duer een cleinder.

In hedendaagse taal:

De druk van een wateroppervlak is enkel afhankelijk van de diepte, niet van de manier waarop de diepte wordt bereikt.

Toepassingen

Manometer

Een manometer is een U-vormige buis, de ene kant is in contact met de atmosfeer (en dus op atmosfeerdruk); de andere helft verbonden met de te meten druk. De buis is gevuld met een vloeistof (kwik, ethanol|alcohol, water). Wanneer de twee drukken gelijk zijn, bevinden de twee vloeistofoppervlakken zich op hetzelfde niveau, stijgt de te meten druk dan daalt de vloeistof in die kant van de manometer.

Volgens de hydrostatische wet kunnen we het drukverschil berekenen:

$\delta P=\rho _{vl}\cdot g\cdot \delta h$

Voor kleine drukverschillen gebruikt men alcohol, voor grotere kwik.

Druk in atmosfeer

We weten ${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} y}}=-\rho g$, en uit de fysica $P={\frac {nRT}{V}}$. Dit geeft ons een manier om de druk in de atmosfeer te benaderen.

Berekenen van de druk op een oppervlak

Een belangrijke toepassing van de hydrostatica is de berekening van de kracht die op een oppervlak werkt, zoals de kracht op een keermuur:

• de kracht op een vlakke, horizontale of verticale wand:

$\!F=AP_{gem}=A\rho gd$, met d de diepte van het zwaartepunt van het oppervlak.

• de kracht op een schuin oppervlak, deze wordt opgesplitst in een horizontaal en verticaal deel:
  • de horizontale kracht F_h is de kracht op een verticale wand (zie hierboven, we projecteren het oppervlak).
  • de verticale kracht F_v is het gewicht van de vloeistofkolom die men zich boven het beschouwde oppervlak kan denken.

De totale kracht is dan $F^{2}={F_{h}}^{2}+{F_{v}}^{2}$

Wet van Archimedes

De opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof of gas ondervindt, is even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof of gas.

Fluïdummechanica

Wet van Bernoulli

Uit het behoud van energie kan de vergelijking van Bernoulli afgeleid worden. Deze wet zegt dat voor punten a op een stroomlijn geldt:

$g.y_{a}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}v_{a}^{2}+{\frac {P_{a}}{\rho }}=C^{te}$,

mits voldaan is aan de voorwaarden:

Stroomlijn in leiding

• enkel voor punten op dezelfde stroomlijn (zie figuur: zowel in a,b als de punten op de rode kromme);
• permanente stroming;
• onsamendrukbare stroming;
• geen warmtetransport – isotherme stroming;
• geen variatie in inwendige energie;
• geen arbeid verricht.
• geen wrijving.
• het moet een strikt stationaire stroming zijn.

Het subscript a in de formule duidt aan dat zowel de referentiehoogte y, de snelheid v als de druk P op hetzelfde punt a betrekking hebben.

De constante kan met een pitotbuis direct gemeten worden. Indien de constante berekend wordt voor alle punten in een leiding, bekomt men de ladingslijn van het systeem.

Toepassingen

• Wet van Torricelli
• Werking hevel

Continuïteitsvergelijking en de regel van Castelli

Behoud van massa

Net zoals in geen enkel proces energie kan verdwijnen (behoud van energie), kan ook in geen enkel (normaal*) proces massa verdwijnen. Er geldt een "wet van behoud van massa".

In het eenvoudigste geval wil dat zeggen dat alles wat een bepaald volume (het controlevolume), binnen gaat er ook weer uit komt. Onze eenvoudige vergelijking wordt dan:

$\!|M_{in}|=|M_{uit}|$

Voor het vervolg van deze cursus hanteren we de conventie dat instromend debiet een negatief teken heeft en uitstromend debiet een positief teken. Met deze conventie wordt de vergelijking:

$\!M_{in}+M_{uit}=0$

Niet altijd is het zo eenvoudig; zo kan een gasfles langere tijd massa (gas) leveren zonder dat er schijnbaar iets in gaat (het controlevolume is hier de gasfles). Hoewel tijdens dat proces het volume van de gasfles constant blijft, zal de massa in de fles dalen. Ook met dit massaverlies (massaverandering) moet in onze formule rekening worden gehouden:

$\!M_{in}+M_{uit}+\Delta massa=0$.

De verandering van de massa in de gasfles (notatie: Δ) is negatief, er kan dus inderdaad debiet geleverd worden.

Oefening

Schematisch overzicht gasfles (controlevolume werd licht ingekleurd)

Noem Q de massa die in een bepaald tijd uit het volume werd gedreven, en Δ V de volumeverandering in die tijd, dan is $Q+\Delta V=0$. Laten we de tijd infinitesimaal worden, dan veranderen we de schrijfwijze Δ V in dV, en wordt de vergelijking $Q+{\frac {dV}{dt}}=0$. Dit is een differentiaalvergelijking, waaruit de massa van het stelsel bepaald kan worden (onder de beginvoorwaarde dat op het tijdstip t=0 de massa gelijk is aan M₀):

$M(t)=M_{0}-Q.t$

Wet van Castelli

De wet van Castelli is een gevolg van het behoud van massa, die vaak gebruikt wordt bij pijpleidingen. Ze geeft een verband tussen de snelheid in een pijpleiding, de dichtheid van het medium in de pijpleiding, en de oppervlakte ervan.

$\rho _{1}v_{1}A_{1}=\rho _{2}v_{2}A_{2}$

Voor vloeistoffen (geen verandering in dichtheid), wordt deze formule:

$v_{1}A_{1}=v_{2}A_{2}$

320p